On ´etudie l’´ecoulement de l’amas principal c’est-`a-dire celui qui compte le plus de particules.
6.2.1 Temps de d´ esagr´ egation de l’amas
On souhaite connaˆıtre le temps au bout duquel l’amas atteint un r´egime mono-particule en fonction des param`etres du syst`eme tels que la position initiale x0, le frottement particule/pale µ, le d´ebit et la vitesse de rotation Ω. Cette dynamique a ´et´e ´etudi´ee pour trois frottements particule/paroi diff´erents : µ= 0.1, µ= 0.4 et µ= 0.6. On modifie le d´ebit en changeant les dimensions du parall´el´epip`ede initial (Lx, Ly) tout en gardant une compacit´e initiale constante pour tous les d´ebits (com-pacit´e initiale de 0.3). On conserve ´egalement le rapport Ly/Lx constant.
On repr´esente sur les figures suivantes, la proportion de particules comptabilis´ees dans l’amas principal en fonction de l’angle de la pale Ωt. Par d´efaut, `a l’instant initial, les particules consid´er´ees poss`edent la capacit´e de rouler. De plus, elles sont plac´ees de mani`ere al´eatoire.
% des particules dans l’amas principal
Diminution de x0 x0=5-7-9-11-12cm
Figure 6.5 – Proportion de particules dans l’amas pourx0 ∈[5−12]cm (Lx =
% de particules dans l’amas principal
Augmentation du débit Lx=4-6-8-9-10cm
Figure 6.6 – Proportion de particules dans l’amas pour Lx ∈[4−10]cm (x0 = 7cm, Ly/Lx = 0.7, Lz = 8cm, µ = 0.4, µb = 0.2).
Les fluctuations sur les courbes sont dues aux fluctuations du r´eseau de contacts entre les particules. Les figures 6.5 et 6.6 montrent qu’en diminuant x0 ou en aug-mentant le d´ebit, l’amas de particules met plus de temps `a se d´ecomposer. Des d´ebits plus faibles (Lx<4cm) n’ont pas ´et´e repr´esent´es car les particules sont qua-siment en r´egime mono-particule d`es les premiers chocs avec la pale. L’arrangement initial des particules a peu d’effet sur la d´ecomposition de l’amas (Fig. 6.7). De la mˆeme fa¸con, on remarque que le frottement particule/pale influe l´eg`erement sur la d´ecomposition de l’amas. Enfin, on constate qu’il n’y a aucune diff´erence dans la dynamique de d´esagr´egation de l’amas pour des particules avec et sans possibilit´e de
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rotation pour de faibles valeurs du frottement µ= 0.1 (Fig. 6.8). En revanche, pour de fortes valeurs du frottement µ = 0.6, la d´ecomposition de l’amas de particules sans rotation est fortement ralentie.
0 100 200 300 400
% de particules dans l’amas principal
Augmentation de µ µ=0.1-0.2-0.6
Particules placées aléatoirement Particules rangées
Figure 6.7 – Proportion de particules dans l’amas pour deux arrangements ini-tiaux diff´erents et pour des frottements µ=0.1-0.2-0.6 (x0 = 7cm, Lx = 10cm,
% de particules dans l’amas principal
Augmentation de µ µ=0.1-0.6
Particules avec rotation Particules sans rotation
Figure 6.8 – Proportion de particules dans l’amas pour des particules avec et sans possibilit´e de rotation et pour µ=0.1-0.6 (x0 = 7cm, Lx = 10cm, Ly = 7cm, Lz = 8cm, µb = 0.2).
On propose une loi d’´echelle pour le temps de d´esagr´egation sur la figure 6.9 pour une valeur de frottement donn´ee (µ= 0.4). On observe qu’au bout d’un temps de l’ordre de t ≈ a(µ)Ω (Lxx0)14 (o`u a(µ) ≈ 200˚), l’amas s’est quasiment d´esagr´eg´e pour des particules avec degr´es de libert´e de rotation. Dans la suite, on souhaite poursuivre l’´etude de la d´esagr´egation de l’amas.
0 100 200 300 400
% de particules dans l’amas principal
x0=5-7-9-11-12cm Lx=4-6-8-9-10cm
Figure6.9 – Loi d’´echelle propos´ee en (x0/Lx)14, pour l’´evolution de la proportion de particules comptabilis´ees dans l’amas (Ly/Lx = 0.7,Lz = 8cm, µ= 0.4,µb = 0.2).
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6.2.2 Dynamique de l’amas granulaire
On repr´esente sur les figures suivantes, l’´evolution de la longueur de l’amas dans la direction (Ox) et de l’´epaisseur maximale de l’amas dans la direction (Oy), en fonc-tion des param`etres du syst`eme. On utilise la loi d’´echelle d´etermin´ee pr´ec´edemment.
On observe sur la figure 6.10 que l’amas atteint un r´egime mono couche pour un temps de l’ordre det ≈ Ωb(Lxx0)14 (o`u b≈150˚). On remarque ´egalement que la
Epaisseur maximale de l’amas / Ly (en %) x0=5-7-9-11-12cm
Lx=4-6-8-9-10cm
Figure 6.10 – Epaisseur de l’amas pour diff´erentes valeurs de x0 et Lx (loi d’´echelle en (x0/Lx)14) (Ly/Lx = 0.7,
Epaisseur maximale de l’amas / Ly (en %)
Augmentation de µ=0.1-0.6 Particules avec rotation Particules sans rotation
Figure 6.11 – Epaisseur de l’amas pour des particules avec et sans rotation et pour des frottements µ=0.1-0.6 (x0 = 7cm, Lx = 10cm, Ly = 7cm, Lz = 8cm,
Figure 6.12 – Longueur de l’amas pour diff´erentes valeurs de x0 et Lx (loi d’´echelle en (x0/Lx)14) (Ly/Lx = 0.7,
Figure 6.13 – Longueur de l’amas pour des particules avec et sans rotation et pour des frottements µ=0.1-0.6 (x0 = 7cm, Lx = 10cm, Ly = 7cm, Lz = 8cm, µb = 0.2).
Les figures 6.11 et 6.13 montrent qu’`a faible frottement (µ= 0.1), la dynamique
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de d´esagr´egation de l’amas est identique pour des particules avec et sans possibilit´e de rotation. Pour une valeur de frottement plus ´elev´ee (µ= 0.6), l’amas de particules sans rotation met environ Ωt≈50˚de plus pour se d´ecomposer.
6.2.3 Centre de masse de l’amas
On repr´esente sur les figures suivantes, l’´evolution de la position du centre de masse de l’amas dans la direction (Ox), en fonction des param`etres du syst`eme. La figure 6.14 montre qu’il n’y a aucune influence du d´ebit et de la position initiale pour des temps Ωt ≤175˚(µ= 0.4). On n’a donc pas utilis´e la loi d’´echelle pour l’angle de la pale. On observe de fortes fluctuations pour des temps Ωt > 175˚, dues aux fluctuations du r´eseau de contacts entre les particules. Comme pr´ec´edemment, on retrouve `a faible frottement (µ = 0.1), le mˆeme comportement du centre de masse pour des particules avec et sans rotation. Pour une valeur de frottement plus ´elev´ee (µ= 0.6), le centre de masse des particules sans rotation est ralenti d’environ 10%
pour un temps Ωt= 175˚.
Figure 6.14 – Centre de masse de l’amas pour diff´erentsx0 etLx(Ly/Lx =
Figure 6.15 – Centre de masse de l’amas pour des particules avec et sans rotation et pour µ=0.1-0.6 (x0 = 7cm, Lx = 10cm, Ly = 7cm, Lz = 8cm, µb = 0.2).
6.2.4 Conclusions
Pour des particules avec rotation, l’´etude macroscopique a permis de mettre en
´evidence un temps caract´eristique de d´esagr´egation de l’amas. Nous n’avons pas fait varier toutes les valeurs du frottement `a la paroi.
Pour des faibles valeurs de frottement (µ= 0.1), la rotation des particules n’a pas d’influence sur la d´esint´egration de l’amas (´etude du nombre de particules, des di-mensions de l’amas et de la position du centre de masse de l’amas). En revanche, pour des valeurs de frottements plus ´elev´ees (µ = 0.6), l’amas de particules sans rotation met plus de temps `a se d´ecomposer. Ces observations vont motiver l’´etude
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de l’´ecoulement de l’amas par une approche plus microscopique.