`nx α
F
≤ 2p0 α · Donc la suite (`n)n∈N est une suite born´ee de L(E, F).
Revenons `a la d´emonstration du th´eor`eme. Par passage `a la limite, on obtient alors que,
∀x∈B(x0, α), k`(x)k ≤2p0.
D´emontrons maintenant la majoration de la norme de `. Soit x un ´el´ement de E de norme 1. On peut alors ´ecrire
k`(x)kF = lim
n→∞k`n(x)kF
= lim inf
n→∞ k`n(x)kF
≤ lim inf
n→∞ k`nkL(E,F) (carkxkE = 1).
Le th´eor`eme est ainsi compl`etement d´emontr´e.
Remarque L’in´egalit´e majorant la norme de`peut ˆetre stricte comme le montre l’exemple suivant.
On consid`ere l’espace`1(N) des suites `a valeurs complexes absolument convergentes. C’est bien sˆur un espace de Banach. On consid`ere la suite de formes lin´eaires (en)n∈N d´efinie par
en((xp)p∈N)d´=efxn. C’est un exercice facile de d´emontrer que
∀x∈`1(N), lim
n→∞en(x) = 0.
Il est tr`es facile d’observer quek`nkL(E,C)= 1.
Nous admettrons le th´eor`eme suivant.
Th´eor`eme 2.2.5 (de Banach) Soient E et F deux espaces de Banach et A un ´el´ement de L(E, F). Si Aest bijective, alors A−1∈ L(F, E).
2.3 Inverses et spectre dans L(E)
L’un des r´esultats de base sur les ´el´ements inversibles de L(E) est le suivant.
Th´eor`eme 2.3.1 Soit E un espace de Banach; l’ensemble des ´el´ements de L(E) qui sont `a distance strictement inf´erieure `a 1de Idsont inversibles dans L(E). Dit autrement,
∀`∈BL(E)(Id,1), ∃!`−1 ∈ L(E)/ `◦`−1 =`−1◦`= Id.
D´emonstration du th´eor`eme 2.3.1 Posons SN =
N
X
n=0
(−1)n(`−Id)n.
D’apr`es la proposition 2.2.2, la suite (SN)N∈N converge vers un ´el´ement `−1 de L(E) d`es quek`−IdkL(E)<1. Par ailleurs, on a
SN` = SN(Id +`−Id)
= Id−(−1)N+1(`−Id)N+1
= `SN.
En passant `a la limite dans l’´egalit´e ci-dessus, on conclut la d´emonstration de ce th´eor`eme.
Corollaire 2.3.1 L’ensembleU(E) des ´el´ements inversibles deL(E) est un ouvert et l’appli-cationInv d´efinie par
( U(E) → U(E)
` 7→ `−1 est continue.
D´emonstration du corollaire 2.3.1 Soit `0 un ´el´ement de U(E). Consid´erons alors un
´el´ement`de L(E) tel que
k`−`0kL(E) < 1 k`−10 kL(E)· D’apr`es l’in´egalit´e (2.1), il vient
k`◦`0−IdkL(E) <1.
D’apr`es le th´eor`eme pr´ec´edent, `◦`0 est inversible, donc ` aussi. L’ensembleU(E) est donc ouvert.
D´emontrons la continuit´e sur la boule (ouverte) de centre Id et de rayon 1. On peut ´ecrire, pour deux ´el´ements `1 et`2 de la boule de centre Id et de rayon α strictement inf´erieur `a 1, que
`−11 −`−12 =
∞
X
n=0
(−1)n((`1−Id)n−(`2−Id)n).
En utilisant le fait que, siaetbsont deux ´el´ements deL(E), on a, grˆace au fait queL(E) est une alg`ebre norm´ee,
kan−bnk ≤ ka−bk ×
n−1
X
m=0
an−1−mbm
≤ ka−bkn(kakn−1+kbkn−1).
Ainsi donc, on a
k(`1−Id)n−(`−Id)nkL(E)≤ k`1−`2kL(E)n(k`1−Idkn−1L(E)+k`2−Idkn−1L(E))
Comme nous avons suppos´e que`1 et`2 appartenaient `a la boule de centre Id et de rayonα, on a
k(`1−Id)n−(`−Id)nkL(E)≤2nαn−1k`1−`2kL(E)
Commeα est suppos´e strictement inf´erieur `a 1, on a
k`−11 −`−12 kL(E)≤Ck`1−`2kL(E).
Pour achever la d´emonstration du corollaire, il reste `a observer que, si `0 appartient `a U(E) et que`∈B(`0,k`−10 k−1), alors `−1 = (`−10 ◦`)−1◦`−10 . Pour ce faire, ´ecrivons que
``−10 −Id =``−10 −`0`−10 = (`−`0)`−10 . Comme on a suppos´e que`∈B(`0,k`−10 k−1), on a
k``−10 −Idk ≤ k`−`0kk`−10 k<1.
Ainsi donc``−10 est inversible et
``−10 ((``−10 )−1)= (``−10 )(``−10 )−1 = Id. Le corollaire 2.3.1 est d´emontr´e.
Exercice 2.3.1 D´emontrer que l’applicationInv est analytique surU(E).
Exercice 2.3.2 SoientEun espace de Banach etI un intervalle deR, on d´esigne parC(I, E) l’ensemble des fonctions continues deIdansE. On se donne une fonction continueAdeIdans L(E) et l’on fixe un r´eel t0 dans l’intervalleI. On d´efinit alors, pour tout r´eel λ, l’espace Fλ des fonctions f de C(I, E) telles que
kfkλ d´= supef
t∈I
e−λ R
[t0,t]kA(τ)kL(E)dτ
kf(t)kE <∞.
1) D´emontrer que, muni de la norme d´efinie ci-dessus, Fλ est un espace de Banach.
2) D´emontrer qu’il existe un r´eel strictement positif λ0 tel que, pour tout λ > λ0, l’application d´efinie par
A
Fλ → Fλ
f 7→ t7→f(t) + Z t
t0
A(τ)f(τ)dτ appartient `a U(Fλ).
3) Soit f0 ∈ C(I, E), posons f =A−1f0. Calculez A0(t)− A(t)f(t). Quel th´eor`eme connu a-t-on ainsi red´emontr´e?
D´efinition 2.3.1 SoientE un espace de Banach surKetuun ´el´ement deL(E). On appelle spectre deu et l’on noteSp(u) l’ensemble des ´el´ementsλ de K tels que u−λId ne soit pas inversible.
ATTENTION !En dimension finie, il n’existe qu’une seule fa¸con, pour une application lin´eaire, de ne pas ˆetre inversible. En effet, soit`une application lin´eaire deEdansE, l’espace E ´etant suppos´e ˆetre de dimension finie. L’alg`ebre lin´eaire ´el´ementaire dit que
`bijective⇔`surjective⇔`injective.
L’application r´eciproque `−1 est lin´eaire donc continue puisque nous sommes en dimension finie.
Il en va tout autrement en dimension infinie. Par exemple, soit E = `∞(N) muni de la norme
k(xn)n∈Nk`∞(N) d´ef
= sup
n∈N
|xn|.
C’est un espace de Banach. Soit `1 l’application lin´eaire d´efinie par
`1
( E → E
(xn)n∈N 7→ (yn)n∈N/ yn=xn+1.
L’application`1 est surjective, mais pas injective. Consid´erons `2 d´efinie par
`2
( E → E
(xn)n∈N 7→ (yn)n∈N/ yn=xn−1 si n≥1, 0 sinon.
L’application`2 est une isom´etrie, c’est-`a-dire quek`2xk=kxk, mais elle n’est pas surjective.
Proposition 2.3.1 SoientEun espace de Banach surKetuun ´el´ement deL(E). Le spectre de uest un ferm´e inclus dans la boule ferm´ee de centre0 et de rayonkukL(E).
D´emonstration de la proposition 2.3.1 L’application Lu d´efinie par Lu
( K → L(E) λ 7→ u−λId
est une application continue de K dans L(E). Or, par d´efinition de Sp(u), le spectre est l’image r´eciproque par l’application continue Lu du ferm´e L(E)\U(E); donc le spectre est ferm´e. De plus, si λ >kukL(E), ´ecrivons
u−λId =λ 1
λu−Id
.
Ainsi donc,λ−1(u−λId)∈B(Id,1), donc est inversible, et doncu−λId aussi.
Th´eor`eme 2.3.2 SoientE un espace de Banach surCetu un ´el´ement deL(E). Le spectre de uest alors non vide.
D´emonstration du th´eor`eme 2.3.2 Supposons que le spectre deusoit vide. On consid`ere alors l’appplicationL−1u d´efinie par
L−1u
( C → L(E)
λ 7→ (u−λId)−1.
D’apr`es l’exercice 2.3.1, l’applicationL−1u est analytique deCdans L(E). De plus, on a L−1u (λ) = 1
λ 1
λu−Id −1
.
Il en r´esulte que
λ→∞lim L−1u (λ) = 0.
Donc l’applicationL−1u est une application born´ee de Cdans L(E). Elle est donc constante, ce qui est absurde. Il en r´esulte que le spectre deun’est pas vide.
ATTENTION ! Le corps de base est tr`es important dans les questions de spectre et ceci n’a rien `a avoir avec la dimension infinie. Pour s’en convaincre, il suffit d’observer qu’une rotation de l’espace r´eel de dimension deux a un spectre vide en tant qu’application lin´eaire de l’espace r´eel `a deux dimensions.