[
k=0
Ak,ε=K.
On consid`ere l’applicationPn d´efinie par
Pn
5.4 Convolution et r´ egularisation
Dans toute cette section, nous travaillerons dans l’espaceRd. L’op´erateur de convolution est un op´erateur crucial dans l’´etude des fonctions sur Rd.
Th´eor`eme 5.4.1 Soient f etg deux fonctions de L1. Alors, pour presque toutx de Rd, la fonction
y 7→f(x−y)g(y) est int´egrable et la fonction F d´efinie par
F(x)d´=ef Z
Rd
f(x−y)g(y)dy
appartient `aL1. Elle est appel´ee la convolu´ee def et de get not´eef ? g. L’op´eration?ainsi d´efinie est une application bilin´eaire continue de L1×L1 dansL1.
D´emonstration du th´eor`eme 5.4.1 Comme les fonctions f et g sont suppos´ees ˆetre dansL1, on a
|f(x−y)| × |g(y)| ∈L1(Rd×Rd) et Z
Rd×Rd
|f(x−y)| × |g(y)|dxdy =kfkL1kgkL1. Les conclusions du th´eor`eme 5.1.5 de Fubini entraˆınent imm´ediatement le th´eor`eme. On peut aussi d´efinir la convolution d’une fonction deLp par une fonction deLp0.
Th´eor`eme 5.4.2 Soient f une fonction de Lp etgune fonction de Lp0. La formule (f ? g)(x)d´=ef
Z
Rd
f(x−y)g(y)dy d´efinit une application bilin´eaire continue deLp×Lp0 dans L∞.
D´emonstration du th´eor`eme 5.4.2 D’apr`es l’in´egalit´e de H¨older, pour presque tout x dansRd, l’application
y 7→f(x−y)g(y) est int´egrable et
Z
K
f(x−y)g(y)dy
≤ kfkLpkgkLp0. D’o`u le th´eor`eme.
Les deux th´eor`emes ci-dessus se g´en´eralisent. On peut d´efinir la convolution de deux fonctions si elles appartiennent `a des espaces Lp convenables. Plus pr´ecis´ement:
Th´eor`eme 5.4.3 Soit (p, q, r)un triplet de r´eels tel que 1 +1
r = 1 p +1
q· (5.7)
Consid´erons un couple de fonctions (f, g) dansLp×Lq. Alors la formule (f ? g)(x)d´=ef
Z
Rd
f(x−y)g(y)dy d´efinit une fonction de Lr et l’on a
kf ? gkLr ≤ kfkLpkgkLq.
D´emonstration du th´eor`eme 5.4.3 C’est un exemple d’application du lemme 5.2.1. Soitϕ une fonction de Lr0, nous allons majorer
I(f, g, ϕ)d´=ef Z
Rd×Rd
|f(x−y)g(y)ϕ(x)|dxdy.
Supposons d´emontr´e que
I(f, g, ϕ)≤ kfkLpkgkLqkϕkLr0. (5.8) Ceci signifie que
(x, y)7−→ |f(x−y)g(y)|ϕ(x)
appartient `a L1(Rd×Rd). Le th´eor`eme de Fubini-Tonelli 5.1.5 assure que, pour presque toutx,
x7−→f(x−y)g(y)
appartient `aL1(Rd, dy). Ainsi doncf ? gest bien d´efinie pour presque toutxdeRd. De plus, le th´eor`eme de Fubini assure que
Z
D´emontrons l’in´egalit´e (5.8). Remarquons tout d’abord que l’on ne restreint pas la g´en´eralit´e de la d´emonstration en supposant que kfkLp = kgkLq = 1. Consid´erons α et β deux r´eels de l’intervalle ]0,1[. On ´ecrit
I(f, g, ϕ) = Z
Rd×Rd
|f(x−y)|1−α|g(y)|1−β|ϕ(x)| × |f(x−y)|α|g(y)|βdxdy.
Appliquons l’in´egalit´e de H¨older avec la mesure
dµ(x, y) =|f(x−y)|α|g(y)|βdxdy.
Majorons I(1)(f, g, ϕ). Le th´eor`eme de Fubini pour les fonctions positives et l’invariance par translation de la mesure de Lebesgue impliquent que
I(1)(f, g, ϕ) =
L’in´egalit´e de H¨older entraˆıne alors que Z
Rd
|f(x−y)|α|g(y)|βdy ≤ Z
Rd
|f(x−y)|α×αpdy αp Z
Rd
|g(y)|β×βqdy βq
≤ kfkLpkgkLq
≤ 1.
D’o`u il r´esulte que
I(2)(f, g, ϕ)≤ kϕkLr0. L’in´egalit´e 5.8 et alors le th´eor`eme 5.4.3 sont d´emontr´es.
Th´eor`eme 5.4.4 Soient f etg deux fonctions respectivement dansLp etLq telles que 1
p +1 q ≤1.
Alors, on a
Supp (f ? g)⊂Adh (Supp f + Supp g).
D´emonstration du th´eor`eme 5.4.4 Soit xun point deRdetρun r´eel strictement positif tels que
B(x, ρ)∩(Supp f+ Supp g) =∅.
Pour toute fonctionϕ born´ee et nulle en dehors deB(x, ρ), on a Z
Rd×Rd
ϕ(x)f(x−y)g(y)dxdy = Z
Rd×Rd
ϕ(x+y)f(x)g(y)dxdy
= 0.
D’o`u le th´eor`eme en appliquant la proposition 5.3.3.
La convolution est une op´eration cruciale, car elle permet la d´efinition d’une proc´edure explicite d’approximation et de r´egularisation.
Th´eor`eme 5.4.5 Soient ϕ une fonction de L1(Rd) d’int´egrale 1 et p un r´eel sup´erieur ou
´egal `a 1. Posons
ϕε(x) =ε−dϕ x
ε
· On a alors, pour toute fonctionf appartenant `aLp,
ε→0limkϕε? f−fkLp = 0.
Remarque importante Ce th´eor`eme ne s’applique pas pour p= +∞.
Exercice 5.4.1 Consid´erer pour f la fonction de Heavyside H (la fonction caract´erisique des r´eels positifs) et pourϕ une fonction continue `a support compact, paire et d’int´egrale 1.
D´emontrer alors que la famille kϕε? f−fkLp ne tend pas vers0 lorsqueεtend vers0.
D´emonstration du th´eor`eme 5.4.5 Soientf une fonction de Lp et η un r´eel strictement positif. Il existe deux fonctionsg etψ continues `a support compact telles que
kf−gkLp < η 8kϕkL1
et kϕ−ψkL1 < η 8kgkLp+ 1·
Comme la fonctionϕ, donc aussi la fonctionϕε, est d’int´egrale 1, on peut ´ecrire que ϕε? f −f = ϕε? f −
Mais, par d´efinition de la convolution, on a, grˆace `a un changement de variables, (ψε? g)(x)−
On en d´eduit imm´ediatement que
|(ψε? g)(x)−
La fonctiong est uniform´ement continue, donc, pour toutη, il existe unα strictement positif tel que
Comme nous allons le voir, cette propri´et´e est extrˆemement importante pour la r´ egulari-sation des fonctions. En effet, le th´eor`eme de d´erivation sous l’int´egrale assure que si ϕ est une fonction ind´efiniment diff´erentiable `a support compact, alors la fonctionϕε? f l’est aussi.
Ainsi l’on aura approxim´e toute fonction de Lp, pour p r´eel, par une fonction ind´efiniment diff´erentiable `a support compact. L’existence de telles fonctions doit ˆetre d´emontr´ee.
Proposition 5.4.1 Soit f la fonction deR dansR d´efinie par
f(x) =ex(x−1)1 si x∈[0,1] et f(x) = 0 sinon.
Cette fonction est ind´efiniment diff´erentiable `a support compact.
D´emonstration de la proposition 5.4.5 Il suffit d’observer que f(k)(x) = Pk(x)
xk+1(1−x)k+1e
1 x(x−1),
o`uPk est un polynˆome de degr´eδk. Les d´etails sont laiss´es en exercice.
Remarque Les familles (ϕε) sont appel´ees suites r´egularisantes ou bien approximations de l’identit´e.
Corollaire 5.4.1 Soient Ω un ouvert de Rd, on d´esigne par D(Ω) l’ensemble des fonctions ind´efiniment diff´erentiables et `a support compact inclus dans Ω. L’espaceD(Ω)est diff´erent de {0}.
D´emonstration du corollaire 5.4.1 Il suffit pour cela de consid´erer ϕ(x) = f(|x|) o`u f est la fonction d´efinie dans la proposition 5.4.1 ci-dessus et de faire une translation et une homoth´etie.
Corollaire 5.4.2 Pour tout r´eelp≤1, l’espaceD(Rd)est dense dans Lp
D´emonstration du corollaire 5.4.2 D’apr`es le corollaire 5.4.1 il existe une fonction ϕ ind´efiniment diff´erentiable `a support compact d’int´egrale 1. Consid´erons la famille (ϕε)
ϕε(x) =ε−dϕ x
ε
·
Consid´erons alors une fonction f de Lp. On peut trouver une fonction g de Lp `a support compact telle g soit arbitrairement proche def dansLp. posons
gε=ϕε? g.
D’apr`es la proposition 5.4.4, la fonctiongε est `a support compact. Comme la fonctionϕ, donc aussi la fonctionϕε est ind´efiniment diff´erentiable, le th´eor`eme de d´erivation sous l’int´egrale assuregε est ind´efiniment diff´erentiable `a support compact. D’o`u le corollaire.
Corollaire 5.4.3 Pour tout r´eelp, l’espaceD(Ω)est dense dansLp(Ω).
D´emonstration du corollaire 5.4.3 Soit (Kn)n∈N une suite de exhaustive de compacts (voir la d´efinition 1.5.1 page 29). On pose alors fnd´ef
= 1Knf. D’apr`es le th´eor`eme 5.1.3, on a
n→∞lim kfn−fkLp(Ω)= 0.
Posons alors fn,ε d´=ef ϕε? fn. Cette fonction est ind´efiniment diff´erentiable. De plus, son support est le compact Kn+B(0, ε), c’est-`a-dire l’ensemble des points `a distance au plus ε de Kn. D’apr`es la proposition 1.5.1 page 28, pour ε≤εn, alors le compact Kn+B(0, ε) est inclus dans Ω. D’o`u le corollaire.
Corollaire 5.4.4 Soit K un compact d’un ouvertΩde Rd; il existe une fonction ψde D(Ω) telle que ψvaille 1au voisinage de K.
D´emonstration du corrolaire 5.4.4 Soit δ un r´eel strictement positif tel que, si Krdef= {x∈Ω/ d(x, K)≤2r},
alors K2δ soit inclus dans Ω. (Un tel r´eel existe d’apr`es le th´eor`eme 1.5.1 page 28). On consid`ere alors une approximation de l’identit´e (ϕε)ε et l’on pose
ψε(x)def= ϕε?1Kδ(x) = Z
Kδ
ϕε(x−y)dy.
Il existe une constanteC telle que
x6∈Kδ+B(0, Cε) =⇒ϕε?1Kδ(x) = 0.
Donc, si Cε < δ, alors ψε ∈ D(Ω) car K2δ ⊂ Ω. Enfin, si x ∈ Kδ−Cε (qui est non vide puisqueδ < Cε), alors, pour touty∈Bx,Cε,y∈Kδ. Ainso donc
ϕε?1Kδ(x) = Z
Kδ
ϕε(x−y)dy
= Z
Rd
ϕε(x−y)dy
= 1.
D’o`u le corollaire.