Résolution des échelles de la combustion turbulente

La résolution des échelles de la combustion turbulente, impose de valider un certain nombre de contraintes :

• le calcul doit être réalisé sur le plus grand domaine possible pour résoudre les grandes échelles,

• le maillage doit être suffisamment fin pour résoudre les plus petites échelles de la tur-bulence (échelle de Kolmogorov),

• ainsi que la structure interne de la flamme.

Résolution des échelles turbulentes :

Les échelles turbulentes sont correctement résolues lorsque toutes structures sont captu-rées par le maillage du calcul. Ceci conduit à une condition standard dérivée comme suit.

Considérons un domaine de calcul d’une taille caractéristique L. Le maillage contient N points suivant chaque dimension, ce qui donne une taille caractéristique de maille∆x= L/N. L’écoulement turbulent peut être caractérisé par les fluctuations de vitesse à grande échelle u_rmset l’échelle de longueur intégrale l_t. Si le domaine de calcul contient r₁échelles intégrales, sa taille doit vérifier :

L= N∆x>r₁l_t (2.74)

La plus petite échelle des structures turbulents l_η est estimée à partir de la cascade de Kolmogorov :

lη ≈l_t/(Re_t)^3/4 (2.75)

cette échelle est résolue par le calcul si elle est plus grande que r₂ fois la taille de la maille, où r₂ est un paramètre supérieur ou égal à l’unité et désignant le nombre de mailles associé à l’échelle de de Kolmogorov :

l_η >r₂∆x (2.76)

La combinaison des expressions précédentes conduit à l_t/l_η < N/(r₁r₂) ou N/(r₁r₂) > Re^3/4_t ce qui équivaut à :

Re_t <(N/(r₁r₂))^4/3 (2.77)

l’équation (2.77) détermine le nombre de points du maillage N requis dans chaque direc-tion pour un nombre de Reynolds Re_tdonné ou la valeur limite du nombre de Reynolds pour un nombre déterminé de points suivant chaque direction.

Résolution des échelles chimiques :

La structure de la flamme interne doit également être discrétisée par le maillage de cal-cul. La précision de la résolution des échelles chimiques dépend fortement de la nature du mécanisme chimique utilisé. Lorsqu’une description simple de la chimie est utilisée (réaction irréversible en une étape), les calculs montrent que la résolution de la structure interne de

la flamme nécessite au moins r₃ points de maillage, où r₃ est de l’ordre de dix (r₃ ≈ 10). En d’autres termes, l’épaisseur de flamme δ_L⁰ doit s’étendre sur (r3 ≈ 10) mailles. En termes d’épaisseur de flamme, la taille du domaine de calcul est alors donnée par L ≈ (N/r₃)δ0

L. Les flammes d’hydrocarbures standards à la température ambiante ont une épaisseur de l’ordre de δ⁰_L ≈ 0.5 mm. Avec un nombre points de N = 256, on pourrait faire des simulations sur un domaine de taille caractéristique d’environ L≈13 mm. Cette condition conduit également à une limite supérieure pour l’échelle de longueur intégrale de turbulence lt qui doit être inférieure à L/r₁pour fournir des statistiques convergentes :

lt δ⁰_L < L r₁δ⁰_L < N r₁r₃ ^(2.78)

Une autre expression peut être obtenue en remplaçant δ_L⁰ par l’épaisseur diffusive de flamme δ ≈ν/S⁰_L. Le produit du nombre de Reynolds par le nombre de Damköhler est :

Re_tDa= ^l 2 tS⁰_L νδ⁰_L =^{ lt} δ 2 (2.79)

conduisant à la contrainte suivante sur le maillage (en supposant que δ et δ0

L sont du même ordre de grandeur) :

Re_tDa<(N/(r₁r₃))2 (2.80) Pour un nombre de Reynolds donné vérifiant la condition (2.77), le nombre de Damköh-ler est borné par l’expression (2.80). Cette condition est relativement forte comme le montre l’exemple suivant :

En supposant que N = 512, r₃ = 16 et r₁ = r₂ = 1 alors Re_t < 4096 selon (2.77) et RetDa<1024 selon (2.80). Pour un nombre de Reynolds de turbulence Ret =1000, le nombre de Damköhler ne peut pas dépasser 1, une valeur éloignée de l’hypothèse des grands nombres de Damköhler utilisée dans la plupart des modèles de combustion turbulente. Les exigences

10⁻¹ 10¹ 10³ 10⁵

l

/δ

u

/

S

laminaires Flammes pliss´ees

Flammes pliss´ees avec poches

Zone^{de r´e}

action^mince R´eacteur parfaitement agit´e

Ka =¹ Ka =¹⁰⁰ urms/S0 L= 1 Re₌ 1 Re₌ 4096

Figure 2.6 – Limites de résolution (en vert) par une approche DNS d’un écoulement tur-bulent réactif sur le diagramme de la com-bustion turbulente prémélangée.

pour la résolution des échelles chimiques imposent une limitation sévère sur la plage des paramètres qui peut être explorée en utilisant la DNS. Ces conditions sont illustrées sur la Fi-gure 2.6, où les contraintes de fonctionnement sont tracées en fonction de l_t/δ et u_rms/S⁰_L. Le domaine qui peut être exploré avec la DNS est montré comme la région verte sur laFigure 2.6.

Cette région est délimitée par la contrainte sur le nombre de Reynolds de la turbulence (ligne Ret=4096) et à droite par la condition lt/δ= N/(r₁r3) =32.

Le diagramme montre également, que pour les petites valeurs de l’échelle intégrale l_t par rapport à l’épaisseur de flamme δ, la limite de résolution est définie par la première condition (2.77) sur le nombre de Reynolds. La plus grande échelle intégrale l_t est généralement définie par la limite (2.80) induite par la résolution de la flamme.

Il est important de noter que, pour des coûts numériques fixes, le nombre de points de grille N dans une direction peut être plus grand pour les calculs bidimensionnels par rapport aux simulations tridimensionnelles. En conséquence, la gamme de paramètres explorés dans les calculs bidimensionnels peut être plus large.

D’un point de vue pratique, un compromis entre les coûts numériques et le besoin de réa-liser des analyses physiques sur l’écoulement étudié doit être fait. Dans le cadre de cette thèse, un outil visuel basé sur les équations susmentionnées a été mis en place afin de simplifier la réalisation d’une telle tâche. Ce dernier permet à partir d’un certain nombre de paramètres (N, r₁, r₂, r₃, S_L, δ_L) de prédire d’abord les limites de résolution, avant de permettre à l’uti-lisateur de construire la configuration optimale correspondante au point sélectionné sur le diagramme de Borghi. La Figure 2.7 illustre un exemple de configuration basé sur les para-mètres introduits ci-dessus.