Restauration de l’épaisseur thermique de la flamme

ω =K(Φ)ρYFYO  YF+YO φYF+YO 2 exp  − ^Ea RT  (6.27)

où K(Φ) =K(Φ).(Y_F^∞)nF.(Y_O^∞)nO est le coefficient pré-exponentiel, qui est constant pour une valeur donnée de la richesse. La valeur de ce paramètre est optimisée pour prescrire la BSC à une forme donnée.

La détermination du coefficient pré-exponentiel K peut être réalisée selon deux procé-dures distinctes. Si une détermination très précise de la BSC est nécessaire, il est suggéré d’utiliser un code numérique unidimensionnel pour calculer les flammes prémélangées en tenant compte de la chimie et du transport détaillés afin d’obtenir des données de référence. Ensuite, le coefficient K peut être déterminé en fonction de la BSC prescrit qui nous four-nit la vitesse atteinte par la flamme pour toute valeur de la richesse. Une seconde méthode, moins précise mais directe, consiste à déterminer K(Φ)comme une fonction générique avec un nombre réduit de paramètres à ajuster. Seule la première solution sera considérée ici. Elle est appliquée au calcul de la combustion de divers hydrocarbures avec de l’air dans des condi-tions standard. Les résultats correspondants sont reportés sur la Figure 6.10, qui montre que le modèle OSS-2 conduit à une description précise de la vitesse de propagation de la flamme laminaire. Enfin, il convient également de noter que l’évaluation des puissances impliquant le calcul coûteux d’opérations en virgule flottante associées à des exposants non entiers dans (6.10) sont finalement évités en utilisant (6.27).

6.3.3 Restauration de l’épaisseur thermique de la flamme

L’épaisseur d’une flamme laminaire ainsi que sa vitesse de propagation ont été recon-nues comme des propriétés intrinsèques essentielles des flammes laminaires prémélangées

(a) Methane CH₄ (b) Propane C₃H₈

(c) N-heptane C₇H₁₆ (d) Iso-octane C₈H₁₈

Figure 6.10 – Vitesse de flamme laminaire S⁰_Len fonction de la richesse pour Tu = 300.0 K et P =1 atm pour différents hydrocarbures. Symboles : cinétiques chimiques de référence [195, 196, 197, 198], ligne continue : modèles OSS-2 correspondants.

[201, 84]. Son importance est également liée à son utilisation comme échelle pertinente pour l’analyse et l’interprétation de la combustion turbulente prémélangée. Par exemple,Andrews

et al.[202] ont examiné diverses propositions de modélisation pour la combustion

prémélan-gée turbulente et ont discuté de l’utilisation de pour la délimitation des régimes de combus-tion turbulente. Abraham et al. [203] ont utilisé quelques échelles basées sur l’épaisseur de la flamme laminaire pour caractériser la combustion turbulente dans les moteurs à allumage commandé (SI). L’épaisseur de flamme laminaire apparaît en effet comme une quantité clé pour délimiter les régimes de combustion turbulente dans les diagrammes de combustion [159,47,46]. De plus, on admet aujourd’hui dans la littérature que les régimes de propagation de flamme prémélangés turbulents restent généralement dans les limites du régime dit des flammelettes [204]. L’épaisseur de flamme laminaire fournit ainsi l’ordre de grandeur des gra-dients les plus raides présents dans le champ d’écoulement réactif turbulent. Par conséquent, l’épaisseur de la flamme laminaire est également une quantité d’importance primordiale pour les calculs de flamme car elle fixe l’exigence de résolution de calcul.

Il existe plusieurs définitions usuelles de l’épaisseur de la flamme dans la littérature [84,

201, 205, 206]. La plus simple est le rapport d’échelle bien connu δ⁰_L = λ/(c_pρ_uS⁰_L) où λ désigne la conductivité thermique et ρ_uest la masse volumique évaluée dans les réactifs frais. Parmi les autres définitions possibles, l’épaisseur de la flamme peut être estimée à partir de la différence de température entre les produits brûlés et les réactifs frais et de la valeur maximale du gradient de température [149] : qui peut être exprimée par le biais de la variable de progrès :

δ⁰_L= ¹

max(k∇ck) ^(6.28)

L’évolution de l’épaisseur d’une flamme d’iso-octane en fonction de la richesseΦ, obtenue à partir des mécanismes REF-0, OSS-1, OSS-2 et REF-4, est présentée sur la Figure 6.11. Il convient de souligner ici que OSS-1 correspond à l’utilisation de l’espèce virtuelle, de manière à prendre en compte l’oxydation partielle du combustible, en conjonction avec l’eq.(6.11), où les valeurs de K et Ea sont celles recommandées par Westbrook et Dryer [191, 192] . Cette figure montre que, par rapport à la chimie détaillée, le modèle OSS-1 à quatre espèces a tendance à sous-estimer l’épaisseur de la flamme à des richesses élevées. Ce comportement peut non seulement résulter d’une évaluation incorrecte de la vitesse de propagation de la flamme laminaire dans cette gamme spécifique de richesses mais aussi de la représentation des processus diffusifs dont le résultat net sur le profil de température n’est pas reproduit de manière satisfaisante. Il est remarquable qu’en termes d’épaisseur de flamme laminaire il n’y a pas de différences significatives entre les modèles REF-0 et OSS-1 : la restauration de la expansion thermique n’affecte pas significativement l’épaisseur de la flamme laminaire. Sur la même figure sont également reportés les résultats obtenus avec le modèle OSS-2, qui a été optimisé pour récupérer non seulement la température des produits brûlés T_b mais aussi la vitesse de propagation. Comparé aux modèles REF-0 et OSS-1, le modèle OSS-2 présente ainsi une vitesse de propagation de flamme laminaire réduite dans des conditions riches. Il convient de noter que, conformément à l’échelle standard, cette diminution est associée à une légère augmentation de l’épaisseur de la flamme laminaire pour les mélanges riches. Cependant, l’ampleur de cette augmentation est insuffisante pour retrouver la tendance obtenue avec le

schéma chimique détaillé REF-4.

Figure 6.11 – Évolution de l’épais-seur de flamme obtenue à partir de l’équation (6.28) en fonction de la richesse Φ. Combustion d’iso-octane avec de l’air à 5 atm et 700 K.

Dans la présente section, nous décrivons une troisième étape d’optimisation qui permet de reproduire une épaisseur de flamme correcte dans toute la plage de la richesse y compris les mélanges riches dans le cadre de modélisation OSS. On notera ci-après par OSS-3 les résultats obtenus à partir de la procédure d’optimisation triple correspondante (TOP).

Le point de départ de l’analyse est le bilan de température qui peut être déduit du trans-port d’énergie à travers une flamme laminaire prémélangée unidimensionnelle plane non étirée. Comme l’a souligné Blint [206], la plupart des définitions de l’épaisseur de flamme laminaire sont basées sur la forme suivante de ce bilan :

F(x) =ρ_ucpS⁰_L^dT dx − ^d dx  λdT dx  + Nsp

∑

k=1 ρY_kVkc_p,k^dT dx + Nsp

∑

k=1 ˙ ω_kh_k =0 (6.29) oùVkdésigne la vitesse de diffusion des espèces k dans le mélange et ρ est la masse volumique du mélange, qui est déduite de l’équation d’état.

L’équation (6.29) met en évidence l’influence possible des propriétés de transport molé-culaire (λ et Vk) sur la valeur de l’épaisseur de la flamme. Dans les sections précédentes, les ajustements successifs des coefficients polynomiaux thermodynamiques de l’espèce virtuelle et le taux de réaction ont permis de corriger les valeurs de T_b et S⁰_L respectivement. Il est maintenant proposé d’optimiser les propriétés de diffusion moyennes du mélange : λ et/ou Vk de manière à obtenir une estimation satisfaisante de l’épaisseur de la flamme laminaire.

D’une part, la vitesse de diffusion de l’espèce chimique,Vk comprend trois contributions distinctes :

Vk =V1 k +V2

k +V3

k (6.30)

où le premier terme V1

k est la vitesse de diffusion évaluée à partir de l’approximation de

Hirschfelder et al.[207] :

Vk¹=−D_k ¹ X_k

dX_k

dx ^(6.31)

de coefficients de diffusion binaires D_kj : D_k = ¹−Y_k ∑^Nsp j X_j/D_kj (6.32) Le deuxième terme de (6.30),V2

k, est une vitesse de diffusion thermique qui est considérée uniquement pour les espèces chimiques présentant une faible masse molaire comme H, H₂ et He. Enfin, la troisième contribution V3

k est une vitesse de correction qui est incluse pour imposer la conservation de masse. La formulation de cette vitesse de correction est celle re-commandée par Coffee et Heimerl [208, 209] dans leur étude approfondie des modèles de transport pour les flammes hydrogène-air et méthane-air.

D’autre part, la conductivité thermique du mélange multi-espèce est actuellement évaluée à partir de formules moyennées qui impliquent les conductivités thermiques λ_k de chaque espèce, comme recommandé parMathur et al.[14],

λ(Y, T) = ¹ 2 Λ_k+Λ_⊥
avec : Λ_k = Nsp

∑

k=1 X_kλ_k et : Λ_⊥ = Nsp

∑

k=1 X_kλ−1 k (6.33)

De la considération des Eqs. (6.31) et (6.32), on peut conclure qu’agir sur les vitesses de diffu-sion moléculaire et les coefficients de diffudiffu-sion associés D_k nécessite la manipulation de tous les coefficients de diffusion binaires D_kj, conduisant ainsi à un système plutôt important à op-timiser. Le système correspondant comporte en effet de nombreux degrés de liberté (D_ij avec i, j ∈ {F=C_nH_m, O₂, N₂, A_Φ}et i6=j) et cela peut conduire à des difficultés non négligeables compte tenu des fortes non-linéarités des formules utilisées pour évaluer ces différentes quan-tités [207]. Une approche plus simple (comportant un nombre réduit de degrés de liberté dans le problème à optimiser) peut être introduite en utilisant (6.33) et en considérant seulement les modifications de la conductivité thermique de l’espèce virtuelle.

En partant de la solution T^s(x) de l’équation (6.29) obtenue en utilisant le mécanisme détaillé de référence (REF-4) pour décrire la combustion de l’iso-octane et pour un ensemble donné de conditions initiales (Φ, Tu, p), un profil de la variable de progrès c(x) peut être déterminé. A partir du profil correspondant, les profils des fractions massiques des quatre espèces Y_k(x)peuvent être initialisés comme :

Y_k(χ) = (1−c(χ)).Y_k^u(Φ) +Y_k^b(Φ, Tu, p) (6.34) où k représente le combustible F, le comburant O, l’azote N₂ et l’espèce fictive A_Φ.

Ensuite, nous exprimons la fonction de coût (CF) suivante, à minimiser :

CF=kF(λ,K)k = ρ_ucpS⁰_L^dT s dx − ^d dx  λdTs dx  + Nsp

∑

k=1 ρY_kVkc_p,k^dT s dx + Nsp

∑

k=1 ˙ ω^oss_k h_k (6.35)

de la section6.3.2: ˙ ω^oss_k = ν_kω˙^oss =ν_kKφ Y_F+Y_O φY_F+Y_O 2 Y_FY_Oexp  − ^Ea RT  (6.36)

Dans les équations ci-dessus, les quantités en rouge désignent les paramètres à optimiser. Il convient de noter qu’il s’agit d’un vecteur contenant les valeurs de conductivité thermique obtenues à chaque nœud de calcul, alors que le facteur pré-exponentiel K est une quantité scalaire.

Enfin, les valeurs de la conductivité thermique et du facteur pré-exponentiel sont recher-chées comme solutions du problème de contrôle optimal (contraint) suivant :

               min_(K,λ)CF(λ,K) =0 λ(T) >0 ; dλ/dT ≥0 (∀T∈ [T_u, T_b]) (I) ρuS⁰_LY_k =R+∞ −∞ ω^˙oss_k dx (pour k=A_Φ) (II) avec ˙ω^oss_k = ν_kKφ  Y_F+Y_O φY_F+YO 2 Y_FY_Oexp^− Ea RT  (6.37)

La contrainte (I) impose que λ soit une fonction croissante monotone de la température et (II) est une contrainte intégrale résultant de l’intégration de l’équation de transport de l’espèce virtuelle de −∞ à +∞. Cette seconde contrainte implique la valeur de référence de S⁰_L, c’est-à-dire celle obtenue à partir du schéma chimique détaillé (REF-4). Le problème ci-dessus (l’équation (6.37)), est résolu en appliquant la méthode de programmation séquentielle des moindres carrés (SLSQP) [210].

Puisque le vecteur de conductivité du mélange λ, obtenu en tant que solution de (6.37), est lié aux conductivités thermiques des espèces et aux fractions molaires par (6.33), il devient possible de récupérer λA_Φ à partir de la valeur de λ obtenue à chaque point du domaine de calcul. Lorsque X_AΦ est zéro, par exemple, du côté des réactifs frais, la valeur de λ_AΦ est supposée égale à celle évaluée au point de calcul le plus proche où X_AΦ 6=0.

En outre, il est maintenant possible d’exprimer la conductivité thermique de l’espèce vir-tuelle en fonction des valeurs de la température obtenues dans le domaine de calcul. A partir de cette expression, la représentation polynomiale de λA_Φ en fonction de la température peut être obtenue sous une forme qui peut être gérée par les bibliothèques de transport Cantera (ou Chemkin) : log(λ_AΦ) = 3

∑

n=0 b_n,AΦlog(T)ⁿ (6.38)

Les coefficients sont ensuite tabulés en fonction de (Φ, Tu, P). La Figure 6.12 fournit un exemple de l’application de la méthode. Le modèle optimisé en une étape optimisé (OSS-3) permet désormais de retrouver avec précision l’épaisseur de la flamme quelle que soit la valeur de la richesse.

Comme souligné dans la définition du problème de contrôle optimal donné par (6.37), l’optimisation de l’épaisseur de la flamme peut également influencer la valeur du facteur pré-exponentiel K initialement retenue pour reproduire une estimation satisfaisante de la vitesse de propagation laminaire S⁰_L dans le cadre de OSS-2. Ceci est illustré sur laFigure 6.13, qui

Figure 6.12 – Estimation de l’épaisseur de la flamme laminaire dans les mêmes conditions que celles considérées dans la Figure 6.11. Com-paraison entre la chimie détaillée et le modèle OSS-3.

confirme que les valeurs K(Φ)du modèle OSS-2 sont en effet significativement modifiées dans des conditions riches afin de récupérer à la fois la vitesse et l’épaisseur de propagation de la flamme laminaire avec le modèle OSS-3.

Figure 6.13 – Comparaison entre les valeurs du facteur pré-exponentiel K(Φ) retenues pour les modèles OSS-2 et OSS-3.

Enfin, avec les trois procédures combinées, le modèle permet d’obtenir une estimation pertinente de l’expansion thermique, de la vitesse de flamme laminaire et de l’épaisseur de flamme pour un coût modéré : quatre équations de transport, un seul taux de réaction et une tabulation de dix-neuf coefficients en fonction de Φ, Tuet p.

Dans le document Étude des processus élementaires impliqués en combustion à volume constant (Page 147-153)