Cette section est essentiellement une suite d’exercices (r´esolus) et de r´esultats compl´ementaires qui n’ont pas n’ont pas ´et´e trait´es en amphi. Soitf la fonction d´efinie surR par
f(x) =
Nous pouvons d´eriver autant de fois que nous le souhaitons la fonction f. De plus, nous savons bien que, pour toute fonction de testϕ, on a
Nlim→∞
D’apr`es la ”continuit´e” de la d´erivation, on en d´eduit que, pour tout entier `, on a d
Donc en particulier la suite
N
converge dans D0. D´emontrer cette propri´et´e directement est un exercice tr`es formateur.
Nous allons maintenant exposer quelques exemples de r´esolution d’´equations dont l’inconnue est une distribution. En voici quelques exemples.
Proposition 8.4.1 Soit T une distribution sur Rd telle que l’on ait
∀j∈ {1,· · ·, d}, xjT = 0.
Alors il existe λ∈Ktel queT =λδ0.
La d´emonstration de cette proposition est bas´ee sur la formule de Taylor avec reste int´egral.
Soitϕ une fonction de test. On a
ϕ(x) =ϕ(0) +
Proposition 8.4.2 Soit T une distribution surRd telle quexT = 1; alors il existe λ∈Ctel
est la distribution d´efinie page 109.
En effet, si l’on a xu = 1 sur R, a fortiori on a xu|R\{0} = 1|R\{0}. D´emontrons que ceci
x· Mais, nous connaissons une telle distribution, c’est vp
1 x
. D´emontrons maintenant que xvp 1
x
= 1. Soit ϕ une fonction de test et R un r´eel tel que le support deϕsoit inclus dans l’intervalle ouvert ]−R, R[. Par d´efinition de la distribution ”valeur principale” de 1/x, on a
hxvp alorsx(T1−T2) = 0 et la proposition 8.4.1 conclue la d´emonstration.
Nous admettrons le th´eor`eme suivant, analogue du th´eor`eme 3.3.1.
Th´eor`eme 8.4.1 Soit (Tn)n∈N une suite de distributions sur un ouvert Ω de Rd telle qu’il existe une forme lin´eaireu surD(Ω)telle que
∀ϕ∈ D(Ω), lim
n→∞hTn, ϕi=hT, ϕi.
Alors, la forme lin´eaireT est une distribution, c’est-`a-dire que
∀ϕ∈ DK, |hT, ϕi| ≤C sup
|α|≤N
k∂αϕkL∞.
Chapitre 9
Convolution des distributions
9.1 La notion de support; les distributions ` a support compact
Le concept de support d’une distribution est bas´e sur la notion de restriction d’une distribution
`
a un ouvert (voir la d´efinition 8.2.1 page 110) et sur la proposition suivante.
Proposition 9.1.1 Soit T une distribution sur un ouvert Ω de Rd et (Uλ)λ∈Λ une famille quelconque d’ouverts de Ω tels que, pour tout λappartenant `a Λ, on ait T|Uλ = 0. Alors T restreinte `a la r´eunion desUλ est nulle.
D´emonstration de la proposition 9.1.1 Soitϕune fonctionC∞`a support dans la r´eunion des ouverts Uλ . Comme le support de ϕ est compact, il existe une famille finie (λj)1≤j≤N
telle que l’on ait
Supp ϕ⊂
N
[
j=1
Uλj.
Admettons momentan´ement le lemme suivant.
Lemme 9.1.1 SoitK un compact et(Uj)1≤j≤N une suite finie d’ouverts de Rdtels que K⊂
N
[
j=1
Uj.
Il existe une famille (ϕj)1≤j≤N de fonctions `a valeurs dans l’intervalle [0,1] telles que ϕj appartienne `aD(Uj)et telles que
N
X
j=1
ϕj(x) = 1 au voisinage deK.
Appliquons ce lemme. On peut ´ecrire ϕ=
d
X
j=1
ϕjϕ et donc hT, ϕi=
d
X
j=1
hT, ϕjϕi.
Mais, commeϕjϕappartient `aD(Uj), on ahT, ϕjϕi= 0. Ainsi donchT, ϕi= 0. Le th´eor`eme est d´emontr´e pourvu que l’on d´emontre le lemme 9.1.1.
D´emonstration du lemme 9.1.1 On commence par diminuer l´eg`erement les ouverts Uj. Posons, pourε strictement positif,
Uj,εd´ef
= {x∈Uj/ d(x, Ujc)> ε}.
D’apr`es la proposition 1.1.10 page 10, la fonction x 7→ d(x, Ujc) est une fonction continue.
Donc lesUj,εsont des ouverts. Nous allons d´emontrer qu’il existe un r´eel strictement positifδ tel que l’ensemble Uj est un ouvert, il existe un r´eel strictement positif δx tel que la boule ou-verte B(x, δx) soit incluse dans Uj. Donc x appartient `a Uj,δx. Il en r´esulte que la famille d’ouverts (Uj,ε)1≤j≤N,ε>0 recouvre le compact K. On extrait de ce recouvrement un sous-recouvrement fini (Uj,εj)1≤j≤N. En posantδ = min{εj, 1≤j≤N}, on obtient (9.1). simplement `a v´erifier que la fonction d´efinie par
S(x)d´=ef
N
X
j=1
ϕj(x)
vaut identiquement 1 pr`es de K. Comme la fonction θj vaut identiquement 1 pr`es de Uj,δ, nous avons
Le fait que S vaut identiquement 1 pr`es deK va r´esulter du lemme alg´ebrique suivant.
Lemme 9.1.2 Soit (αj)j∈N une suite de nombres complexes, on consid`ere la suite (Aj)j≥2
d´efinie par
D´emonstration du lemme 9.1.2 Il est clair queA2 =α1+1−α1= 1. De plus, pourj≤2,
On peut maintenant d´efinir la notion de support d’une distribution.
D´efinition 9.1.1 SoitT une distribution surΩ, on appelle support deT et l’on noteSupp T le compl´ementaire du plus grand ouvertω inclus dansΩ tel queT|ω= 0.
Remarque Le support d’une distribution est par d´efinition un ferm´e. De plus, cette notion de support d’une distribution co¨ıncide avec celui d’une fonction. En effet, soitf une fonction de L1loc(Ω) etω un ouvert tel que f|ω= 0 au sens des distributions. Ceci signifie que
∀ϕ∈C0∞(ω), hf, ϕi= Z
f(x)ϕ(x)dx= 0.
D’apr`es le th´eor`eme 8.1.1, ceci signifie exactement que, pour presque tout x de ω, on a quef(x) = 0. Ceci montre bien que la d´efinition de support d’une distribution co¨ıncide bien avec la d´efinition usuelle dans le cas des fonctions localement int´egrables.
D´efinition 9.1.2 On appelle distribution `a support compact toute distributionT surΩtelle que le support deT soit compact. On d´esigne par E0(Ω)cet ensemble.
Nous allons maintenant voir que les distributions `a support compact peuvent s’identifier au dual de l’espace des fonctions ind´efiniment diff´erentiables. Pour cela, commen¸cons par d´emontrer le lemme suivant.
Lemme 9.1.3 SoientT une distribution `a support compact surΩetχune fonction deD(Ω) valant identiquement 1pr`es du support deT. Alors, on a
∀ϕ∈ D(Ω), hT, χϕi=hT, ϕi.
D´emonstration du lemme 9.1.3 Il suffit d’´ecrire que, pour toute fonction de test ϕ, on a hT, χϕi=hT, ϕi+hT, χϕ−ϕi.
Par d´efinition de χ, le support de (χ−1)ϕest un compact inclus dans le compl´ementaire du support deT; donc par d´efinition du support de u, on a
hT, χϕ−ϕi= 0 et donc χT =T.
D’o`u le lemme.
Proposition 9.1.2 Soit T une distribution `a support compact. Il existe une unique forme lin´eaire Te d´efinie sur C∞(Ω) (l’ensemble des fonctions ind´efiniment diff´erentiables sur Ω) prolongeantT et telle qu’il existe un compactK0, une constante C et un entier N tels que
∀φ∈C∞(Rd), |hT , φi| ≤e C sup
x∈K0
|α|≤N
|∂αφ(x)|.
D´emonstration de la proposition 9.1.2 Soit χ une fonction de test valant 1 pr`es du support deT, on d´efinit Te sur C∞(Ω) par
hT , φie d´=efhT, χφi.
Le lemme 9.1.3 ci-dessus montre que queTeprolonge bienT. De plus,T´etant une distribution, il existe une constanteC et un entierN tels que
∀φ∈C∞(Rd), |hT , φi| ≤e C sup
|α|≤N
k∂α(χφ)kL∞. La formule de Leibnitz assure que
∀φ∈C∞(Rd), |hT , φi| ≤e C sup
x∈Supp χ
|α|≤N
|∂αφ(x)|
≤ C sup
|α|≤N
k∂αφkL∞. (9.2)
D’o`u la proposition.
Corollaire 9.1.1 Toute distribution `a support compact est d’ordre fini.
D´emonstration du corollaire 9.1.1 Ceci n’est qu’une traduction de l’in´egalit´e (9.2).
Convention Dans toute la suite nous identifierons une distributionT `a support compact et la forme lin´eaireTe d´efinie dans la proposition ci-dessus.
RemarquesL’espaceC∞(Ω) ´etant parfois not´eE(Ω), la notation E0(Ω) utilis´ee pour les dis-tributions `a support compact insiste sur le fait que l’on identifie les formes lin´eaires surC∞(Ω)
”continues” – c’est-`a-dire v´erifiant (9.2) – et les distributions sur Ω `a support compact.
Une distribution `a support compact est toujours d’ordre fini.
Exercice 9.1.1 Soit TN la distribution d´efinie sur Rpar TN d´=ef
N
X
n=1
(−1)n n δ1
n
1) D´emontrer que la suite(TN)N∈N admet une limite dansD0(R)que l’on d´esignera parT. 2) D´emontrer que le support deT est l’ensemble
Sd´=efn1
n,n∈N\{0}o∪ {0}.
3) Trouver une suite (ϕn)n∈N de fonctions de D(R) telle que, pour tout entier N on ait sup
x∈S
|ϕn(x)|= 1, sup
0<|α|≤N x∈S
|∂αϕn(x)|= 0 et lim
n∞hT, ϕni= +∞.
4) D´emontrer queT est une distribution d’ordre1