Dissipation lors des chocs

La th´eorie d’Hertz, issue de la th´eorie de l’´elasticit´e, ne tient pas compte de l’´energie dissip´ee au cours d’un choc. En pratique, de l’´energie est toujours perdue lors d’une collision. Ces pertes d’´energie proviennent de ph´enom`enes de diff´erentes natures [Falcon, 1997] telles :

➾ l’in´elasticit´e des corps en contact (propri´et´es visco´elastiques, d´eformations plas-tiques),

➾ la g´en´eration de vibrations (ondes de surface, vibration de la bille),

➾ les pertes dues aux asp´erit´es de surface (rugosit´e).

Ces pertes d’´energie sont souvent prises en compte par le coefficient de restitution normalrn introduit par Newton en 1687. Il est le premier `a observer que la vitesse normale de rebondV<sub>r</sub>est proportionnelle `a la vitesse normale d’approcheV_i lors d’un impact sur une surface plane. La constante de proportionnalit´e ´etant le coefficient de restitution normal :

Vr =−rnVi (1.10)

Ce coefficient est compris entre 0 pour des chocs parfaitement plastiques (choc mou) o`u toute l’´energie est dissip´ee et 1 pour des chocs parfaitement ´elastiques o`u il n’y a pas de dissipation. Si le coefficient de restitution est g´en´eralement consid´er´e comme une constante empirique, en r´ealit´e il est fonction de la vitesse d’impact, des dimen-sions des corps en collision ainsi que de leurs propri´et´es visco´elastiques et plastiques.

D´eformations plastiques des corps en contact

[Johnson, 1985] d´efinit une vitesse d’impact critique V_y au-del`a de laquelle toute l’´energie dissip´ee est due aux d´eformations plastiques. Il obtient une vitesse cri-tique dans les m´etaux de l’ordre de 5m/s. Pour des vitesses d’impact sup´erieures `a la vitesse critique V_y, les ´etudes exp´erimentales [Goldsmith, 1960], [Tabor, 1948] et th´eoriques [Johnson, 1985], [Tabor, 1948], [Thornton, 1997] montrent que le coeffi-cient de restitution est proportionnel `a la puissance −1/4 de la vitesse d’impact :

rn∼V_i^−1/4 (1.11)

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Dissipation visqueuse

Pour des vitesses d’impact inf´erieures `a la vitesse critiqueVy, les d´eformations plas-tiques sont inexistantes et toute l’´energie est dissip´ee par visco´elasticit´e.

[Kuwabara and Kono, 1987] puis [Brilliantov et al., 1996] ont g´en´eralis´e le calcul de Hertz `a des mat´eriaux visco´elastiques. Une expression du coefficient de restitution est alors obtenue :

(1−r_n)∼V_i^1/5 (1.12)

Cette d´ependance du coefficient de restitution avec la vitesse d’impact a ´et´e v´erifi´ee exp´erimentalement par [Kuwabara and Kono, 1987], [Brilliantov et al., 1996] et [Hertzsch et al., 1995].

La mod´elisation discr`ete s’est d´evelopp´ee ces derni`eres ann´ees pour d´eterminer des mod`eles de forces r´ealistes d’impacts in´elastiques et notamment, prendre en compte les dissipations visqueuses et plastiques [Falcon, 1997].

1.4.3.1 Mod´elisation DEM de la viscosit´e

➾ Mod`ele visco´elastique lin´eaire :

La partie visqueuse de la force de contact est le plus souvent prise lin´eaire avec la vitesse relative [Cundall and Strack, 1979] o`u b_n est le coefficient d’amortissement newtonien :

N =bnδ˙n (1.13)

Il s’agit d’une expression tout `a fait ph´enom´enologique qui d´ecrit une dissipation de nature visqueuse. La mod´elisation d’un choc binaire frontal avec les relations 1.9 et 1.13 d´efinit un probl`eme d’oscillateur harmonique avec amortissement lin´eaire.

Ce mod`ele de Cundall (aussi appel´e Spring-Dashpot : un ressort et un amortisseur mont´e en parall`ele Fig. 1.12) a l’avantage d’avoir une solution analytique avec les conditions initiales (δn(0) = 0 et ˙δn(0) =Vi). Le coefficient de restitution est donn´e ajustables `a partir du moment o`u on mesure Kn et rn. C’est pourquoi ce mod`ele est fr´equemment utilis´e dans les mod´elisations. N´eanmoins il a deux inconv´enients : d’une part, le coefficient de restitution [P¨oschel and Schwager, 2005] :

rn = exp

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est ind´ependant de la vitesse d’impact. D’autre part, dans ce mod`ele lin´eaire, la force normale est non nulle au d´ebut de l’impact cf. Fig. 1.12. Diff´erents auteurs ont donc propos´e des mod`eles visco´elastiques non lin´eaires.

Amortisseur

Ressort

Cundall Kuwabara

bn

Kn

N N

δ_n δ_n

1

Figure 1.12 – Mod`ele de contact visco´elastique et relation force-d´eplacement pour le mod`ele lin´eaire de Cundall et non lin´eaire de Kuwabara.

➾ Mod`eles visco´elastiques non lin´eaires :

Les mod`eles visco´elastiques non lin´eaires sont tous de la forme suivante o`u λ varie suivant les auteurs :

N =knδ^3/2_n +bnδ^λ_nδ˙n (1.17) On peut citer [Hunt and Crossley, 1975] (λ = 3/2) ou [Tsuji and T. Tanaka, 1992]

(λ = 1/4) qui ont propos´e des mod`eles ph´enom´enologiques et donc peu r´ealistes.

[Kuwabara and Kono, 1987] puis [Brilliantov et al., 1996] sont les premiers `a g´en´era-liser le calcul de Hertz `a des mat´eriaux visco´elastiques (λ= 1/2).

[Schwager and P¨oschel, 1998] ont montr´e qu’avec le mod`ele λ = 1/2, le coefficient de restitution (1−rn) est proportionnel `aV_i^1/5. Ce mod`ele a toutefois l’inconv´enient de ne pas avoir de relation simple pour le coefficient d’amortissementbn.

1.4.3.2 Mod´elisation DEM de la plasticit´e

➾ Mod`ele ´elastoplastique lin´eaire :

[Walton and Braun, 1986] ont ´etabli un mod`ele ´elastoplastique lin´eaire. Il est bas´e sur deux ressorts de raideur constante diff´erente : une raideurK1pour la compression (c) et une raideur K2 pour la relaxation (r) (Fig. 1.13) :

N^c = K1δn (1.18)

N^r = K2(δn−δ0) (1.19)

La raideur de compression vautK1 =Kn 3a 2√

R, o`u a est le rayon de l’aire de contact et δ0 la d´eformation r´esiduelle. Avec ce mod`ele, le coefficient de restitution rn = pK₁/K₂ est ind´ependant de la vitesse d’impact. Walton propose alors de relier K₂

`a la force maximale atteinte durant la compression Nmax selon :

K2 =K1+sNmax (1.20)

o`u s est une constante empirique. Ainsi, il obtient un coefficient de restitution va-riant avec la vitesse d’impact :

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rn =

Figure 1.13 – Mod`ele de contact de Walton et relation force-d´eplacement.

➾ Mod`ele ´elastoplastique non lin´eaire :

[Thornton and Ning, 1998] ont ´elabor´e un mod`ele ´elastoplastique non lin´eaire qui se d´ecompose en trois phases. Tout d’abord une phase de compression purement

´elastique de type Hertz (ce), puis soumis `a une force critiqueN<sub>y</sub> (i.e. pression critique py, overlapδy), ce mod`ele suppose une compression ´elastoplastique (cp) suivie d’une relaxation ´elastique (r) poss´edant une d´eformation r´esiduelle δ0 (Fig. 1.14). On a respectivement :

N^ce = knδ^3/2_n (1.22)

N^cp = Ny +πpyR^∗(δn−δy) (1.23)

N^r = k^r_n(δn−δ0)^3/2 (1.24)

avec k_n^r = ⁴₃E^∗√

R^r. Durant la d´echarge, le rayon de courbure est suppos´e ´egal `a : R<sup>r</sup> = 4E<sup>∗</sup> [Thornton and Ning, 1998] ont prouv´e que leur mod`ele poss`ede un coefficient de restitution diminuant avec la vitesse d’impact :

rn = 6√

La vitesse d’impact critiqueVy au-del`a de laquelle il y a des d´eformations plastiques est donn´ee par : [Johnson, 1985] a obtenu une ´equation ´equivalente avec un pr´efacteur diff´erent (10.295).

Dans le cas, d’une sph`ere de densit´e ρ impactant une surface plane (R^∗ = R, m^∗ =m), la vitesse d’impact critique devient :

Vy = 1.56 p⁵_y

E^∗4ρ ^1/2

(1.28)

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N_max

δ_n N_y

δ₀ δ_y N

cp r ce