En appliquant la formule de l'utilité telle que préconisée par Daniel McFadden dans le cas de choix discrets, on obtient le résultat suivant :
Si = (C0i°/ α°). Log (Somme des Qj e – α° (Cij/C0i°)) = (C0i°/ α°). Log (Ai), avec Ai = Accessibilité aux biens convoités Qj.
Cette formulation est celle qui est inscrite dans l’annexe 2 de l’instruction cadre du 25 mars 2004.
- Rappel de la démonstration produite par Jean Poulit en Janvier et Novembre 1973
On peut retrouver ce résultat en procédant à l'interprétation économique directe de la loi de distribution des déplacements. C’est cette interprétation que Jean Poulit, lorsqu’il était responsable de la division urbaine du Setra en charge d’analyser, avec son équipe, l’approche économique de l’accessibilité, a développée en Janvier et Novembre 1973.
La démonstration en est reproduite dans une note de synthèse éditée en Novembre 1973, intitulée
« Approche économique de l’accessibilité ».
Elle est reprise dans le document de synthèse en date du 20 septembre 1974, intitulé, « Urbanisme et Transport : les critères d’accessibilité et de développement urbain ».
La formulation qui permet d’évaluer la probabilité qu’un résident de la zone i se rende dans l'une ou l'autre des zones j qui l'entourent comporte en effet la notion même de valeur associée à la possibilité d'effectuer un choix entre les différents biens convoités auxquels il peut commodément accéder.
Est reproduite ci-après l’annexe 1 de la note de synthèse du 20 septembre 1974, intitulée :
« Démonstration de la signification économique de l’accessibilité » qui reprend la démonstration de la note de Novembre 1973.
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- Présentation plus intuitive
On peut, de façon plus intuitive, parvenir à ce résultat, en analysant successivement :
- le cas d'un résident effectuant un déplacement entre la zone de résidence i et une zone de destination j, - le cas du même résident effectuant un déplacement entre la zone de résidence i et une zone de destination k, - le cas du même résident effectuant un déplacement entre la zone de résidence i et une zone de destination j ou une zone de destination k
- et enfin le cas général du même résident effectuant un déplacement entre la zone de résidence i et une quelconque des zones de destination entourant cette zone i.
- Première étape : utilité d'un déplacement entre la zone de résidence i et la zone de destination j pour un résident qui n’a connaissance que des biens localisés en j.
La probabilité de déplacement pour aller de i en j s’écrit sous la forme : pij = Qj . e – α° (Cij/C0i°)/∑j Qj . e – α° (Cij/C0i°)
= Qj . e – α° (Cij/C0i°)
/ Ai En prenant le logarithme de cette probabilité, on trouve : Log pij = Log (Qj . e – α° (Cij/C0i°)
/Ai) = Log Qj – Log e – α° (Cij/C0i°)
- Log Ai
= Log Qj – α° (Cij/C0i°) - Log Ai
On peut identifier une valeur de même nature qu’un coût généralisé en multipliant Log pij par C0i/α°.
D'où :
Sij = (C0i°/ α°). Log pij = (C0i°/ α°). Log Qj - Cij - (C0i°/ α°). Log Ai
Sij = (C0i°/ α°). Log pij = (C0i°/ α°). Log Qj - Cij,
à une constante près : - (C0i°/ α°). Log Ai.
Sij est bien homogène à un coût généralisé, donc à une utilité. Quand on augmente linéairement le coût généralisé du déplacement entre i et j, le service rendu est stable si le nombre de biens à la destination croit multiplicativement.
Uij, = (C0i°/ α°). Log Qj est la partie positive de l’utilité, dénommée utilité brute. Cij en est la partie négative. Sij est dénommée utilité nette, différence entre l’utilité brute et le coût généralisé de déplacement.
- Deuxième étape : utilité d'un déplacement entre la zone de résidence i et la zone de destination k pour en résident qui n'a connaissance que des biens localisés en k.
Dans les mêmes conditions que pour la première étape, on trouve : pik = Qj . e – α° (Cik/C0i°)/∑j Qj . e – α° (Cik/C0i°)
= Qj . e – α° (Cik/C0i°)/ Ai
Log pik = Log (Qj . e – α° (Cik/C0i°)/Ai) = Log Qk – Log e – α° (Cik/C0i°) - Log Ai
= Log Qk – α° (Cik/C0i°) - Log Ai D’où :
Sik = (C0i°/ α°). Log pik = (C0i°/ α°). Log Qk - Cik - (C0i°/ α°). Log Ai, Sik = (C0i°/ α°). Log pik = (C0i°/ α°). Log Qk - Cik,
à une constante près : - (C0i°/ α°). Log Ai.
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Sik est bien homogène à un coût généralisé, donc à une utilité. Quand on augmente linéairement le coût généralisé du déplacement entre i et k, le service rendu est stable si le nombre de biens à la destination croit multiplicativement.
- Troisième étape : utilité d'un déplacement entre la zone de résidence i et la zone de destination j ou la zone de destination k pour en résident qui n'a connaissance que des biens localisés en j ou en k.
La probabilité de déplacement pour aller de i en j est égale à : pij = Qj . e – α° (Cij/C0i°)/∑j Qj . e – α° (Cij/C0i°)
= Qj . e – α° (Cij/C0i°)
/ Ai
La probabilité de déplacement pour aller de i en k est égale à : pik = Qj . e – α° (Cik/C0i°)/∑j Qj . e – α° (Cik/C0i°)
= Qj . e – α° (Cik/C0i°)
/ Ai
La satisfaction du résident est stable si la somme des probabilités pour aller de i en j et pour aller de i en k est stable. On peut faire croitre pij en augmentant Qj ou en baissant Cij à condition de faire baisser d’une quantité équivalente pik en diminuant Qk ou en augmentant Cik.
(C0i°/ α°). Log (Qj e – α° (Cij/C0i°) + Qk e – α° (Cik/C0i°)) est la seule expression homogène à un coût, donc à une utilité, qui est stable lorsque la probabilité d’aller de i en j ou en k ne varie pas, c’est-à-dire lorsque la satisfaction du résident est constante. C’est bien l’expression qui caractérise la satisfaction du résident.
On trouve ainsi que :
Si(j+k) = (C0i°/ α°). Log (pij + pik) =(C0i°/ α°). Log (Qj e – α° (Cij/C0i°)
+ Qk e – α° (Cik/C0i°)
), à une constante près : - (C0i°/ α°). Log Ai
Cette valeur ne peut pas être mathématiquement décomposée en un terme positif et un coût généralisé moyen de transport.
- Quatrième étape : utilité d'un déplacement entre la zone de résidence i et l'une quelconque des zones de destination entourant la zone i pour un résident ayant connaissance de l'ensemble des biens localisés dans l'une quelconque de ces zones j.
Par application de la troisième étape à tous les biens entourant i, on obtient l’utilité nette suivante : Si = (C0i°/ α°). Log (Somme des Qj e – α° (Cij/C0i°)) = (C0i°/ α°). Log (Ai),
avec Ai = Accessibilité aux biens convoités Qj.
On retrouve la fonction d'utilité de Daniel McFadden dans laquelle le coefficient σ est remplacé par le facteur C0i°/ α°.
- Approfondissements réalisés par Jean-Gérard Koenig
Jean Poulit, lorsqu’il était responsable de la division urbaine du Setra, était secondé par Jean Gérard Koenig, ingénieur d’arrondissement, auquel il avait confié le soin d’identifier les racines économiques les plus profondes de l’accessibilité.
Jean Gérard Koenig a considéré que les utilités brutes des biens convoités, Qj, n’avaient pas des valeurs Uj uniformes.
La probabilité qu’elles aient des utilités de valeur croissante devait, de toute évidence, s’amoindrir au fur et à mesure de la croissance de la valeur brute du bien convoité.
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Il a fait l’hypothèse, intuitive, que la densité de probabilité f (x) en fonction de l’utilité brute (x) du bien convoité était, pour les utilités les plus élevées, de la forme : f (x) = k e – x/x0, c’est-à-dire une exponentielle décroissante de l’utilité brute.
La répartition de la probabilité (intégrale de la densité de probabilité) en fonction de l’utilité brute était, dans cette hypothèse, de la forme :
F(x) = 1 - k x0 e – x/x0
L’utilité nette, par définition, était égale à : Rj – Cj, expression dans laquelle Rj était le revenu brut du bien convoité en j (par exemple un salaire dans le cas d’un déplacement domicile travail) et Cj le coût généralisé pour se rendre de i en j.
L’utilité nette respectait, de par sa définition, une densité de probabilité f (x) de la forme f (x) = k e – (x +
Cj)/x0, avec x représentant désormais l’utilité nette.
La répartition de la probabilité pour chaque bien convoité j en fonction de l’utilité nette était, dès lors, égale à :
F(x) = 1 – k x0 e – (x + Cj)/x0.
Pour obtenir la fonction de répartition de l’utilité nette finale, il convenait de multiplier les fonctions de répartition de chaque bien convoité, donc de 1 à Q, zone j après zone j.
F (x) = Π1 à Q (1 – k x0 e – (x + Cj)/x0), x étant l’utilité nette générale associée à la possibilité de pouvoir effectuer un choix entre l’ensemble des biens Q accessibles, l’usager adoptant à chaque fois la solution maximisant son utilité.
L’espérance de l’utilité nette finale était égale à : E(S) = ∫-∞+∞
x. d F(x).
Pour déterminer cette espérance et devant la complexité des calculs, une hypothèse dite réduite a été prise en considération admettant que tous les emplois étaient implantés à un iso coût généralisé de la zone de référence i.
On pouvait montrer alors que l’espérance maximale de l’utilité nette était égale à : Si = x0 (Log Ai + CE), avec :
Ai = ∑j Qj e – Cj/x0
et CE = Constante d’Euler = 0,577.
Puis on faisait apparaître que l’hypothèse réduite donnait des résultats très peu différents de la distribution générale des biens convoités.
On retrouvait ainsi la formule générale de l’utilité nette associée à un ensemble de biens convoités Qj reliés à la zone de référence i par des liaisons de coût généralisé Cij.
On constate que cette démonstration est très proche de la théorie des choix discrets de Daniel McFadden.
Jean-Gérard Koenig a publié ses réflexions sous la forme d’articles : - 1974 : Théorie économique de l’accessibilité urbaine. Revue économique.
- Juin 1974 : La théorie de l’accessibilité urbaine, un nouvel outil au service de l’aménageur. Revue générale des routes.
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On doit noter que les travaux de Jean Poulit et de Jean-Gérard Koenig datent de 1973 et 1974, ce qui témoigne d’une belle précocité dans l’élaboration de la théorie économique de l’accessibilité, désormais reconnue par le monde scientifique et universitaire.
1.3.3.3 Induction du nombre des déplacements ou induction de la portée des