Propriétés de la variable de progrès

Qu’il s’inscrive dans le cadre de l’approche géométrique, du mélange turbulent ou dans celui d’une étude plus globale, l’ensemble des analyses et des post-traitements effectués sur la base de données DNS repose sur la caractérisation de la flamme par la variable de progrès. De ce fait, la définition de cette quantité doit être judicieusement choisie, en tenant compte des critères physiques et numériques qu’une telle variable doit vérifier. Cette section a pour objectif d’introduire une définition adéquate de la variable de progrès. En outre, l’équation de transport de cette dernière implique des termes diffusifs et réactifs faisant appel à un coefficient de diffusion et un terme source. Les propriétés de ces derniers seront également explicités dans cette section.

5.3.1 Choix de la variable de progrès

Dans la sous-section 2.9.2 les variables de composition telles que la variable de progrès ont été introduites et leurs équations de transport respectives ont été développées dans un contexte de combustion stratifiée. En raison de la multitude des choix possibles, la variable de progrès basée sur les fractions massiques des espèces et de la fraction de mélange est préférée à celle basée sur la température. En effet, les calculs constituant la base de données DNS sont conduits à l’aide d’un mécanisme multi-espèces, ce qui permet d’évaluer les fractions de mélange élémentaires. Ainsi, la variable de progrès c est définie à l’aide des fractions massiques de certaines espèces présentes dans les produits brûlés Y_k et de leurs valeurs à l’équilibre sous la forme :

c= ∑k∈SY_k

∑_k∈SY_k^eq(ξ) ^(5.2)

où S est l’ensemble des espèces choisies pour construire la variable de progrès c et Y_k^eq(ξ)la fraction massique de l’espèce k à l’équilibre.

0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50 ρ ( Kg.m − 3 )

Figure 5.4 – Champ de masse volumique pour le cas proche stœchiométrie en moyenne, modérément turbulent, évoluant dans une stratification de richesse comportant des poches de taille caractéristique relativement importante et un taux de ségrégation élevé STBH-F-W-3.

• les fractions massiques du couple H₂/H₂O [b] :

c= ^YH2O+YH2 Y_H^eq

2O+Y_H^eq₂ ^{, (5.3)}

• les fractions massiques du triplet CO/CO₂/H₂O [c] :

c= ^{YH2O+YCO2+YCO} Y_H2O+Y_CO^eq

2+Y_CO^{eq , (5.4)}

• les fractions massiques du couple CO/CO2[d] :

c= ^YCO2+Y_CO Y_CO^eq

2+Y_CO^{eq . (5.5)}

En plus, dans le cas où les conditions sont pauvre en richesse, il est possible de considé-rer une variable de progrès basée sur la fraction massique du combustible et la fraction de mélange :

c=1−^YF

ξ (5.6)

En se basant sur le cas STBH-F-W-3 de notre base de données DNS, dont le champ de masse volumique est illustré sur laFigure 5.4, laFigure 5.5montre les contours des iso-valeurs de c obtenus en considérant ces quatre définitions.

En adoptant la définition de c basée sur la fraction de mélange et sur la fraction massique du combustible (Eq.(5.6)), on obtient des iso-lignes très proches les unes des autres. Cela est dû au fait que le combustible est la première espèce à réagir et se décompose très rapidement. Ainsi, la variation des valeurs de la variable de progrès s’effectue sur un nombre faible de points du maillage. Par conséquent, les gradients associés sont susceptibles d’être calculés avec une certaine imprécision. Pour cette raison, cette définition n’est pas retenue.

La réalisation DNS considérée est dans un régime où aucune échelle de turbulence ne pé-nètre dans le front de flamme pour le distordre, ce qui conduit normalement à des iso-lignes de c parallèles entre elles. Les définitions impliquant l’hydrogène (H₂/H₂O) et (CO/CO₂/H₂O) respectent cette hypothèse pour toutes les iso-lignes hormis celles au voisinage de l’unité (du côté des gaz brûlés), en l’occurrence c =0.99, qui est relativement éloignée des autres et non parallèle avec elles. En effet, les espèces intermédiaires et les radicaux contenant de l’hydro-gène continuent à réagir dans les gaz brûlés. Ainsi, ces définitions sont également rejetées.

Toutefois, en introduisant une variable de progrès basée sur le couple CO/CO₂, l’iso-ligne c = 0.99 se rapproche des autres et le critère de "parallélisme" est respecté. Cette définition pourrait donc être considérée. En effet, elle allie une bonne discrétisation sur le maillage à une monotonie entre 0 et 1 et présente des iso-c bien parallèles les unes aux autres. De plus,

[a]

Combustible

H

/H

O

CO/CO

/H

O

CO/CO

Figure 5.5 – Iso-contours de la variable de progrès pour STBH-F-W-3 à 8 τ_F calculées avec les défi-nitions basées sur (a) la consommation de combustible Eq.(5.6), (b) le couple H₂/H₂O Eq.(5.3), (c) le triplet CO/CO₂/H₂O Eq.(5.4) et (d) le couple CO/CO₂Eq.(5.5).

l’équation de transport de la variable de progrès utilisant une telle définition est plus simple à manipuler que celle basée sur le triplet CO/CO₂/H₂O.

5.3.2 Coefficient de diffusion de la variable de progrès

Le terme diffusif présent dans l’équation de transport de la variable de progrès Eq. (2.88), TD s’écrit :

TD =∇(ρD_c∇c)

où D_c est le coefficient de diffusion de la variable de progrès c. Compte tenu de la définition retenue pour c, Dc peut être estimé à partir des coefficients de diffusion D_k, et des gradients des fractions massiques ∇Y_k des espèces CO et CO₂ (cf.A) :

Dc= ∑k∈SD_kk∇Y_kk

∑k∈Sk∇Y_kk ^{avec S = {CO}2, CO} (5.7) Le coefficient D_c apparaît également dans d’autres termes de l’équation de transport de la variable de progrès. Ces termes sont associés au taux de dissipation scalaire de la fraction de mélange χ_ξ, au taux de dissipation scalaire croisée χ_c,ξ et à la diffusion différentielle. Ainsi, une estimation correcte de Dc paraît primordial à la modélisation du transport de c.

La Figure 5.6illustre l’évolution du coefficient de diffusion Dc en fonction de la variable de progrès pour le cas SLNN-N-N-1, ainsi que les coefficients de diffusion des espèces CO et

CO₂. D’après l’équation (5.7), le coefficient D_c est contraint de prendre des valeurs qui sont limitées par celles des coefficients de diffusion des espèces CO et CO2, comme montré sur la Figure 5.6. En revanche, les gradients des espèces entrant dans la définition de la variable de progrès prennent des valeurs très faibles aux voisinages des gaz frais (c≈0) et des gaz brûlés (c ≈ 1) ce qui peut influencer l’estimation de Dc dans ces zones. Pour s’affranchir de cette limitation, l’estimation de D_c se fait conformément à l’équation (5.7) sur le domaine[ε, 1−ε] de la variable de progrès où∑k∈Sk∇Y_kkest non négligeable, tandis que sur[0, ε]et[1−ε, 1] les valeurs de Dc sont obtenues par extrapolation. Dans cette procédure ε est de l’ordre de 0.05. Un autre point intéressant pouvant être relevé de la Figure 5.6, réside dans le fait que le coefficient de diffusion de la variable de progrès Dc et celui associée à l’espèce CO₂ sont très proches. Cela est attribué à la prépondérance, en termes des fractions massiques, de CO₂sur CO. Par conséquent, considérer le coefficient de diffusion de CO₂en tant que Dc fournit une bonne approximation, dans les conditions de la configuration SLNN-N-N-1. Toutefois, lorsque la riche du mélange est relativement élevée, cette approximation doit être ré-ajustée puisque la fraction massique de CO devient prépondérante.

Figure 5.6 – Profils du coefficient de diffusion D_c et ceux des espèces CO et CO₂ en fonc-tion de la variable de progrès c pour le cas SLNN-N-N-1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

c

D

5.3.3 Taux de production de la variable de progrès

Le taux de production s’écrit pour la variable de progrès c (cf. AnnexeA) :

˙

ω_c= ∑k∈Sω˙_k

∑k∈SY_k^{eq avec} S = {CO₂, CO} (5.8) où ˙ω_k et Y_k^eq sont respectivement le taux de production et la fraction massique à l’équilibre de l’espèce k. La Figure 5.7a reporte les profils normalisés du taux de production de la va-riable de progrès et des espèces CO et CO₂ en fonction de la variable de progrès c pour le cas SLNN-N-N-1. Comme pour le CO₂et le CO, le maximum du taux de production de la variable de progrès est décalé vers les gaz brûlés et la valeur de c correspondante (c_max) est égale à celle associé au maximum de ˙ω_CO. En particulier, l’évolution du profil de ˙ω_c et ˙ω_CO est

si-milaire sur le domaine des valeurs inférieures à c_max et légèrement différente sur le reste du domaine. Cette propriété a une grande importance particulièrement dans les analyses basées sur l’approche géométrique ou sur la réponse globale de la flamme, qui font appel à la consi-dération d’une iso-surface spécifique sur laquelle le comportement instantané de la flamme est étudié. En effet, cette approche permet, par exemple, de s’affranchir du problème posé par l’ambiguïté de la définition de la vitesse (ou la longueur/surface) d’une flamme instationnaire dans ce genre d’approches. Dans cette optique, il est commun de considérer l’iso-surface cor-respondant au maximum du taux de de production de la variable de progrès c_max.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 c 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 ˙ ω / ˙ ω^max c_max c CO2 CO

(a) Profils normalisés du taux de production de la variable

de progrès et ceux des espèces CO et CO₂en fonction de la variable de progrès c pour le cas SLNN-N-N-1.

0.66 0.68 0.70 0.72 0.74 0.76 c_max 0