En approche « plancher », l’utilité nette efficiente est égale à Si1
= (C0i/α°) Log Ai1
, avec Ai1 = ∑j Qj . e –
α° tij1
En approche « plancher », au sein d’un territoire isotrope (ou dont d0 V02 est stable), le temps efficient moyen des déplacements issus de i est égal à 2/α°.
La définition conventionnelle de Ui1, utilité brute efficiente, est telle que l’utilité brute efficiente est égale à la somme de l’utilité nette efficiente et du coût généralisé moyen de déplacement : Coi (2/ α°).
Par définition, Ui1 = Si1 + C0i (2/ α°).
On a donc: Ui1 = (C0i/α°) (Log Ai1 + 2) = (C0i/α°) (Log e2 Ai1) = (C0i/α°) (Log Bi1),
avec Bi1, accessibilité brute efficiente « plancher », égale à : e2 x Accessibilité nette efficiente « plancher ».
Pour obtenir l’accessibilité brute efficiente « plancher », Bi1, il suffit donc de multiplier l’accessibilité nette efficiente « plancher », Ai1, par e2.
On peut ainsi procéder au calcul complet de l’accessibilité brute efficiente « plancher » à partir de la formule de l’accessibilité nette efficiente « plancher » appliquée à chacune des zones composant l’aire d’études.
On a ainsi : Bi1 = e2. Ai1
Ui1 = (C0i/α°) (Log Bi1)
C’est une définition formelle donc on ne retire aucune conclusion dans l’immédiat. C’est dans l’étape suivante, celle des corrélations entre l’utilité et des données économiques telles que des suppléments de salaire ou de valeur ajoutée qu’elle s’avérera très utile.
Ui1 = (C0i/α°) (Log e2 Ai1) = (C0i/α°) (Log Ai1 + 2)
On retrouve bien :
Si1 = Ui1 – Ci1 = Ui1 – C0i (2/ α°) = (C0i/α°) (Log Ai1 + 2) – C0i (2/ α°) = (C0i/α°) (Log Ai1).
Dans le cas de territoires très anisotropes, ou la stabilité du facteur d0 V02 n’est pas totalement respectée, le temps moyen d’un déplacement issu de i peut être légèrement supérieur ou inférieur à 2/α°. Dans ce cas le coefficient par lequel il faut multiplier l’accessibilité nette Ai1 pour obtenir l’accessibilité brute Bi1 est égale à e2a, a étant le coefficient par lequel il faut multiplier 2/α° pour obtenir le temps moyen d’un déplacement issu de i.
1.4.2.3.2 Définition approchée de l’utilité brute efficiente plancher et de l’accessibilité brute efficiente plancher grâce au concept de zone de chalandise autour de la zone de résidence i
On peut également, et ce sera le cas pour les études réalisées au sein de territoires à dominante urbaine dont les déplacements sont principalement à courte et moyenne portées, identifier une accessibilité brute efficiente « plancher » approchée en dénombrant les biens convoités au sein d’un territoire délimité par une isochrone pertinente à partir du lieu de résidence étudié.
On montre que, dans le cas d’une urbanisation homogène indéfinie, le territoire pertinent, en approche
« plancher », est celui qui n’est dépassé, en termes de déplacements efficients, que par 10% des résidents de la zone i.
67
Ce 90ème percentile correspond à un éloignement en temps efficient depuis la zone de résidence de : 1,9222 (2/α°).
Dans le cas des déplacements domicile travail, le coefficient α° est égal à 6. Le temps moyen de déplacement efficient est de 2/6 = 1/3 d’heure = 20 minutes. Le temps du 90ème percentile est de 38,44 minutes, très proches de 40 minutes efficientes.
On pourra donc en première approximation pour déterminer l’accessibilité brute efficiente « plancher », Bi1, délimiter un territoire correspondant à 38,5 minutes, soit en valeur approchée, 40 minutes, et dénombrer à l’intérieur de ce territoire les biens convoités.
L’accessibilité brute efficiente « plancher » sera désignée : Bi1 = Qi90 On aura : Ui1 = (C0i°/ α°). Log Bi1 = (C0i°/ α°). Log Qi90.
et : Si1 = (C0i°/ α°). Log Bi1 – (C0i°/ α°) 2 = (C0i°/ α°). Log Qi90 – (C0i°/ α°) 2.
Dans le cas de territoires anisotropes respectant la stabilité du facteur d0 V02, l’accessibilité brute efficiente « plancher » est bien égale à Qi90.
Dans le cas de territoires très anisotropes ne respectant pas totalement la stabilité du facteur d0 V02, l’accessibilité brute efficiente « plancher » est légèrement différente de Qi90. Elle en reste toutefois très proche.
Dans le cas d’une urbanisation très rapidement croissante, l’accessibilité brute efficiente « plancher » est égale à Qi88. Le territoire pertinent n’est dépassé que par 12% des résidents de la zone i. Dans le cas d’une urbanisation très rapidement décroissante, l’accessibilité brute efficiente « plancher » est égale à Qi94. Le territoire pertinent n’est dépassé que par 6% des résidents de la zone i.
1.4.2.3.3 Démonstration de l’identification du territoire pertinent Q
i90en méthode approchée
Le but est de déterminer, dans le cas d’un territoire homogène indéfini, la zone de chalandise autour de la zone de résidence i ayant la propriété de supporter un nombre de biens convoités égal à l’accessibilité brute Bi1= e2. Ai1, Ai1 étant l’accessibilité efficiente nette : ∑j Qj . e – α° tij1. Problème posé :
1 : Déterminer le nombre de biens convoités Ni tel que : Ni. e – α° ti1 = Ai1 = ∑j Qj . e – α° tij1
Ni. e – α° ti1 = Ni. e – α° 2/α° = Ni. e – 2 = Ai1. Ni = e2.Ai1
= e2. ∑j Qj . e – α° tij1
2 : Déterminer l’isochrone (définie par le pourcentage ki d’usagers issus de i qui la dépassent) à l’intérieur de laquelle on peut décompter Ni
biens convoités.
Pour mettre en évidence les relations recherchées, on calcule successivement les valeurs de Ai1, ti, Ni et ki en procédant par intégration des valeurs élémentaires obtenues le long des couronnes concentriques d’urbanisation autour du point de référence i.
On suppose que le milieu est isotrope. Soit d0 la densité homogène du territoire et V0 la vitesse moyenne du système de transport efficient qui le dessert (mode principalement motorisé, hors marche à pied terminale).
Valeur de Ai1 :
Le nombre de biens convoités dans la couronne d’urbanisation dr située à la distance r de i est égal à : Qr = d0. 2 π r dr = 2 π d0 V02
t1 dt1, en posant : r = V0.t1. On en déduit :
Ai1 = ∑j Qj . e – α° tij1 = ∫0∞ 2 π d0 V02 t1 e – α° t1 dt1 = 2 π d0 V02 ∫0∞ t1 e – α° t1 dt1
= 2 π d0 V02/α°2 ∫0x x e – x dx, avec x = α°t1
68
= 2 π d0 V02/α°2 [1 – e-x (x + 1)]0x
Si x → ∞, Ai1 = 2 π d0 V02/α°2. Valeur de ti1:
Le temps moyen de déplacement efficient a déjà été calculé.
Il est égal à : ti1 = 2/α°
Valeur de Ni :
Ni = e2.Ai1 = e2 2 π d0 V02/α°2 = 2 π d0 V02 e2/α°2 Ni = 2 π d0 V02 e2/α°2
Valeur de ki :
Soit Qtki le nombre de biens décomptés à l’intérieur de l’isochrone dépassée par (100 – Ki)% de résidents issus de i.
On a : Qtki1 = ∫0tki1 2 π d0 V02 t1 dt1 = 2 π d0 V02 (tki1)2/2.
Pour que Qtki1 = Ni, il faut que : 2 π d0 V02 (tki1)2/2 = 2 π d0 V02 e2/α°2 Soit : (tki1)2/2 = e2/α°2
(tki1)2 = 2. e2/α°2 tki1 = √2. e/α°
Or, par définition, Ki = ∑0n
Tij/Ti = ∑0n
Qj e – α° tij1 /∑0∞ Qj e – α° tij1 = ∫0tki1 2 π d0 V02
t1 e – α° t1 dt1/ ∫0∞ 2 π d0 V02
t1 e – α° t1 dt1
= [1 – e –x (x +1)]/ [1 – e –∞ (∞ +1)] = 1 – e –x (x +1) = 1 – e – α° tki1 (α° tki1 +1) D’où : Ki = 1 – e - e√2 (e√2 + 1)
Ki = 1 – e – 2,718281828.1,414213562. (2,718281828.1,414213562 + 1)
= 1 – e – 3,844231028. (3,844231028 + 1)
= 1 – 0,02140285343. 4,844231028
= 1 – 0,1036803667 = 0,8963196333 ≈ 0,90 Autres relations :
Rapport entre tki190et ti1
tki190 = √2. e/α°
ti1 = 2/ α°
tki190/ ti1 = e/√2 = 2,718281828/1,414213562 = 1,922251438 ≈ 1,92 Rapport entre Ni et Qti1
Soit Qti1 le nombre de biens accessibles dans le temps moyen ti1
. On a: Qti1 = 2 π d0 V02 ti12/2 = 2 π d0 V02 (2/α°)2/2 = 2 π d0 V02 2/α°2 Or : Ni = Qi90 = 2 π d0 V02
e2/α°2
D’où : Ni/ Qti1 = Qi90/ Qti1 = e2/2 = 7,389056099/2 = 3,694528049 ≈ 3,69
69 1.4.2.3.4 En résumé
L’utilité brute efficiente moyenne (création de valeur brute), Ui1
, associée à un déplacement moyen efficient issu de i, peut être obtenue en additionnant une utilité nette efficiente, Si1, (la création de valeur nette), et un coût généralisé efficient moyen de déplacement, Ci1.
Ui1= Si1 + Ci1.
En méthode rigoureuse et en approche « plancher »
L’accessibilité brute est égale à : Bi1 = e2. Ai1, avec Ai1 = ∑j Qj . e – α° tij1. L’utilité brute est égale à :
Ui1 = (C0i/α°) (Log Bi1)
Ui1 = (C0i/α°) (Log e2 Ai1) = (C0i/α°) (Log Ai1 + 2)
Si1 = Ui1 – Ci1 = Ui1 – C0i° (2/ α°)
= (C0i°/ α°). Log Bi1 – (C0i°/ α°) 2
= (C0i/α°) (Log e2 Ai1) - (C0i°/ α°) 2
= (C0i/α°) (Log Ai
1 + 2) – C0i° (2/ α°)
= (C0i/α°) (Log Ai1).
En méthode approchée et en approche « plancher », L’accessibilité brute est égale à :
Bi1 = Qi90,
avec Qi90 représentant le nombre de biens décomptés à l’intérieur de l’isochrone 90, c'est-à-dire de l’isochrone qui n’est dépassée que par 10% des usagers issus de i (en pratique, 40 minutes).
L’utilité brute est égale à : Ui1 = (C0i/α°) (Log Qi90)
Si1 = Ui1 – Ci1 = Ui1 – C0i (2/ α°) = (C0i°/ α°). Log Qi90 – (C0i°/ α°) 2.
Cette expression, pertinente lorsque l’urbanisation est homogène indéfinie, l’est également lorsque d0 V02 est invariant. C’est pratiquement le cas de toutes les agglomérations dont la densité décroit au fur et à mesure qu’on s’éloigne du centre et dont la vitesse de déplacement augmente en respectant quasiment une stabilité du facteur d0 V02.
La stabilité du temps de déplacement évalué à 2/α°est donc très générale.
Lorsqu’on prend en considération des urbanisations très anisotropes dont la vitesse de déplacement n’augmenterait pas au fur et à mesure que la densité baisse, l’isochrone pertinente pour définir le territoire commodément accessible varie de 0,88 à 0,94 suivant qu’on est en densité d’urbanisation croissante ou décroissante. On peut donc adopter un coefficient de 0,90 en première approximation, sans commettre d’erreur significative.
Ui1
représente la valeur d’utilité que l’on peut attribuer à la notion d’accessibilité au territoire commodément accessible à partir de i. Il s’agit là du caractère positif du déplacement, le coût du déplacement lui-même étant caractérisé par le coût généralisé de transport Ci1 incluant la valorisation du temps de déplacement et les dépenses monétaires effectuées.