Variables de composition pour la combustion prémélangée hétérogène . 38

La combustion prémélangée dans les conditions hétérogènes en composition peut être dé-crite en fonction de deux variables de composition : une variable pour décrire la composition du mélange et une autre pour décrire le progrès des réactions chimiques. Une variable de progrès modifiée est nécessaire pour tenir compte de la variation de la composition du mé-lange [57, 58, 59]. Cependant, la modification de la variable de progrès est souvent liée à la définition de la fraction de mélange. Une variable de composition supplémentaire sous forme de richesse locale est également définie dans les simulations de la combustion prémélangée des réactifs hétérogène. La richesse est souvent définie en fonction de la fraction de mélange.

2.9.2.1 Fraction de mélange

La fraction de mélange est souvent exprimée en utilisant à la fois les fractions massiques de combustible et de comburant. Pour une DNS utilisant une chimie simple, la fraction de mélange est définie comme :

ξ = ^YF−Y_O/rs+1/(r_s+r_sγ)

1+1/(rs+rsγ) ^(2.81)

où Y_F et Y_O sont respectivement la fraction massique du combustible et du comburant, r_s est le rapport massique stœchiométrique, et γ est le rapport massique azote-oxygène. Dans les simulations faisant appel à une description détaillée de la cinétique chimique, l’équation (2.81) est modifiée pour inclure les radicaux. La fraction de mélange des éléments chimiques est souvent utilisée pour définir la fraction de mélange d’un système multi-espèces. La fraction de mélange élémentaire est obtenue à partir de [60] :

ξ_β = Nsp

∑

où β fait référence aux éléments (C, H et O), N_spdésigne le nombre total d’espèces considérées, W_β la masse atomique de l’élément β et n_β,αle nombre d’atomes de l’élément β dans l’espèce α. Dans ce cadre la fraction de mélange est définie comme :

ξ =ξ_C+ξ_H (2.83)

où ξ_C et ξ_H sont les fractions du mélange élémentaire de carbone et d’hydrogène respective-ment. Avec les fractions de mélange définies, la richesse locale est donnée par [60,57,58] :

Φ= ^ξ

1−ξ

1−ξ^st

ξ^st (2.84)

où l’indice st indique une valeur associée à un mélange stœchiométrique. La valeur de ξ^st est obtenue en additionnant ξ_C^stet ξ^st_H. En particulier, pour un hydrocarbure C_nH_m, la richesse locale s’exprime comme suit :

Φ= ^{ξC/WC+ξH/4WH}

2ξ_O/W_O ^(2.85)

Dans le cas d’un mélange hétérogène, la richesse locale Φ et les fractions de mélange élémentaires ξ_β sont des fonctions de l’espace et du temps. L’équation de transport de la fraction de mélange s’écrit :

∂ρξ ∂t + ^∂ρukξ ∂x_k = ^∂ ∂x_k  ρD_ξ ^∂ξ ∂x_k  = ^∂ ∂x_k  ρD_ξC^∂ξC ∂x_k  + ^∂ ∂x_k  ρD_ξH^∂ξH ∂x_k  (2.86)

où D_ξ est le coefficient de diffusion de la fraction de mélange et D_ξC et D_ξH sont les coefficients de diffusion pour les fractions de mélange élémentaires de carbone et d’hydrogène. Le terme de diffusion pour la fraction de mélange peut être séparé en deux termes de diffusion des de carbone et d’hydrogène, mais le coefficient de diffusion pour la fraction de mélange n’est pas la combinaison linéaire des coefficients de diffusion carbone et hydrogène. D_ξ 6=D_ξC+D_ξH .

2.9.2.2 Variable de progrès

Dans l’analyse des flammes prémélangées, qu’elles soient laminaires ou turbulentes, il est commode de suivre l’évolution de diverses quantités en utilisant la variable de progrès

de la combustion. La variable de progrès, qui est une fonction de l’espace et du temps, suit de façon monotone l’évolution de la flamme prémélangée de zéro dans les réactifs à l’unité dans les produits. Pour conserver la signification physique de la variable de progrès pour l’analyse quantitative, elle doit être définie en utilisant des quantités physiques comme les fractions massiques des espèces, la température ou encore la masse volumique (volume spé-cifique). Il existe plusieurs définitions de la variable de progrès dans la littérature, qui sont principalement basées sur la température normalisée ou sur la fraction massique des espèces normalisées.

Étant donné que, dans le présent travail, les calculs DNS permettent d’évaluer les fractions de mélange élémentaires et que cela porte sur la variation de la composition des réactifs, la variable de progrès basée sur les fractions massiques des espèces et de la fraction de mélange est préférée à celle basée sur la température.

Dans cette optique, la variable de progrès c est définie à l’aide des fractions massiques de certaines espèces présentes dans les produits brûlés et de leurs valeurs à l’équilibre sous la forme :

c= ∑k∈SY_k

∑_k∈SY_k^eq(ξ) ^(2.87)

où S est l’ensemble des espèces choisies pour construire la variable de progrès c et Y_k^eq(ξ)la fraction massique de l’espèce k à l’équilibre.

Lorsque la variable de progrès c est définie sous la forme donnée par l’équation (2.87), son équation de transport peut être écrite comme⁸:

ρDc Dt =∇(ρDc∇c) +ω˙_c+Aξcχξ+2Bξχ_c,ξ+Bξc ρ ∇ ρ(Dc−Dξ)∇ξ (2.88) avec : ˙ ω_c= ∑k∈Sω˙_k ∑k∈SY_k^{eq ,} Aξ = ^ρ ∑k∈SY_k^eq∑k∈S d2Y_k^eq dξ2 , Bξ = ^ρ ∑k∈SY_k^eq∑k∈S dY_k^eq dξ et Dcest le coefficient de diffusion, défini de manière à ce qu’il vérifie la condition :

D_c =

∑

∑

χ_ξ et χc,ξ sont respectivement les termes de dissipation scalaire pour la fraction de mélange et le terme de dissipation scalaire croisée de la variable de progrès et de la fraction de mélange. Ils sont donnés par :

χ_ξ =D_c ^∂ξ ∂x_k ∂ξ ∂x_k (2.90a) χ_c,z =D_c ^∂ξ ∂x_k ∂c ∂x_k (2.90b)

Le rôle de ces termes de dissipation scalaire en tant que termes puits ou sources dépend des dérivées partielles des fractions massiques des espèces par rapport à la fraction de mélange.

L’élaboration de l’équation de transport de la variable de progrès fournie dans l’équation (2.88) suit une démarche similaire à celle suivie parBray et al.[61]. En revanche, cette équation propose des termes différents de ceux présents sur l’équation de transport de c élaborée par

Bray et al. [61]. Le premier et le second terme du membre de droite sont, respectivement, le

termes de diffusion et de réaction.

Le termeAξχ_ξ est associé aux flammelettes de diffusion, et le terme de dissipation croisée Bξχ_c,ξ pourrait s’écrire également :

Bξχ_c,ξ =BξD_cn_ξ·n_ck∇ck|∇ξ| = Bξn_ξ·n_c(χ_cχ_ξ)1/2 (2.91) où nξ et nc sont des vecteurs unitaires normaux aux isosurfaces de ξ et c, respectivement. Ainsi χ_c,ξ est nulle lorsque ce isosurfaces sont perpendiculaires l’une à l’autre et elle est égale à(χ_cχ_ξ)1/2lorsqu’elles sont parallèles. Le terme de dissipation croisée permet de tenir compte des variations de la fraction de mélange à la traversée d’une flamme partiellement prémélan-gée.

Le dernier terme sur les second membres de l’équation (2.88) résulte de la différence entre les coefficients de diffusion. La contribution de ce terme deviendra plus grande lorsque (i) la différence entre les coefficients de diffusion est suffisamment importante ou (ii) le gradient spatial de la fraction de mélange est de magnitude non négligeable.

Il faut souligner ici que l’équation de transport c exprimée dans l’équation (2.88) est ap-plicable également à la combustion prémélangée, ce qui permettra son utilisation pour les cas homogènes de référence.