Temps d’acc´el´eration sur la pale

On mesure le tempste que met la bille pour parcourir la distance xe−x0, o`uxe

est la position en fin de pale prise `a 25cm. On en d´eduit l’angle θ_e = Ωt_e que par-court la pale pendant la phase d’acc´el´eration de la bille. On repr´esente sur la figure 3.13, l’angle parcouru par la pale Ωte, durant l’acc´el´eration de la bille, en fonction de ln(x₀/R). On a remarqu´e exp´erimentalement que cet angle diminue exponentiel-lement avec x0/R.

0 1 2 3 4

ln(x0 / R) 50

100 150 200 250

Ω t e (°) à 25cm

Bille plastique, pale P1 Bille plastique, pales P2 à P5 Fit linéaire : y=-66x+305

Figure 3.13 – Angle de sortie de pale Ωte en fonction de ln(x0/R) pour les billes plastiques.

Le changement de pale n’induit pas de diff´erence significative sur l’angle de sortie.

Cela signifie que dans la plage de variations dern etµ, correspondant aux diff´erents couples particule/pale, ces deux param`etres ont peu d’influence sur l’angle de sortie.

3.4.3 Vitesse du centre de masse et vitesse angulaire

On repr´esente la vitesse Vxe selon (Ox^′) et la vitesse angulaire Rθ˙e de la par-ticule en fonction de x0Ω en fin de pale, c’est-`a-dire pour une position x = 25cm (Figs. 3.14(a), 3.14(b)). La pale P1 est trait´ee s´epar´ement car le nombre d’exp´eriences r´ealis´ees est plus important.

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0 100 200 300 400 500 600 700

Vitesse en fin de pale Vxe (cm/s)

Pale P1

Pales P2, P3, P4, P5

Variation de x₀ à 700rpm Variation de Ω à 1.6cm

(a) Vitesse selon (Ox^′) Variation de Ω à 1.6cm

(b) Vitesse angulaire

Figure3.14 – Vitesses de la particule en fin de pale (x= 25cm) en fonction dex0Ω pour les diff´erentes pales.

(i) Les vitesses augmentent lin´eairement avec Ω. La vitesse selon (Ox^′) semble ind´ependante dex0. En revanche, la variation de la vitesse angulaire avecx0 d´epend du type de pale.

(ii) Dans la plage de variations de rn etµ, correspondant aux diff´erents couples particule/pale, ces deux param`etres ont peu d’influence sur la vitesse selon (Ox<sup>′</sup>) en fin de pale. Ces deux param`etres semblent avoir une influence sur la vitesse an-gulaire de la particule mais cette influence est difficilement estimable ´etant donn´ees les erreurs exp´erimentales.

3.5 Conclusions

Ce chapitre donne un aper¸cu de l’ensemble des exp´erimentations r´ealis´ees en lˆachant une particule sph´erique le long d’une pale en rotation. Le dispositif m´ecanique et ´electronique a ´et´e con¸cu sp´ecialement pour cette ´etude. L’ensemble des exp´eriences a ´et´e film´e par cam´era rapide `a 3000images/seconde.

Dans un premier temps, une ´etude approfondie des chocs `a vitesses ´elev´ees `a

´et´e r´ealis´ee. On a utilis´e la m´ethode de [Foerster et al., 1994] pour mesurer les va-leurs des param`etres m´ecaniques (rn et µ) sur la pale en rotation. On a compar´e ces valeurs `a celles obtenues sur pale statique. On retrouve les mˆemes variations du coefficient de restitution normal avec la vitesse d’impact (l’angle d’impact a peu d’influence sur le coefficient de restitution normal). En revanche, le coefficient de frottement est difficilement mesurable sur la pale en rotation. En effet, les valeurs des angles adimensionn´es de Foerster Ψ12, sont quasiment identiques pour les pre-miers rebonds. Les valeurs de frottement obtenues sont proches de celles obtenues sur pale statique.

Dans un second temps, une ´etude compl`ete de la trajectoire des particules a ´et´e propos´ee. Celle-ci se compose d’une phase de rebonds puis d’un r´egime de roulement

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avec/sans glissement. Une attention particuli`ere a ´et´e apport´ee `a la mesure des vi-tesses angulaires des particules. Ces exp´eriences ont permis d’obtenir les grandeurs caract´eristiques suivantes : la longueur de la phase de saut, la vitesse selon (Ox^′) et la vitesse angulaire en fin de phase de saut et en fin de pale, et le temps d’acc´el´eration des particules. Les effets a´erodynamiques ont une influence non significative sur la trajectoire de la particule.

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Mod´ elisation

analytique/dynamique mol´ eculaire de la trajectoire

Suite `a cette importante campagne de mesures exp´erimentales, nous avons mis en

´evidence certains ph´enom`enes inattendus. Par exemple, l’effet de l’air est n´egligeable sur la trajectoire de la particule, les effets inertiels n’ont pas d’influence sur les pa-ram`etres m´ecaniques d’interaction bille/pale, ou encore l’apparition d’un coefficient de frottement critique au-del`a duquel la particule roule sans glisser.

Ce chapitre a pour but de proposer une mod´elisation analytique de la tra-jectoire d’une particule le long d’une pale rotative. Des mod´elisations ont d´ej`a

´et´e propos´ees auparavant : [Patterson and Reece, 1962] puis [Colin, 1997]. L’ori-ginalit´e de notre mod´elisation repose sur la prise en compte de la phase de re-bonds contrairement aux mod`eles pr´ec´edents. Un mod`ele num´erique, bas´e sur la dynamique mol´eculaire, a ´et´e utilis´e en parall`ele. On utilise une loi visco´elastique lin´eaire de type Spring-Dashpot. Les forces normales et tangentielles sont issues du mod`ele de [Cundall and Strack, 1979] : Eqs. 1.9,1.13,1.30,1.31. On suppose qu’il n’y a pas d’amortissement visqueux tangentiel. On a choisi d’utiliser une valeur ph´enom´enologique pour le coefficient de frottement qu’on a prise ´egale au frotte-ment de Foerster (Tab. 2.2).

Ces deux mod`eles (analytique et DEM) sont sensiblement ´equivalents dans le cas mono particule. Ce chapitre a notamment pour rˆole de v´erifier leur bon accord.

Dans ce chapitre, on va d´ecrire de fa¸con d´etaill´ee la trajectoire d’une parti-cule en n´egligeant l’effet de l’air. Dans un premier temps, la d´efinition des nombres caract´eristiques va permettre d’estimer pour quels mat´eriaux cette th´eorie est va-lide. Ensuite, en explicitant les simplifications effectu´ees dans le mod`ele analytique, on d´etaillera les ´equations de la phase de rebonds puis de la phase de roulement avec/sans glissement. On s’attardera sur l’influence de la vitesse angulaire et des rebonds sur la trajectoire de la particule. Enfin, on testera ce mod`ele analytique `a partir des exp´erimentations expos´ees dans le chapitre 3.

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4.1 D´ efinition de nombres caract´ eristiques

A partir des ´equations des forces s’appliquant sur la particule, Eqs. 3.1`a3.4, on applique le principe fondamental de la dynamique :

– dans la direction~ex^′ :

L’´equation adimensionn´ee selon~ex^′ (Eq. 4.2), laisse apparaˆıtre un nombre tem-porel sans dimension :

Nt= Ωtc (4.3)

o`u tc est le temps de collision entre deux mat´eriaux. Pour une collision entre une particule et un mur, tc s’exprime en fonction des param`etres m´ecaniques t²_c =m

π²+(lnrn)² Kn

.

Si le nombre temporel N_t<<1, cela signifie que le temps de collision est suffi-samment court pour que la collision puisse ˆetre consid´er´ee comme instantan´ee.

Les forces d’inertie n’ont donc pas d’effet sur la vitesse selon ~ex^′. – dans la direction~ey^′ (on n´eglige la force centrifuge) :

md²y

L’´equation adimensionn´ee selon~ey^′ (Eq. 4.5), laisse apparaˆıtre un nombre cen-trifuge sans dimension :

Nc = x0Ω R/tc

(4.6) Pour comprendre le nombre centrifuge, il faut le d´ecomposer :

D’une part, la vitesse de la pale `a la position x0 vaut x0Ω. D’autre part, la vitesse typique d’une particule qui rebondit sur un mur statique d’une hauteur

´egale `a son rayon R peut ˆetre ´ecrite ˙x ∼ R/tc. Le nombre centrifuge corres-pond donc au rapport de ces deux vitesses.

- Si Nc >> 1, la vitesse de la pale est bien sup´erieure `a celle de la bille, la particule n’est pas capable de rebondir, on est en r´egime de collage.

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- Au contraire siNc <<1, l’effet de la pale est n´egligeable sur les caract´eristi-ques de l’impact, la particule rebondit.

Si on utilise des particules pour lesquelles Nc <<1 et Nt<< 1, chaque collision peut ˆetre consid´er´ee comme instantan´ee et ´equivalente `a une collision sur pale sta-tique, autrement dit les effets inertiels seront n´egligeables.

On mesure ces deux param`etres pour nos particules plastiques (Kn = 75 ·10³ N/m, m= 0.2g, R= 3mm, rn = 0.8), on obtient avec x0 = 2cm, Ω = 80rad/s :

Nc = 0.09 (4.7)

Nt = 0.01 (4.8)

pour un temps de collision detc = 0.2ms. Ces deux nombres centrifuges sont relative-ment faibles pour que l’on puisse consid´erer les collisions instantan´ees et ´equivalentes

`a une collision sur pale statique. Ceci explique que dans le chapitre 3 en mesurant les valeurs des param`etres m´ecaniques sur pale rotative, on ait retrouv´e les mˆemes valeurs que sur la pale statique.

On introduit un autre nombre caract´eristique Nair qui caract´erise l’importance de l’air (de masse volumique ρ_air = 1kg/m³) par rapport `a la force centrifuge :

N_air =C_dρair

ρbille dx dt

2

Ω²xR

!

(4.9) On mesure ce nombre pour nos particules plastiques (ρbille= 1768kg/m³, R= 3mm,

dx

dt = 13m/s), pour une vitesse de rotation Ω = 500tours/min, `a l’extr´emit´e de la pale x = 0.3m. L’effet de l’air est plus important en bout de pale, car la vitesse de la bille est plus importante. On obtient Nair = 2%. L’air a donc peu d’effet sur la trajectoire des particules plastiques.

4.2 La phase de rebonds

On va traiter, dans un premier temps, la phase de rebonds. Les positions selon~ex^′

des rebonds, not´ees x0, x1, . . . , xs, ont une hauteur deH0, H1, . . . , Hs (cf. Fig. 4.1).

On suppose que la particule ne rebondit plus lorsque ^H_R^s ≤ ₁₀₀¹ .

Chaque collision particule-pale peut ˆetre caract´eris´ee par le mod`ele de [Walton, 1988]

`a trois param`etres suppos´es constantsrn,µetβ. Si [Maw et al., 1981] et [Johnson, 1982]

ont d´emontr´e l’importance de consid´ererβdue `a la compliance tangentielle ´elastique, [Gorham and Kharaz, 2000] estiment que les caract´eristiques des rebonds sont cor-rectement d´ecrites par seulement deux param`etres (rn et µ), si l’angle d’incidence avec la normale est sup´erieur `a 30˚.

Dans notre ´etude, sur la pale rotative, les angles d’incidence sont toujours sup´e-rieurs `a 30˚au-del`a du second impact, quelles que soient les conditions

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Phase de collage PALE

Phase de rebond

x

_s

x

₁

x

₂

x

₀

H

₀

1

Figure 4.1 – Sch´ematisation de la trajectoire de la particule dans le rep`ere de la pale.

les (Tab. 2.4). On a donc choisi de repr´esenter chaque collision par le mod`ele sim-plifi´e `a deux param`etres dans le mod`ele analytique et dans le mod`ele de dynamique mol´eculaire.

On d´ecompose le probl`eme en ´etudiant tout d’abord la trajectoire de la particule entre deux impacts i.e. durant le vol balistique (l’air est suppos´e sans effet). Puis on

´etudie les variations de vitesses pendant un impact. On d´efinit enfin les param`etres mesur´es dans les exp´erimentations : la position, la vitesse selon ~ex^′ et la vitesse angulaire en fin de phase de saut.

Dans le document en fr (Page 97-103)