Selon les sollicitations, les mat´eriaux granulaires pr´esentent des comportements m´ecaniques vari´es qui peuvent s’apparenter aux diff´erents ´etats de la mati`ere. Ils
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peuvent ˆetre assimil´es aux solides ´elastoplastiques, aux fluides visqueux, ou pˆateux voire aux gaz denses sous forte agitation [Jaeger et al., 1996] (Fig. 1.1).
Figure 1.1 – Les milieux granulaires peuvent se comporter comme un solide, un liquide ou un gaz selon le mode de sollicitation (Figure extraite de [Pouliquen, 2001]).
1.2.1 Le r´ egime quasi-statique
Un ensemble de grains pos´es sur une table peut former un tas statique. Le mat´eriau reste sans mouvement et se comporte donc comme un solide. L’empile-ment est dense, le cisailleL’empile-ment est faible et les d´eformations sont alors lentes et continues. Dans ce r´egime, les forces se transmettent par un r´eseau comme dans le cas statique, mais ´evoluent au cours du temps. La dissipation d’´energie se fait alors principalement par frottement. C’est le r´egime ´etudi´e par lesm´ecaniciens des sols, pour des probl`emes de stabilit´e (talus. . .) et pour des probl`emes de tassement (fon-dations. . .) [Nedderman, 1992], [Wood, 1999].
1.2.2 Le r´ egime collisionnel
A l’autre extrˆeme, si on secoue ´energ´etiquement le tas de grains, le milieu devient tr`es agit´e, dilu´e et fortement cisaill´e, avec des particules bougeant dans tous les sens. Dans ce r´egime qu’on appelle collisionnel, (ou inertiel selon [Bagnold, 1954]), le milieu ressemble `a un gaz o`u les grains jouent le rˆole des mol´ecules subissant des collisions binaires. Dans la limite des corps rigides, les collisions peuvent ˆetre consid´er´ees comme quasi-instantan´ees i.e. la dur´ee du contact est tr`es courte devant le temps de vol entre deux collisions. Par analogie avec un gaz, ces milieux granulaires peuvent ˆetre d´ecrit par la th´eorie cin´etique des gaz denses ([Campbell, 1990], [Jenkins and Savage, 1983], [Goldhirsch, 2003]). La diff´erence majeure entre un gaz et un milieu granulaire agit´e, r´eside dans la dissipation lors des collisions. Les chocs entre grains sont in´elastiques et une partie de l’´energie est perdue `a chaque collision.
Pour rester dans le r´egime cin´etique, il faut donc injecter de l’´energie au syst`eme en secouant par exemple les grains.
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1.2.3 Le r´ egime dense
Enfin, entre le r´egime quasi-statique et le r´egime collisionnel, on observe des
´ecoulements denses, comme dans un sablier. Les particules interagissent `a la fois par collisions et par contacts frictionnels de longue dur´ee. Dans ces situations, des zones dilu´ees coexistent avec des zones compactes. En raison du rˆole pr´epond´erant de la dissipation, beaucoup d’´ecoulements sont donc en r´egime dense. La diff´erence avec le r´egime quasi-statique r´eside dans des effets inertiels importants.
Les ´ecoulements granulaires denses ont ´et´e largement ´etudi´es dans six configura-tions o`u se produit un cisaillement simple, les propri´et´es rh´eologiques pouvant ˆetre mesur´ees [G.D.R. Midi, 2004]. Ces diff´erentes g´eom´etries peuvent ˆetre s´epar´ees en deux familles : les ´ecoulements confin´es, et les ´ecoulements `a surface libre.
Les ´ecoulements confin´es sont le cisaillement plan (Fig. 1.2(a)) o`u le cisaillement est dˆu au mouvement d’une paroi ; le cisaillement annulaire (Fig. 1.2(b)), dans lequel le mat´eriau, confin´e entre deux cylindres, est cisaill´e par la mise en ro-tation du cylindre int´erieur ; et l’´ecoulement en conduite verticale (Fig. 1.2(c)), dans laquelle le mat´eriau s’´ecoule par gravit´e entre deux plaques rugueuses ver-ticales. Les ´ecoulements `a surface libre sont les ´ecoulements sur plan inclin´e rugueux (Fig. 1.2(d)) ; les ´ecoulements sur fond meuble (Fig. 1.2(e)) et les ´ecoulements en tambour tournant (Fig. 1.2(f)).
Figure 1.2 – Six g´eom´etries d’´ecoulement : (a) le cisaillement plan, (b) le cisaille-ment annulaire, (c) la conduite verticale, (d) le plan inclin´e, (e) le socle meuble, (f) le tambour tournant (Figure extraite de [G.D.R. Midi, 2004]).
Les ´equations constitutives ne sont pas encore ´etablies dans le r´egime d’´ecoule-ment dense [Prochnow, 2002], [Pouliquen and Chevoir, 2002], [G.D.R. Midi, 2004].
Toutefois, dans les configurations sous cisaillement simple, une approche hydrody-namique de type Saint-Venant, propos´ee par [Savage and Hutter, 1989], permet de d´ecrire quantitativement des ´ecoulements relativement complexes. Elle repose sur l’hypoth`ese que la couche de l’´ecoulement est fine devant les longueurs
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ract´eristiques de l’´ecoulement. C’est le cas dans de nombreux ´ecoulements g´eophysi-ques o`u une couche de mat´eriaux de quelques dizaines de m`etres s’´ecoule sur des kilom`etres. L’id´ee des ´equations de Saint-Venant est de tirer profit de l’hypoth`ese de couche mince pour n´egliger les variations des param`etres selon l’´epaisseur et essayer de d’´ecrire l’´ecoulement par son ´epaisseur locale et sa vitesse moyenne.
➾Le nombre inertiel
La classification des ´ecoulements granulaires en trois r´egimes (solide, liquide, gaz), bien que fond´ee sur des arguments physiques raisonnables, est plus historique que rigoureusement ´etablie. D’autres ´etudes sur des ´ecoulements sous cisaillement ho-mog`ene `a travers des simulations bidimensionnelles des mat´eriaux granulaires secs [Da Cruz, 2004], [G.D.R. Midi, 2004] proposent de d´eterminer le r´egime du mat´eriau en fonction d’unnombre inertiel I. Ce nombre sans dimension repr´esente le taux de cisaillement adimensionn´e et peut ˆetre interpr´et´e comme le rapport de deux temps : le temps caract´eristique de confinement Tp =p m
2RP et le temps de cisaille-mentTγ = 1γ˙ (m est la masse des particules, P est la pression agissant sur le milieu et ˙γ est le taux de cisaillement).
I = ˙γ r m
2RP (1.1)
Pour I ≤ 10−3, il s’agit du r´egime quasi-statique, o`u le mat´eriau est d´ecrit comme un solide ´elastoplastique (´etat critique de la m´ecanique des sols). `A mesure que I augmente, l’influence de l’inertie s’ajoute au frottement des particules, il s’agit du r´egime des ´ecoulements denses : la dur´ee moyenne des contacts diminue et le milieu se dilate. Au-del`a du r´egime dense (I ≥ 10−1), on observe le r´egime collisionnel, pour lequel des collisions binaires entre les particules dominent le comportement du mat´eriau.
La configuration dont nous allons discuter dans cette th`ese est l’´ecoulement d’un mat´eriau, `a surface libre, le long d’une paroi rotative verticale, sans paroi lat´erale (Fig. 1.3). Le milieu s’´ecoule sous l’effet simultan´e de la gravit´e et des forces iner-tielles. Dans cette configuration nouvelle, on souhaite caract´eriser deux types de limites de r´egimes : des ´ecoulements denses de particules et des ´ecoulements dilu´es de particules.
Figure1.3 – G´eom´etrie d’´ecoulement ´etudi´ee dans cette th`ese : plan vertical rotatif.
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