Equations moyenn´ees dans l’´epaisseur `a 2 dimensions 147

On peut ´ecrire les ´equations de Saint-Venant dans le cadre de l’´epandage cen-trifuge d’un mat´eriau de densit´e constante ρ ayant une vitesse V = (Vx, Vy). On suppose qu’il n’y a pas de d´eplacement suivant z. La conservation de la masse s’´ecrit :

∂Vx

∂x +∂Vy

∂y = 0 (6.17)

Les ´equations de la quantit´e de mouvement s’´ecrivent en introduisant le tenseur des contraintes : σ =

σxx σxy

σxy σyy

. On adimensionne les ´equations en utilisant les param`etres caract´eristiques suivants : t= 1/Ω, x=L la longueur de l’amas, y=H la hauteur de l’amas, Vx = ΩL, Vy = ΩH etσ =ρΩ²LH :

o`u la quantit´eǫ=H/Lest suppos´ee faible dans le cadre de ce calcul.

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On appelleh(x, t) la hauteur de l’amas. Les conditions aux limites au niveau de la paroi (y= 0) sont :

Vy = 0

σxy = −µef fσyysgn(Vx) (6.20) et les conditions aux limites au niveau de la surface libre (y=h(x, t)) sont :

_∂h

∂t +Vx∂h

∂x = Vy

σ_xy =σ_yy = 0 (6.21)

On utilise la proportionnalit´e sur les contraintes normales σxx = Kσyy pour r´esoudre le syst`eme. En int´egrant sur la hauteur l’Eq. 6.18, on aboutit aux ´equations de conservation de la masse et de la quantit´e de mouvement moyenn´ees dans l’´epais-seur : Il faut garder `a l’esprit les hypoth`eses utilis´ees pour r´esoudre ces ´equations : l’hypoth`ese de conservation de la masse, l’´ecriture de la contrainte de cisaillement

`a la base de l’´ecoulement comme une loi de Coulomb (σ<sub>xy</sub> = −µ<sub>ef f</sub>σ<sub>yy</sub>sgn(V<sub>x</sub>)) et l’hypoth`ese de proportionnalit´e entre les contraintes normales reli´ees par le pa-ram`etre K (σxx =Kσyy). On a d´ej`a montr´e que la densit´e n’est pas constante dans l’´ecoulement : la compacit´e varie l´eg`erement en fonction du temps et en fonction de la hauteur (cf. Figs. 6.17,6.18). On souhaite maintenant avoir plus d’informations sur le lien possible entre cette approche hydrodynamique et la microstructure.

6.6.2.2 Etude de la friction effective `a la paroi

On souhaite tout d’abord connaˆıtre la friction effective qui est ressentie `a la paroi pour notre amas granulaire.

➾ Evolution de l’amas granulaire en ´ecoulement :

Dans un premier temps, on cherche `a mesurer la friction effective sur la globalit´e de l’amas. Les limites extrˆemes de l’amas selon (Ox) sont d´efinies parx1(t) etx2(t).

En consid´erant la position moyenne de l’amas xet la vitesse moyenne de l’amas Vx

d´efinit par : 

et en consid´erant les ´equations de Saint-Venant (Eqs. 6.22,6.23), on obtient : ( dx

dt = Vx

dVx

dt = x−2µef fΩVx

(6.25)

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avecµef f =µle frottement particule/pale. A partir des deux ´equations pr´ec´edentes, il en r´esulte l’´equation suivante :

x¨+ 2µef fΩ ˙x−x= 0 (6.26)

On retrouve l’´equation du mouvement d’une particule le long d’une paroi en rota-tion : Eq. 4.45. La figure 6.39 repr´esente l’´evolurota-tion de l’acc´el´erarota-tion du centre de masse de l’amas de particules. On observe que pour µ ≤ 0.2, le frottement effectif est ´egal au frottement particule/pale. Mais au-del`a deµ= 0.3, le frottement effectif est inf´erieur au frottement particule/pale. On peut donc s’interroger sur l’influence des contacts non glissants sur l’´evolution de cette friction effective.

0 500 1000 1500

x’’ (m/s²) 0

500 1000 1500

Ω2 x - 2µΩx’ (m/s²)

µ = 0.1 µ = 0.2 µ = 0.3

Figure 6.39 – Suivi du centre de masse de l’amas de particules pour diff´erents coefficients de frottements particule/pale (µb = 0.8, Ω = 500tours/min).

➾ Frottement effectif `a la paroi :

Dans un deuxi`eme temps, on souhaite analyser plus en d´etail le frottement subi au niveau de l’interface avec la paroi. On consid`ere donc, un volume ´el´ementaire (parall´el´epip`ede), en contact avec la paroi, plac´e au sein de l’´ecoulement `a la po-sition (xv = 0.15m, yv = 0, zv = ¯z), de dimensions connues (δxv = δzv = 3cm, δyv = 3mm). Le coefficient de frottement effectif `a la paroi est d´efini comme le rap-port entre la force de cisaillement moyenne et la force normale moyenne, au niveau du contact avec la paroi µef f = _N^T dans le volume ´el´ementaire.

On observe des fluctuations sur la valeur du frottement effectif qui augmentent fortement au-dessus de la valeur du frottement critique cf. Fig. 6.40. Une hypoth`ese est que les fluctuations sur le frottement effectif `a la paroi sont dues `a des parti-cules qui entrent en contact avec la pale apr`es avoir chang´e de couche. On a vu pr´ec´edemment que pour des frottements importants, une particule en deuxi`eme couche, acqui`ere une vitesse angulaire avec un sens oppos´e `a la vitesse angulaire

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d’une particule, qui serait en contact avec la pale (Figs. 6.22,6.23). Il est ainsi pos-sible que le changement brusque de sens de rotation de la particule lors du contact avec la paroi, provoque une fluctuation du frottement effectif. Toutefois, nous n’avons pas associ´e directement cette fluctuation `a l’arriv´ee d’une particule avec une vitesse angulaire oppos´ee.

Nous pouvons calculer un coefficient de frottement effectif moyen sur la dur´ee de l’´ecoulement. La figure 6.41 repr´esente son ´evolution en fonction du frottement particule/pale.

Figure 6.40 – Frottement effectif `a la paroi en fonction du temps pour diff´erents coefficients de frottements par-ticule/pale mesur´es dans le volume

´el´ementaire (µb = 0.2, µ allant de 0.1

Figure 6.41 – Frottement effectif moyen `a la paroi en fonction du coeffi-cient de frottement particule/pale (µb = 0.2).

On retrouve pour une valeur de frottement µ≤ 0.2, un frottement effectif ´egal au frottement particule/pale. Mais, au-del`a de µ= 0.2, le frottement effectif sature.

Cette valeur seuil correspond `a l’apparition des contacts non glissants cf. Fig. 6.29.

Afin de savoir s’il existe effectivement un lien entre le changement de comportement du frottement effectif et les rotations des particules, nous avons souhait´e d´efinir une grandeur capable de quantifier le glissement de la couche de particules en contact avec la pale. Cette grandeur, appel´ee taux de glissement, se d´efinit ainsi pour les Ni

particules en contact avec la pale dans le volume ´el´ementaire : TG = 1 Le taux de glissement est nul si les particules roulent sans glisser et il vaut 1 si les particules glissent sans rouler (particules sans degr´es de libert´e de rotation).

On remarque que le taux de glissement est relativement constant en fonction du temps (Fig. 6.42) mˆeme si on observe la pr´esence de fluctuations. On repr´esente donc sur la figure 6.43, l’´evolution du frottement effectif moyen en fonction du taux de glissement moyen sur la dur´ee de l’´ecoulement.

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50 100 150

Figure 6.42 – Taux de glissement en fonction du temps pour diff´erents co-efficients de frottements particule/pale

Figure 6.43 – Frottement effectif moyen `a la paroi en fonction du taux de glissement (µb = 0.2).

On constate alors une corr´elation entre les deux quantit´es. Lorsque les particules roulent sans glisser (TG= 0), la valeur du frottement effectif est de l’ordre de 0.33.

C’est donc effectivement l’apparition du roulement sans glissement qui pro-voque la saturation du frottement effectif `a la paroi.

On peut par ailleurs s’interroger sur cette valeur du frottement effectif ici ´egale `a 0.33. En effet, si les particules roulent sans glisser, la dissipation de nature friction-nelle doit disparaˆıtre (i.e. µef f doit tendre vers 0). Cependant, en pratique, il peut toutefois rester une dissipation r´esiduelle de nature ´elastique au niveau des contacts.

Ainsi dans la mod´elisation, on observe que le frottement effectif est alors fix´e par la valeur de Kt, c’est-`a-dire la composante ´elastique dans la loi de contact tangentiel (siKt = 0 alors µef f = 0), cf. Fig. 6.44.

1 10 100 1000 10000

K_t (N/m)

Figure 6.44 – Frottement effectif `a la paroi en fonction du coefficient de raideur

´elastique tangentielle en ´echelle logarithmique (Ωt =100˚, µ= 0.4, µb = 0.2).

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Nous en d´eduisons que le frottement effectif `a la paroi d´epend, dans ce r´egime, de m´ecanismes de dissipation microscopique complexes.