Approche géométrique

Comme mentionné plus haut, dans l’approche géométrique, la flamme est identifiée comme une iso-surface mobile en espace et en temps. Dans ce cadre, la densité de surface de la flamme Σ est introduite comme mesure de la surface de flamme disponible δA par unité de volume δV. De ce point de vue, le taux de réaction moyen d’une espèce k peut être modélisé comme suit [62,63] :

˙

ω_k =Ω^˙kΣ≈ ρuScΣ (2.92)

où ˙Ωk est la moyenne du taux de réaction local par unité de surface de flamme intégrée le long de la direction normale à la surface de la flamme et S_c la vitesse de consommation du front de flamme. Cette dernière est liée à la vitesse de déplacement du front de flamme S_d.

Les quantités ˙Ωk et ρS_d sont liées aux propriétés du front de flamme local, tandis que les effets de convection, diffusion, courbure et étirement par le champ de vitesse turbu-lent régissent l’évolution de la densité de surface de flamme. Il s’ensuit donc que le prin-cipal avantage de cette formulation est de découpler la description chimique de l’interaction flamme/turbulence. Dans ce qui suit, les grandeurs associées à cette formulation seront intro-duites. Il s’agit de la vitesse de déplacement du front de flamme et de la densité de surface de

flamme.

2.9.3.1 Vitesse de déplacement du front de flamme

La vitesse de déplacement S_dest couramment utilisée pour mesurer la vitesse d’un scalaire réactif-diffusif. La vitesse de déplacement peut être utilisée lorsqu’un champ scalaire correcte-ment défini est disponible. En utilisant le cadre de la méthode level-set, la forme cinématique de l’équation de la fraction massique du combustible sur une iso-surface déterminée peut être exprimée comme :

∂c

∂t +V_{f ,k} ^∂c

∂x_k =0 (2.93)

où V_{f ,k} est la vitesse absolue de l’iso-surface, qui est la somme de la composante convective u_k et de sa vitesse de propagation par rapport au gaz S_dn_k :

V_{f ,k}=u_k+S_dn_k (2.94)

Ici, n_k représente chacune des trois composantes du vecteur normal unitaire aux iso-contours de c dirigé vers les gaz frais :

n_k = −¹ k∇ck

∂c

∂x_k (2.95)

Figure 2.9 – Une illustration en deux dimensions de lla vitesse de déplacement

n Vfdt Sdndt udt Gaz frais Gaz brûlés

Position de l’isosurface à l’instant t

Position de l’isosurface à l’instant t+dt

En exprimant le terme de diffusion moléculaire comme la somme de ses composantes tangentielle et normale : ∂ ∂x_k  ρD_c ^∂c ∂x_k  =−n_k ^∂ ∂x_k (ρDck∇ck) −ρD_c^∂nk ∂x_k (2.96)

une expression de la vitesse de déplacement de la flamme peut être obtenue en substituant l’équation (2.88) dans les équations (2.93) et (2.94) :

S_d = −^nk ρk∇ck ∂(ρDck∇ck) ∂x_k −Dc^∂nk ∂x_k + ^ω˙c ρk∇ck ^(2.97) + Aξcχ_ξ ρk∇ck⁺ 2Bξχ_c,ξ ρk∇ck ⁺ Bξc ρ²k∇ck^∇  ρ(D_c−D_ξ)∇ξ (2.98)

La vitesse de déplacement S_dest composée de six contributions. Les trois premiers termes, qui se retrouvent également dans le cas du prémélange homogène, sont les composantes normale, tangentielle et de réaction S_n, S_t et S_r respectivement. Les trois derniers termes proviennent du couplage avec la fraction de mélange et sont associés au terme de dissipation scalaire de la fraction de mélange Sχ_ξ, à celui de dissipation scalaire croisée S_cd et à un terme de diffusion supplémentaire S_diff,ξ.

• La composante normale Snpeut être également exprimée en :

S_n=−n_k  ∂D_c ∂x_k +D_c^∂ln(ρ) ∂x_k +D_cln(k∇ck) ∂x_k  (2.99)

• La composante tangentielle est liée à la courbure locale κ comme :

S_t =−2D_cκ (2.100)

où la courbure moyenne locale κ est définie comme la moyenne arithmétique des deux courbures principales pour l’iso-surface :

κ = ¹ 2

∂n_k

∂x_k (2.101)

• Le terme de dissipation croisée peut être exprimé comme suit :

S_cd= ²Bξχ_c,ξ ρk∇ck ⁼

2Bξ Dcχ_ξ
^1/2 ρ

n_ξ·n_c (2.102)

• Le terme de diffusion supplémentaire est lié au terme de diffusion moléculaire de la fraction de mélange par :

S_diff,ξ = Bξc ρ²k∇ck^∇  ρ(D_c−D_ξ)∇ξ = Bξc ρ²k∇ck  ∇[ρD_c∇ξ]− ^Dρξ_Dt  (2.103) Ceci montre que le terme de diffusion supplémentaire est couplé avec la dérivée totale de la fraction de mélange. La contribution de ce terme à S_d devient faible lorsqu’il est évalué sur une iso-surface située à proximité des gaz frais. Si la fraction de mélange est définie de telle sorte que D_c−D_ξ soit grand ou que son gradient spatial devienne grand ou les deux, ce terme de diffusion supplémentaire devient non trivial.

2.9.3.2 Densité de surface de flamme

Bien que leurs équations de transport sont similaires, la densité de surface de flammeΣ et la fonction densité de surface σ (ou encore densité de surface de flamme généralisée) sont deux quantités distinctes. Cette différence est explicitée dans ce qui suit.

La fonction de densité de surface (SDF) est introduite comme la quantité de surface par unité de volume [55]. Elle est définie comme :

L’équation de bilan pour la fonction de densité de surface peut être obtenue en multipliant l’équation cinématique (2.94) par ∇c, puis en divisant par la fonction de densité de surface k∇ck. L’équation de transport pour σ est donnée comme suit :

∂σ

∂t +∇.(uσ) = (∇.u−nn: ∇u)σ

| {z } étirement +S_d∇nσ | {z } courbure −∇(S_dσ∇n) | {z } propagation (2.105)

La densité de surface de flamme (FSD) est définie, quant à elle, comme la surface de flamme par unité de volume [64] :

Σ(c?, t) =k∇ckδ(c−c?) =hk∇ck|c^?iP(c^?, t) (2.106) où c^?est la valeur de c associée à l’iso-surface prescrite,hk∇ck|c^?iest la moyenne conditionnée dek∇ckpar c=c?, P(c?, t)est la probabilité de trouver c(x, t) =c? à une position donnée x, et δ(c−c^?)est une mesure locale de la probabilité définie comme :

δ(c(x, t)−c^?) =    1/∆c∗ si |c(x, t)−c^∗| <∆c∗/2 0 sinon (2.107)

avec ∆c∗ le pas de discrétisation suivant c^∗. Par définition, la moyenne de la mesure locale de la probabilité δ(c(x, t)−c^?)est la probabilité P(c?, t):

P(c^?, t) =δ(c(x, t)−c?) (2.108) L’équation de transport pourΣ a été obtenue parPope[64] en s’appuyant sur des principes de la géométrie différentielle.Candel et Poinsot[54] présentent une variante de démonstration utilisant le théorème de transport du flux d’un rapport surface/volume de flamme élémentaire (δA/δV)

Elle est donnée par : ∂Σ ∂t |{z} T1 +∇.(huisΣ) | {z } T2 =h∇.u−nn: ∇uisΣ | {z } T3 −∇(hS_dnisΣ) | {z } T4 +hS_d∇nisΣ | {z } T5 (2.109)

où chaque terme Tk représente un effet physique, notamment : • T1: Effets instationnaires.

• T2: Convection de la surface de flamme.

• T3: Étirement tangentielle sur la surface de flamme.

• T4: Convection du front de flamme due à la propagation normale. • T5: Effets combinés de propagation et de courbure .

Bien que les équations de transport FSD et SDF soient similaires, l’équation de bilan de FSD est valide sur l’iso-surface c = c^?, alors que l’équation de transport de la SDF est une équation de champ pour les régions oùk∇ck 6=0.