Exp´eriences de choc avec les particules de KCl

pour les collisions entre les grains d’Ammoni-trate et les diff´erentes pales en acier.

Les param`etres m´ecaniques r<sub>n</sub> et µ sont d´etermin´es `a partir des chocs glissants (cf. Tab. 2.3). Il est difficile de donner un ordre de grandeur des coefficients de res-titution tangentiel pour les chocs roulants.

Revˆetement rn (Ψ1 = 0) µ

P1 rn= 0.24±0.04 µ= 0.46±0.03 P3 rn= 0.46±0.09 µ= 0.29±0.03 P4 r_n= 0.23±0.06 µ= 0.52±0.06 P5 rn= 0.68±0.03 µ= 0.93±0.07

Table 2.3 – Particules d’Ammonitrate. Coefficient de restitution normal lorsque Ψ₁ = 0 et coefficient de frottement mesur´es lors des chocs selon la m´ethode de [Foerster et al., 1994].

Pour les billes plastiques, les valeurs de frottement mesur´ees par la m´ethode de Foerster ´etaient (pour la majorit´e) inf´erieures aux valeurs du frottement de Cou-lomb. Avec les grains d’Ammonitrate, les valeurs de frottement de Foerster sont sup´erieures de 5% `a 90% aux valeurs mesur´ees sur plan inclin´e.

2.1.5.4 Exp´eriences de choc avec les particules de KCl M´ethode de [Sommerfeld and Huber, 1999]

On utilise la m´ethode de [Sommerfeld and Huber, 1999] qui est une extension de la m´ethode de Foerster `a des grains de formes irr´eguli`eres. Ainsi les particules de KCl sont consid´er´ees comme des sph`eres rebondissant sur une surface inclin´ee

CemOA : archive ouverte d'Irstea / Cemagref

virtuellement d’un angle φ.

Il faut tout d’abord estimer l’angle d’inclinaison avant de calculerrn etµ. On utilise le mˆeme dispositif exp´erimental qu’avec les billes plastiques. Nous avons r´ealis´e une statistique de 20 exp´eriences pour chaque angle d’inclinaison. La difficult´e de la me-sure de la collision d’une particule anguleuse de KCl, vient du fait que l’´ejection est un ph´enom`ene 3D : l’angle de rebond ne se situe pas dans le mˆeme plan que l’angle d’incidence. Il a donc ´et´e n´ecessaire de r´ep´eter chaque s´erie d’exp´eriences en pla¸cant la cam´era d’abord dans le plan (x’, y’) puis dans le plan perpendiculaire (x’,z’). La figure 2.18 sch´ematise la collision d’une particule de KCl sur une pale inclin´ee d’un angle (π−θi). Nous avons seulement ´etudi´e les collisions avec deux pales : la pale P1 et la pale P5.

➥ La mesure avec la cam´era en position 1, permet de rep´erer les vitesses avant choc V_xy1^′ (V_z1^′ = 0), l’angle d’incidence θi, la vitesse normale apr`es choc V_y2^′ et la projection de l’angle de rebond θ_r^p dans le plan (x’,y’).

➥La mesure avec la cam´era en position 2, permet d’acqu´erir les vitesses apr`es choc V_xz2^′ et l’angle polaire ϕr.

pale testee

camera position 1

camera position 2

V

^′_x1

x

^′

z

^′

V

_y1^′

y

^′

ϕ

_r

V

^′_x2

θ

i

V

^′_y2

V

_z2^′

θ

_r^p

r

Figure 2.18 – Sch´ematisation du mod`ele de Sommerfeld o`u la particule anguleuse est consid´er´ee comme une sph`ere. Le rebond est un ph´enom`ene 3D, il faut donc le filmer sous deux angles diff´erents.

L’angle de rebond de la particule est alors calcul´e ainsi :

tanθr = tanθ_r^pcosϕr (2.4)

CemOA : archive ouverte d'Irstea / Cemagref

On en d´eduit les param`etres m´ecaniques vis-`a-vis de la surface r´eelle : le co-efficient de restitution normal rm = V_y2^′ /V_y1^′ et le coefficient de frottement (i.e.

l’impulsion lors d’un contact glissant) calcul´e suivant la direction (Or) : µm = (

q

(V_x2^{′ 2}+V_z2^{′ 2})−V_x1^′ )/(V_y2^′ −V_y1^′ ).

Ces deux param`etres m´ecaniques doivent ensuite ˆetre corrig´es pour obtenir les param`etres d’impact vis-`a-vis de la surface virtuelle `a partir des Eqs. 1.50 et 1.51.

Estimation de l’inclinaison de la surface virtuelle φ :

On mesure l’angle de rebond selon l’´equation 2.4 pour les particules de KCl. L’´ecart entreθr etθ_r^p est insignifiant quand l’angle d’impactθi est inf´erieur `a 40˚(θ^p_r−θr <

1˚) et augmente sensiblement pour des angles d’impact sup´erieurs (θ^p_r−θr <15˚).

La figure 2.19 compare l’angle de rebond en fonction de l’angle d’incidence pour les particules de KCl et les billes plastiques sur les pales P1 et P5.

0 20 40 60 80 100

θ_i (degré) 0

20 40 60 80 100

θ r (degré)

KCl, pale P1 KCl, pale P5

Bille plastique, pale P1 Bille plastique, pale P5 θ_r = θ_i

Figure 2.19 – Angle de rebond θr en fonction de l’angle d’incidence θi pour les grains de KCl et les billes plastiques sur les pales P1 et P5.

(i) La collision des billes plastiques peut ˆetre consid´er´ee comme sp´eculaire : les angles d’incidence et de rebond sont ´egaux et dans le mˆeme plan (θ_r ≈ θ_i). On observe que pour les chocs glissants :θr =θi et que pour les chocs roulants : θr est l´eg`erement sup´erieur `a θi.

(ii) Pour les collisions du KCl sur la pale P1, la moyenne de l’angle de rebond est toujours deux fois plus faible que l’angle d’incidence avec un ´ecart-type quatre fois plus faible :

θ^P_r¹ = 1

2± 1 4

θ_i (2.5)

CemOA : archive ouverte d'Irstea / Cemagref

Surface réelle θ_i

θ¯_r =θ_i/2 φ¯=θ_i/4

1

Figure 2.20 – Sch´ematisation du rebond d’une particule de KCl sur la pale P1 θ¯_r^P1 = ¯θi/2. Pour obtenir une collision sp´eculaire, la surface virtuelle doit ˆetre inclin´ee n´egativement de ¯φ^P1 =−θ¯_i/4.

Pour obtenir une collision sp´eculaire avec le KCl, il faut “incliner virtuellement”

la pale d’un angle φ^P1 (voir Fig. 2.20).

φ^P1 =− 1

4 ± 1 8

θi (2.6)

Contrairement `a ce qu’a pr´evu Sommerfeld, la moyenne de l’angle ¯φ^P1 n’est pas centr´ee sur z´ero.

(iii) Pour les collisions du KCl sur la pale P5, les ´ecart-types sont nettement plus

´elev´es. L’angle de rebond θ^P_r⁵ est d´efini par : θ^P_r⁵ =

( 2θi±15˚ si θi ≤20˚

42±20˚ si θi >20˚ (2.7)

de la mˆeme fa¸con, pour obtenir une collision sp´eculaire avec la pale P5, il faut “in-cliner virtuellement” la pale d’un angle φ^P5 :

φ^P5 =

( θ_i/2±15/2˚ siθ_i ≤20˚

20−θi/2±10˚ siθi >20˚ (2.8) On observe que pour des faibles angles d’incidence (θi <40˚), l’inclinaison de la sur-face virtuelle est positive et pour des angles sup´erieurs, l’inclinaison devient n´egative comme pour la pale P1.

Estimation du coefficient de restitution rn :

On compare le coefficient de restitution mesur´erm vis-`a-vis de la surface r´eelle

`a partir des collisions film´ees en position 1 (cf. Fig. 2.21). On utilise l’Eq. 1.50, pour obtenir le coefficient de restitution rn, vis-`a-vis de la surface virtuelle (Fig. 2.22).

On utilise la valeur moyenne de l’inclinaison virtuelle ¯φ.

(i) Le coefficient de restitution mesur´e rm, vis-`a-vis de la surface r´eelle, d´ecroˆıt avec l’angle d’impact. Mais la loi de d´ecroissance est diff´erente selon la pale : lin´eaire pour la pale P1 et en puissance pour la pale P5. Les ´ecarts-types pour la pale P5

CemOA : archive ouverte d'Irstea / Cemagref

sont 2 `a 4 fois sup´erieurs.

rm mesuré (surface réelle)

KCl, pale P1 KCl, pale P5

Figure 2.21 – Coefficient de restitution mesur´e rm vis-`a-vis de la surface r´eelle pour les impacts des particules de KCl sur les pales P1 et P5.

Figure 2.22 – Coefficient de restitution rn d´eduit des Eqs. 1.50,1.51 vis-`a-vis de la surface virtuelle pour les impacts des particules de KCl sur les pales P1 et P5.

(ii) Avec la pale P5, le coefficient de restitution mesur´e rm, vis-`a-vis de la sur-face r´eelle, est sup´erieur `a 1 pour les faibles angles d’incidence (θ_i <20˚). En effet, comme l’angle de rebond est sup´erieur `a l’angle d’incidence pourθi <20˚(Eq. 2.7), on obtient une vitesse V<sub>y2</sub><sup>′</sup> apr`es choc sup´erieure `a la vitesse V_y1^′ avant choc, ce qui est coh´erent avecr_m >1.

(iii) On retrouve la variation lin´eaire rn = 1−αθi que Sommerfeld a obtenu pour ses collisions de grains de quartz sur une surface en acier. On peut d´eduire le coefficient de restitution rn vis-`a-vis de la surface virtuelle pour les pales P1 et P5 (θi est exprim´e en degr´e) :

r_n=

( 1−0.00904θi pale P1

1−0.00545θ_i pale P5 (2.9)

Evaluation du coefficient de frottement µ :

On utilise l’Eq. 1.51, pour obtenir le coefficient de frottement vis-`a-vis de la surface virtuelle. La figure Fig. 2.23 repr´esente le coefficient de frottement en fonction de l’angle θ_i. On observe de fortes variations sur cette valeur de frottement. Pour la suite, on donne une valeur moyenne du coefficient de frottement avec l’angle d’incidence pour les particules de KCl :

µ=

( 0.36±0.05 pale P1

0.4±0.2 pale P5 (2.10)

CemOA : archive ouverte d'Irstea / Cemagref

0 20 40 60 80 100 θ_i (degré)

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

µ (surface virtuelle)

KCl, pale P1 KCl, pale P5

Figure 2.23 – Coefficient de frottement mesur´e rm vis-`a-vis de la surface virtuelle pour les impacts des particules de KCl sur les pales P1 et P5.

Dans le document en fr (Page 70-75)