D´efinition 9.4.1 Soit P un op´erateur diff´erentiel `a coefficients constants, c’est-`a-dire P d´=ef X
|α|≤p
aα∂α
o`u(aα)|α|≤p d´esigne une famille de nombres r´eels ou complexes. On dit qu’une distributionE est solution fondamentale si et seulement si
P E =δ0.
Remarque On peut d´emontrer (nous ne le ferons pas) que tout op´erateur diff´erentiel `a coefficients constantsP admet une solution fondamentale.
Proposition 9.4.1 SoitP un op´erateur diff´erentiel `a coefficients constants etE une solution fondamentale deP. AlorsP est un op´erateur injectif deE0(Rd)dansE0(Rd). De plus, siSest une distribution `a support compact, alors la distribution T =E ? S est solution de P T =S.
D´emonstration de la proposition 9.4.1 Si S est une distribution `a support compact et queP S = 0, alors on ´ecrit, grˆace `a la proposition 9.3.2,
S = δ0? S
= (P E)? S
= X
|α|≤p
aα(∂αE)? S.
D’apr`es le th´eor`eme 9.3.1, on a
S = X
|α|≤p
aα(E ? ∂αS)
= E ?(P S)
= 0.
Donc l’op´erateur P est injectif de E0(Rd) dans lui-mˆeme. V´erifions maintenant que l’on aP(E ? S) =S. `A nouveau d’apr`es le th´eor`eme 9.3.1, on peut ´ecrire que
P(E ? S) = X
|α|≤p
aα∂α(E ? S)
= X
|α|≤p
aαE? S
= δ0? S
= S.
D’o`u la proposition.
Eudions l’exemple de l’op´´ erateur de Laplace ∆ encore appel´e Laplacien en trois dimension.
Il s’agit de l’op´erateur diff´erentiel d´efini par
∆ =
Nous allons utiliser la notion de solution fondamentale pour d´emontrer la th´eor`eme suivant.
Th´eor`eme 9.4.1 SoitT une distribution sur un ouvertΩdeR3. Soitωun sous ouvert deΩ tel que∆T|ω soit une fonctionC∞ surω. AlorsT|ω est aussi une fonction C∞sur ω.
D´emonstration du th´eor`eme 9.4.1 Elle repose sur la d´etermination de la solution fon-damentale du laplacien et sur un lemme `a propos de la convolution.
Proposition 9.4.2 On a, au sens des distributions,
∆− 1 4π|x|
=δ0.
D´emonstration de la proposition 9.4.2 Soitχune fonction de D(R) valant 1 au voisinage de 0. La fonction
x7−→ 1
|x|
´etant localement int´egrable, on a, pour toute fonction de test ϕ, limn∞ Nous avons donc, pour toute fonction de testϕ∈ D(R3),
Z
La fonctionϕ´etant continue, le th´eor`eme de Lebesgue assure que limn∞
Un changement de variables en coordonn´ees polaires suivi d’une int´egration par parties donne limn∞
Lemme 9.4.1 Soient E une distribution sur Rd telle que E|Rd\{0} soit une fonction C∞ surRd\{0}et S une distribution `a support compact surRd. Alors
(E ? S)|Rd\Supp S∈C∞(Rd\Supp S).
D´emonstration du lemme 9.4.1 Soit ε un r´eel strictement positif et θε une fonction de D(B(0, ε)) valant 1 au voisinage de 0. On ´ecrit alors que
E ? S= (θεE)? S+ ((1−θε)E)? S.
Commeθε vaut 1 au voisinage de 0, on a
(1−θε)E ∈C∞(Rd).
De plus, d’apr`es la proposition 9.3.1, on a
Supp (θε? S)⊂B(0, ε) + Supp S.
Il en r´esulte que, pour toutε strictement positif, on a
(E ? S)|Rd\(Supp S+B(0,ε)) ∈C∞(Rd\(Supp S+B(0, ε))).
D’o`u le lemme.
Retour `a la d´emonstration du th´eor`eme 9.4.1 Soitωe un sous ouvert deω tel queωe soit un compact de ω. On consid`ere une fonction θ de D(ω) valant 1 au voisinage de ω.e Consid`erons alors la distribution `a support compact θT. et calculons ∆(θT). On a
∆(θT) =θ∆T +S avec S d´= 2ef
3
X
j=1
∂jθ∂jT+ (∆θ)T.
CommeθT est une distribution `a support compact, la proposition 9.4.1 implique que θT =− 1
4π| · | ? θ∆T − 1 4π| · |? S Par hypoth`ese,θ∆T est une fonction deD(R3). Donc
− 1
4π| · | ?(θ∆T)∈C∞(R3).
De plus, le lemme 9.4.1 assure que
− 1
4π| · | ? S∈C∞(R3\Supp S).
Mais, le support de S ne rencontre pasω. D’o`u le th´eor`eme.
Chapitre 10
Les distributions temp´ er´ ees et la transform´ ee de Fourier
Introduction
Le but de ce chapitre est de d´efinir la transform´ee de Fourier des distributions. Pour d´efinir une op´eration sur les distributions, il suffit de pouvoir la d´efinir sur les fonctions de test, puis de proc´eder par transposition suivant la proc´edure valid´ee par le th´eor`eme 8.2.1 page 113. Le lemme 6.2.1 page 95 semble annoncer que tout va pour le mieux puisqu’il affirme en particulier que, pour tout couple de fonction (ϕ, θ) de D(Rd), on a
hθ, ϕib =hθ,ϕi.b
Il faudrait alors que la transform´ee de Fourier envoie D(Rd) dans lui-mˆeme. Or c’est n’est pas du tout le cas. En effet, soit un fonction deD(Rd). Alors
∂αϕ(ξ) = (−i)b α Z
e−i(x|ξ)xαϕ(x)dx.
La fonctionϕ´etant `a support dans une boule B(0, R), on a k∂αϕkb L∞ ≤
Z
Rd
|xαϕ(x)|dx
≤ R|α|kϕkL1.
Pour tout x0 de Rd, le rayon de convergence de la s´erie enti`ere (α!)−1(x−x0)αα∈Nd est infini. La transform´ee de Fourier de ϕ est donc une fonction analytique r´eelle. Une telle fonction ne peut ´evidemment pas ˆetre `a support compact sans ˆetre nulle.
Cela implique d’´elargir la classe des fonctions de test, et donc de restreindre la classe des distributions pour lesquelles nous pourrons parler de transform´ee de Fourier.
10.1 L’espace S et la transform´ ee de Fourier
Rappelons quelques notations. Soitαun multientier, c’est-`a-dire un ´el´ement deNd, on appelle longueur de α et l’on note |α| l’entier α1+· · ·+αd. La notation β ≤ α signifie que, pour tout j, βj ≤ αj; la notation β < α signifie que β ≤ α et que β 6= α. De plus, si x ∈ Rd
et α ∈ Nd, on pose xα d´= Πef jxαjj. Enfin, si f est une fonction |α| fois diff´erentiable, sur un
D´efinition 10.1.1 L’espaceS(Rd), not´e simplementS en l’absence d’ambiguit´e, est l’espace des fonctions uind´efiniment diff´erentiables sur Rdtelles que, pour tout entierk, on ait
kukk,S d´=ef sup
x∈Rd
|α|,|β|≤k
|xβ∂αu(x)|<∞.
RemarquesIl est clair queS est inclus dansL1∩L∞, que l’application lin´eaire∂α envoieS dansS puisque l’on a
k∂αukk,S ≤ kukk+|α|,S.
Donnons maintenant quelques exemples d’´el´ements de S. Les fonctions ind´efiniment dif-f´erentiables `a support compact sont bien sˆur des ´el´ements de S. De plus, les gaussiennes, c’est-`a-dire les fonctions du typee−a|x|2 avecar´eel strictement positif, sont aussi des ´el´ements de S.
Proposition 10.1.1 Pour toute fonctionf de S et pour toutα∈Nd, on a F(Dαf)(ξ) =ξαfb(ξ) et F(xαf)(ξ) = (−Dξ)αfb(ξ).
D´emonstration de la proposition 6.2.1 On proc`ede par int´egration par parties.
F(Dαf)(ξ) =
Proposition 10.1.2 L’espace D(Rd) est ”dense”dans S, c’est-`a-dire que l’on a
∀u∈ S, ∀ε >0, ∀k∈N, ∃ϕ∈ D/ ku−ϕkk,S < ε.
D´emonstration de la proposition 10.1.2 Soitχun ´el´ement deDvalant 1 pr`es de l’origine.
Posons Il est imm´ediat que
(1 +|x|)
et ce pour tout couple (α, β) de multientiers de longueur plus petite que 1. D’o`u ku−ϕnkk,S ≤ 1
n+ 1kukk+1,S et ainsi la proposition.
Cet espace est remarquablement adapt´e `a la transform´ee de Fourier; il est l’un des rares espaces explicitement d´efinis et stables par transformation de Fourier. Nous avons d´eja vu que l’espaceL2 v´erifiait cette propri´et´e.
Th´eor`eme 10.1.1 La transform´ee de Fourier laisse l’espace S globalement invariant,
c’est-` D’apr`es la formule de Leibnitz, il vient
ξβ(−D)αu(ξ) =b X
|γ|,|δ|≤k
Aγ,δ Z
e−i(x|ξ)xγ∂δu(x)dx.
Or, on a Z
e−i(x|ξ)xγ∂δu(x)dx
≤ Z
(1 +|x|2)−d+12 (1 +|x|2)d+12 xγ∂δu(x)dx.
D’o`u il r´esulte que
|ξβ∂αu(ξ)| ≤b Ckukk+d+1,S Z
(1 +|x|)−d−1dx
≤ Ckukk+d+1,S
et ce, pour tout couple (α, β) de multientier de longueur inf´erieure ou ´egale `a k. D’o`u le th´eor`eme.
On peut d´emontrer maintenant la proposition suivante qui n’est finalement qu’une version de la proposition 6.1.1
Proposition 10.1.3 Si(f, g) appartient `a L2×L2 ou bien `a F(L1)×L1, alors, on a F(f g) = (2π)−df ?b bg.
D´emonstration de la proposition 10.1.3 Pour d´emontrer cette formule, commen¸cons par la d´emontrer pour f etg dansS. L’utilisation syst´ematique de la formule d’inversion de Fourier permet d’´ecrire
(2π)−dF(f ?b bg) = (2π)−dF2fF2g
= (2π)dfˇgˇ
= (2π)d(f g)ˇ
= F2(f g).
Il suffit maintenant de d´emontrer que l’application bilin´eaire F(f g)−(2π)−df ?b gb est continue de L2×L2 dans L∞ et de F(L1)×L1. On a
kF(f g)kL∞ ≤ kf gkL1 ≤ kfkL2kgkL2. De plus, on a
kf ?b gkb L∞ ≤ kfbkL2kbgkL2 ≤(2π)dkfkL2kgkL2. De mani`ere analogue, on a
kF(f g)kL∞ ≤ kf gkL1 ≤ kfkL∞kgkL1 ≤(2π)−dkfbkL1kgkL1. Enfin, on a
kf ?b g)kb L∞ ≤ kfbkL1kgkb L∞ ≤ kfkb L1kgkL1. D’o`u la proposition.