Dans le cadre de l’étude des flammes laminaires, deux variables sont souvent utilisées pour caractériser de manière synthétique les processus de combustion. Il s’agit de la vitesse de flamme et de son épaisseur. Ainsi, une évaluation correcte de ces deux quantités est in-dispensable pour mener à bien les analyses d’un noyau de flamme en propagation dans un milieu stratifié. Dans cette optique, cette section a pour objectif de rappeler ou d’introduire les méthodes utilisées dans cette étude pour estimer la vitesse de propagation et l’épaisseur de flamme. La définition et la méthode de calcul de la vitesse de propagation ont déjà été explicitées dans le chapitre2. En revanche, les différentes définitions de l’épaisseur de flamme n’ont pas encore été abordées.
Deux définitions de l’épaisseur de flamme sont couramment utilisées. Zeldovich [148] a été le premier à introduire «l’épaisseur caractéristique» δ=λ/cpρuSL, où λ est la conductivité thermique, cp la capacité thermique à pression constante, ρu la densité du mélange des gaz frais et enfin SL la vitesse de flamme. Dans cette définition, δ correspond à une mesure de l’épaisseur dans laquelle le mélange frais est chauffé jusqu’à atteindre la température d’in-flammation au niveau de la zone de réaction. Spalding[149], quant à lui, définit l’épaisseur de la flamme comme un rapport entre la différence des températures gaz frais/gaz brûlés et le gradient de température maximal au point d’inflexion de T, i.e. δ= (Tb−Tu)/ max(|∇T|). En considérant la variable de progrès basée sur la température, i.e. c = (T−Tu)/(Tb−Tu), l’épaisseur de flamme δ devient :
L’équation (5.1) introduit une définition plus générale de l’épaisseur de flamme impliquant la variable de progrès c et qui n’est pas nécessairement définie sur la base de la température.
Dans le contexte de flammes monodimensionnelles, de telles définitions sont assez simples à utiliser, puisque les grandeurs impliquées peuvent être aisément calculées. En revanche, pour une flamme de dimension supérieure (i.e. bi- ou tridimensionnelle) évoluant dans un mélange hétérogène de gaz frais, les grandeurs telles que l’épaisseur de flamme, les proprié-tés thermodynamiques (ρu, Tu, cp) et diffusives (λ) dans les gaz frais, varient localement. Il est alors nécessaire d’introduire une approche ”locale” pour évaluer l’épaisseur de la flamme.
Une des possibilités consisterait d’appliquer une approche géométrique dans laquelle la valeur de δ, dans un point, correspond à la distance suivant la normale à la ligne d’iso-valeur c1 et l’iso-contour c2 de la variable de progrès (cf.Figure 5.1). Les deux valeurs c1 et c2, sont choisis de sorte à ce qu’elles délimitent le domaine de la variable de progrès où le taux de dégagement de chaleur est supérieur à 5% de sa valeur maximale, de manière à ce que leurs iso-lignes définissent un flame brush, (cf.Figure 5.2). En d’autre termes, les valeurs de δ repré-sentent une mesure de distances d’une interface Γ1(iso-ligne c1) à une autre,Γ2(iso-ligne c2).
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 k∇ c k / k∇ c kmax
Figure 5.1 – Méthodologie de calcul de l’épaisseur de flamme δ. À gauche, iso-contours c1 et c2 de la variable de progrès superposés au champ de la norme du gradient de la variable de progrès. À droite, normales à l’iso-surface c1(zoom sur une partie du flame brush définie par le rectangle noir à gauche).
En pratique, une méthode de suivi d’interfaces, telle que la "level-set" [150], pourrait être applicable dans ce contexte. Cependant, les méthodes level-set ont un coût algorithmique relativement élevé. En effet, le calcul est effectué en tous les points du maillage, puisque les level-set sont conçues pour des problèmes dans lesquels l’interface peut avancer dans certains endroits et reculer dans d’autres. Pour les problèmes impliquant des interfaces qui évoluent dans un sens unique, tel que le nôtre, où l’interface initiale Γ1 ne peut qu’avancer,
Osher et Sethian[151] ont pu réduire considérablement le coût des level-set en introduisant la
technique de fast marching. Cette dernière n’évalue la distance qu’au voisinage de l’interface en déplacement, ce qui réduit la complexité àO(n log n), où n est le nombre total de points du maillage. De plus, elle ne suppose pas de représentation paramétrique1 du contour à suivre,
et donc, elle est robuste à des changements de topologie.
Figure 5.2 – Méthodologie de calcul de l’épaisseur de flamme. Définition des valeurs c1 et c2 délimitant le flame brush à partir du profil de la norme du gradient de c.
c2 c11 c 0 0.05 1 k∇ c k / k∇ c kmax hk∇ck/k∇ckmax|ci
Les détails de la méthode fast marching ne seront pas présentées ici et le lecteur intéressé pourra, sur ce sujet, consulter la référence [151]. Plusieurs librairies offrant la possibilité d’ap-pliquer les techniques de fast marching sont disponibles. Dans le cadre de ce travail de thèse, la librairie scikit-fmm [152] a été utilisée dans les programmes de post-traitement pour estimer avec précision l’épaisseur locale des flammes simulées.
Afin de valider la méthode décrite ci-dessus, le cas homogène LLNN-N-N a été consi-déré. Puisqu’il s’agit d’un cas homogène, il est attendu que l’épaisseur de flamme locale soit constante sur tout les points du front de flamme. L’application de la dite méthode sur ce cas, restitue effectivement une distribution très étroite de l’épaisseur de flamme, avec une RMS normalisée de l’ordre de 0.02% (cf.Figure 5.3) ce qui présente une validation satisfaisante de cette approche et de son implémentation.
Figure 5.3 – PDF de l’épaisseur de flamme obtenue par la méthode géométrique appliqué sur le cas homogène LLNN-N-N à t =5τc.
0.9992 0.9994 0.9996 0.9998 1.0000 1.0002 1.0004