D´efinition 2.2.1 Soit (E,k · k) un espace norm´e. On dit que (E,k · k) est un espace de Banach si et seulement si l’espace m´etrique(E, d)o`udest la distance associ´ee `a la normek · k (i.e. d(x, y) =kx−yk) est un espace complet.
ExemplesL’espaceRdmuni de la norme euclidienne est un espace complet. Plus g´en´eralement, tout sous-espace vectoriel de dimension finie d’un espace vectoriel norm´e est un espace de Ba-nach. Soient E un espace de Banach et X un ensemble; l’ensemble B(X, E) des fonctions born´ees deX dansE muni de la norme
kfkB(X,E)d´= supef
x∈X
kf(x)kE est un espace de Banach.
SoitCk(S) l’espace vectoriel des fonctions 2π-p´eriodiques etkfois continˆument d´erivables.
muni de la norme
kfkkd´=ef sup
x∈[0,2π]
j≤k
|f(j)(x)|
est un espace de Banach.
RemarqueLes espaces norm´es que nous rencontrerons seront toujours complets. Le th´eor`eme suivant est la raison essentielle du succ`es de la th´eorie de l’int´egration de Lebesgue.
Th´eor`eme 2.2.1 Soit (X, µ) un espace mesur´e. Pour tout r´eel p appartenant `a l’inter-valle [1,+∞], l’espace(Lp(X, dµ),k · kLp) est un espace de Banach.
La proposition suivante va nous fournir un nouvel exemple tr`es important.
Proposition 2.2.1 Soient E un espace norm´e et F un espace de Banach. Alors l’espa-ceL(E, F) muni de la norme d´efinie dans la proposition 2.1.2 est un espace de Banach.
D´emonstration de la proposition 2.2.1 Consid´erons une suite de Cauchy (`n)n∈N
de L(E, F). D’apr`es la d´efinition de la norme sur l’espace L(E, F), on en d´eduit que, pour tout x de E, la suite (`n(x))n∈N est une suite de Cauchy de F. L’espace F ´etant suppos´e complet, il existe, pour toutx de E, un ´el´ement de F, not´e `(x) tel que
n→∞lim `n(x) =`(x).
Il suffit maintenant de d´emontrer que`appartient `a L(E, F) et que
n→∞lim `n=` dans L(E, F).
L’unicit´e de la limite assure tr`es facilement que ` est une application lin´eaire. Comme la suite (`n)n∈Nest de Cauchy, elle est born´ee (proposition 1.2.1). Il existe donc une constanteC telle que
sup
n∈N kxkE≤1
k`n(x)kF ≤C.
Par passage `a la limite, on en d´eduit que sup
kxkE≤1
k`(x)kF ≤C.
Donc, l’application lin´eaire ` est continue. D´emontrons la convergence de la suite (`n)n∈N
vers ` dans L(E, F). La suite (`n)n∈N ´etant de Cauchy, pour tout ε strictement positif, il existe un entiern0 tel que l’on ait, pour tout entiern≥n0,
sup
kxkE≤1 p∈N
k`n(x)−`n+p(x)kF < ε.
Par passage `a la limite lorsquep tend vers l’infini, on obtient sup
kxkE≤1
k`n(x)−`(x)kF ≤ε, ce qui ach`eve la d´emonstration de la proposition.
Th´eor`eme 2.2.2 SoientEetF deux espaces vectoriels norm´es,Gun sous-espace dense deE et` une application lin´eaire continue deG dansF. Supposons que F soit complet. Il existe alors un unique ´el´ement`edeL(E, F) tel que`e|G =`.
D´emonstration du th´eor`eme 2.2.2 Il suffit d’appliquer le th´eor`eme 1.2.3 et de v´erifier que le prolongement ainsi obtenu est lin´eaire, ce qui est un exercice facile laiss´e au lecteur.
Proposition 2.2.2 SoitEun espace de Banach et(xn)n∈Nune suite d’´el´ements deE. Alors,
D´emonstration de la proposition 2.2.2 En effet, on a kSN+P −SNk =
L’hypoth`ese de sommabilit´e implique que, pour tout εstrictement positif, il existe un entier N0 tel que alors l’espaceE est de Banach.
D´emonstration du th´eor`eme 2.2.3 Soit (an)n∈N une suite de Cauchy de E, nous allons extraire de (an)n∈N une suite convergente, ce qui, d’apr`es la proposition 1.2.2, assurera le r´esultat. Ainsi donc, on a, pour tout entiern,
kaφ(n+1)−aφ(n)k ≤ 1
Donc par hypoth`ese, la suite
SN =
N
X
n=0
xn=aφ(N)−a0 converge; d’o`u le th´eor`eme.
Exercice 2.2.1 Soient E et F deux espaces norm´es tels que F soit complet. On consid`ere une suite born´ee(`n)n∈N dans L(E, F). On suppose qu’il existe un sous-espace vectoriel G de E, dense dansE et une application lin´eaire`de Gdans F telle que
∀x∈G , lim
n→∞`n(x) =`(x).
D´emontrez que l’on peut prolonger `en un ´el´ement `ede L(E, F)et que
∀x∈E , lim
n→∞`n(x) =`(x).e
Exercice 2.2.2 Soient E et F deux espaces vectoriels norm´es tels que E soit un espace de Banach. Si ıest une isom´etrie deE dans F, alors ı(E) est ferm´e dansF.
Les deux th´eor`emes suivants sont des cons´equences du th´eor`eme 1.2.4.
Th´eor`eme 2.2.4 (de Banach-Steinhaus) SoientE etF deux espaces norm´es et (`n)n∈N
une suite deL(E, F). Supposons que E soit complet. Supposons que, pour tout x de E, la limite de la suite(`n(x))n∈N existe; d´esignons la par`(x).
Alors la suite(`n)n∈N est une suite born´ee deL(E, F), ce qui implique en particulier que` appartient `a L(E, F). De plus, on a
k`kL(E,F) ≤lim inf
n→∞ k`nkL(E,F).
D´emonstration du th´eor`eme 2.2.4 La d´emonstration de ce th´eor`eme repose sur le lemme suivant.
Lemme 2.2.1 Soient E et F deux espaces norm´es et (`n)n∈N une suite de L(E, F). Sup-posons que E soit complet. Supposons que, pour tout x de E, la suite (`n(x))n∈N soit une suite born´ee de F.
Alors la suite (`n)n∈N est une suite born´ee de L(E, F).
D´emonstration du lemme 2.2.1 Consid´erons les ensemblesFn,p d´efinis par Fn,p={x∈E / k`n(x)kF ≤p}.
Ces ensemblesFn,psont des ferm´es en tant qu’image r´eciproque de ferm´es par une application continue. Donc les ensemblesFp d´efinis par
Fp d´ef
= \
n∈N
Fn,p
sont des ensembles ferm´es car ce sont des intersections de ferm´es. De plus, soit x un ´el´ement quelconque de E. La suite (`n(x))n∈N est suppos´ee born´ee. Donc, il existe un entier p tel quex appartienne `a Fp. Cela signifie que la r´eunion de tous les Fp est l’espace E tout entier.
D’apr`es le corollaire 1.2.1 du th´eor`eme 1.2.4 de Baire, il existe un entierp0 tel que
◦
Fp0 6=∅.
Donc, il existe un pointx0et un r´eel strictement positifαtel queB(x0, α) soit inclus dansFp0. On a donc
sup
n∈N kxk≤α
k`n(x)kF ≤ sup
n∈N kxk≤α
k`n(x+x0)kF +k`n(x0)kF
≤ sup
n∈N x∈B(x0,α)
k`n(x)kF +k`n(x0)kF
≤ 2p0.
Ainsi, pour toutx deE de norme plus petite que 1, on peut ´ecrire k`n(x)kF ≤ α−1
`nx α
F
≤ 2p0 α · Donc la suite (`n)n∈N est une suite born´ee de L(E, F).
Revenons `a la d´emonstration du th´eor`eme. Par passage `a la limite, on obtient alors que,
∀x∈B(x0, α), k`(x)k ≤2p0.
D´emontrons maintenant la majoration de la norme de `. Soit x un ´el´ement de E de norme 1. On peut alors ´ecrire
k`(x)kF = lim
n→∞k`n(x)kF
= lim inf
n→∞ k`n(x)kF
≤ lim inf
n→∞ k`nkL(E,F) (carkxkE = 1).
Le th´eor`eme est ainsi compl`etement d´emontr´e.
Remarque L’in´egalit´e majorant la norme de`peut ˆetre stricte comme le montre l’exemple suivant.
On consid`ere l’espace`1(N) des suites `a valeurs complexes absolument convergentes. C’est bien sˆur un espace de Banach. On consid`ere la suite de formes lin´eaires (en)n∈N d´efinie par
en((xp)p∈N)d´=efxn. C’est un exercice facile de d´emontrer que
∀x∈`1(N), lim
n→∞en(x) = 0.
Il est tr`es facile d’observer quek`nkL(E,C)= 1.
Nous admettrons le th´eor`eme suivant.
Th´eor`eme 2.2.5 (de Banach) Soient E et F deux espaces de Banach et A un ´el´ement de L(E, F). Si Aest bijective, alors A−1∈ L(F, E).