Suivi de particules se d´epla¸cant dans l’amas granulaire

8 10 12

Position y v du volume élémentaire / R

Augmentation de t

Figure 6.18 – Profil de compacit´e pour diff´erents temps (Ωt =30-45-60-90˚), me-sur´e dans le volume ´el´ementaire (xv =33R, yv, ¯z) (µ= 0.1, µb = 0.2).

6.4.2 Suivi de particules se d´ epla¸cant dans l’amas granulaire

6.4.2.1 Trajectoire des particules

La figure 6.19 montre l’´evolution de la trajectoire de particules plac´ees `a diff´erentes hauteurs de l’´ecoulement : on repr´esente la hauteur des particules selon (Oy) en fonc-tion de leur posifonc-tion selon (Ox) le long de la pale. Les trajectoires des particules, pour diff´erentes positions initiales, sont quasiment parall`eles jusqu’`a une hauteur critique de l’ordre de 2-3 particules superpos´ees, soit 4-6R. On observe une absence de fluctuations sur les trajectoires pour des hauteurs sup´erieures `a 6R. Pour des hauteurs inf´erieures, la trajectoire montre une d´ecroissance plus discontinue.

0 20 40 60 80 100

Position x des particules / R 0

5 10 15 20 25 30

Hauteur y des particules / R

Position initiale de l’amas

tricouche bicouche

Figure 6.19 – Trajectoire de diff´erentes particules (Ω = 500tours/min, µ = 0.1, µb = 0.2).

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6.4.2.2 Vitesses des particules

Pour des ´ecoulements denses de particules sous cisaillement, il apparaˆıt souvent n´ecessaire de tenir compte du transfert impulsif de quantit´e de mouvement entre les particules (choc). Les transferts d’impulsion par choc sont associ´es `a l’´echelle de la particule `a une discontinuit´e de la quantit´e de mouvement. Ainsi l’´etude des fluctuations de ces quantit´es de mouvement dans le syst`eme peut permettre d’avoir acc`es `a des informations sur la pr´esence de chocs dans l’´ecoulement. On souhaite

´etudier les vitesses de la particule dont la trajectoire est repr´esent´ee en pointill´es sur la figure 6.19.

➾ Vitesse de translation :

La vitesse selon (Oy) est du mˆeme ordre de grandeur que la vitesse selon (Ox) juste apr`es la phase de choc (Fig. 6.20). Puis dans l’´ecoulement, la vitesse selon (Ox) devient sup´erieure `a la vitesse selon (Oy). On observe un rapport 3 en d´ebut d’´ecoulement et ce rapport augmente avec le temps. Le mouvement des particules se fait donc essentiellement dans la direction (Ox) apr`es la phase de choc. Avant le contact avec la pale, on note que les fluctuations sur la vitesse selon (Oy) en fonction du temps, sont environ 2 `a 3 fois plus importantes que les fluctuations sur la vitesse selon (Ox).

0 50 100 150 200

Ωt (°) -30

-15 0 15 30 45 60

V x / (RΩ) et V y / (RΩ)

µ = 0.1 µ = 0.3 µ = 0.8 V_x

V_y

Contact pale

Figure 6.20 – Vitesse selon (Ox) et vitesse selon (Oy) d’une particule en fonction du temps pour diff´erents frottements (500tours/min, µ=0.1-0.3-0.8, µb = 0.2).

Lorsque la particule entre en contact avec la pale, la vitesse selon (Ox) aug-mente avec le temps de mani`ere exponentielle et la vitesse selon (Oy) tend vers 0 (Figs. 6.20,6.21,6.22). Par ailleurs, on observe l’apparition du roulement sans glis-sement lorsque le frottement est sup´erieur `a une valeur seuil µ^∗ (Fig. 6.22). Nous reviendrons par la suite sur l’apparition de ce r´egime de roulement sans glissement dans l’amas granulaire en ´ecoulement.

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0 50 100 150 200

Figure 6.21 – Vitesse selon (Ox) et vitesse angulaire d’une particule en fonction du temps pour µ=0.1 (500tours/min, µb = 0.2).

Figure 6.22 – Vitesse selon (Ox) et vitesse angulaire d’une particule en fonction du temps pour µ=0.8 (500tours/min, µb = 0.2).

➾ Vitesse angulaire :

Pour une faible valeur du frottement particule/pale (µ= 0.1), la vitesse angulaire de la particule est quasiment nulle avant le contact avec la pale (Figs. 6.21,6.23). Pour des valeurs de frottement plus ´elev´ees, la particule a toujours une vitesse angulaire quasiment nulle jusqu’`a une hauteur ´equivalente `a 2-3 diam`etres. Mais pour des hauteurs inf´erieures `a 2-3 diam`etres, la particule acqui`ere une vitesse angulaire dans le sens oppos´e (sens positif) `a la vitesse angulaire d’une particule qui serait en contact avec la pale (Figs. 6.22,6.23).

-40 -20 0 20 40

Hauteur y des particules / R

bicouche tricouche µ = 0.1 µ = 0.3 µ = 0.8

Figure 6.23 – Profil de la vitesse angulaire d’une particule pour diff´erents frotte-ments (500tours/min,µ=0.1-0.3-0.8,µb = 0.2).

Lorsque la particule entre en contact avec la pale, sa vitesse angulaire change brutalement de sens. On remarque alors que la vitesse selon (Ox) (pour des va-leurs de frottement ´elev´ees), augmente d’abord lin´eairement puis exponentiellement

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apr`es un certain temps caract´eristique (Fig. 6.22). On met ainsi en ´evidence une acc´el´eration plus faible de la particule lors de son contact avec la pale, compar´ee `a une particule ayant un frottement µ = 0.1. En effet, dans ce cas, les vitesses des particules ayant un frottementµ= 0.1 augmentent exponentiellement d`es le contact avec la pale. Ceci est corr´el´e avec le changement de sens de rotation de la particule et peut s’expliquer par un effet de frustrations des rotations bien connu des empi-lements granulaires denses [Khidas, 2001]. Ce ph´enom`ene se produit `a proximit´e de la paroi, lorsque les particules changent de couches.

Figure 6.24 – Illustration d’un sc´enario o`u la frustration des rotations `a la paroi est provoqu´ee par le changement de couche d’une particule.

Les figures 6.24,6.25 illustrent les changements de couches au sein de l’´ecoulement (la hauteur de l’amas diminuant dans le temps). On observe, pour les particules proches de la paroi, que deux particules, initialement en contact, s’´ecartent pour laisser descendre une particule situ´ee sur la couche sup´erieure, pouvant cr´eer des frustrations des rotations. Ce ph´enom`ene est essentiellement localis´e `a la base de l’´ecoulement.

Pour r´esumer, quelle que soit la valeur du frottement, la d´ecroissance des vi-tesses angulaires des particules en fonction de la hauteur est tr`es rapide (Fig. 6.23).

Les vitesses angulaires sont essentiellement localis´ees pr`es de la paroi et deviennent quasiment nulles au-del`a d’une hauteur ´equivalente `a 3 diam`etres de particule. Ce ph´enom`ene peut s’expliquer soit par des frustrations de rotation dans l’empilement, soit par une absence de force de cisaillement pour des hauteurs ´eloign´ees de la pa-roi. Or, ce sont les forces de cisaillement qui provoquent la rotation des particules.

Nous allons donc ´etudier dans la suite, les forces de contacts au sein de l’empilement.

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Figure 6.25 – Ecoulement de l’amas granulaire `a diff´erents temps (500tours/min, µ= 0.1,µb = 0.2).