Op´ erations sur les distributions temp´ er´ ees

Comme lors du chapitre 8, nous allons d´efinir un certain nombre d’op´erations lin´eaires con-tinues sur les fonctions de S, puis nous ´etendrons ces op´erations par dualit´e sur l’espaceS⁰. Commen¸cons par ce qui a motiv´e la construction pr´ec´edente, `a savoir la d´efinition de la transformation de Fourier.

Proposition 10.3.1 SoitT une distribution temp´er´ee. La forme lin´eaire d´efinie par ( S(R^d) → C

φ 7→ hT,φi^b est une distribution temp´er´ee.

D´emonstration de la propostion 10.3.1 Par d´efinition d’une distribution temp´er´ee, il existe un entierk et une constanteC telle que

∀θ∈ S(R^d), |hT, θi| ≤Ckθk_k,S. (10.3) Le th´eor`eme 10.1.1 dit que, pour tout entier k, il existe un entierk⁰ et une constante C telle que

∀φ∈ S, kφk^b _k,S ≤Ckφk_k⁰_,S. L’in´egalit´e (10.3) appliqu´ee avec θ=φ^bimplique alors que

∀φ∈ S(R^d), |hT, θi| ≤Ckφk_k⁰_,S, ce qui d´emontre la proposition.

On peut maintenant d´efinir la notion de transform´ee de Fourier d’une distribution temp´er´ee.

D´efinition 10.3.1 SoitT un ´el´ement deS⁰(R^d). On appelle transform´ee de Fourier deT la distribution temp´er´ee d´efinie par

( S(R^d) → C φ 7→ hT,φib La transform´ee de Fourier de T est not´eeF(T) ou bienT^b.

Comme dans le cas de la d´efinition de la d´erivation d’une distribution, nous devons v´erifier que cela g´en´eralise bien la d´efinition de la transform´ee de Fourier donn´ee au chapitre 6. Soitf une fonction deL¹(R^d). Grˆace au th´eor`eme de Fubini, on a, pour toute fonctionφdeS(R^d),

Z

R^d

fb(x)φ(x)dx = Z

R^d×R^d

e^−i(x|y)f(y)φ(x)dxdy

= Z

R^d

f(y)φ(y)dy.^b

Donc la d´efinition de la transformation de Fourier donn´ee ici co¨ıncide bien avec celle donn´ee au chapitre 6 pour les fonctions deL¹.

Nous avons aussi d´efini la transformation de Fourier sur L² par prolongement continu de L¹ ∩L² `a L². Il suffit donc de v´erifier que notre d´efinition au sens des distributions,

restreinte `a l’espace L², d´efinit une application lin´eaire continue de L² dans L². On peut

´ecrire que, pour toute distributionu dansL² et pour toute fonctionφ dansS, on a

|hu, φi| ≤ |hu,_b φi|b

= Z

R^d

u(x)φ(x)dx^b

≤ kuk_L2kφkb _L2. Le th´eor`eme de Fourier-Plancherel 6.2.2 affirme que

kφk^b _L2 = (2π)^d2kφk_L2. D’o`u il r´esulte que

|hu, φi| ≤_b (2π)^d2kφk_L2.

Ainsi donc la distribution temp´er´eeu_bpeut se prolonger en une forme lin´eaire continue surL². On peut donc l’identifier `a une fonction de L². La transformation de Fourier co¨ıncidant sur l’espaceL¹ donc en particulier sur l’espaceL¹∩L²qui est dense dansL², toutes les d´efinitions co¨ıncident.

Comme dans le cas des op´erations sur les distributions, ce que nous venons de faire est un cas particulier d’une m´ethode g´en´erale. Nous allons ´etablir maintenant un th´eor`eme qui est, dans le cadre des distributions temp´er´ees, l’analogue du th´eor`eme de dualit´e 8.2.1 page 113.

Th´eor`eme 10.3.1 SoitAune application lin´eaire deS(R^d) dansS(R^d) telle que, pour tout entier k, il existe un entierk⁰ et une constanteC telle que

∀φ∈ S(R^d), kAφk_k,S ≤Ckφk_k⁰_,S. Alors l’application lin´eaire^tA

tA

( S⁰(R^d) → S⁰(R^d)

T 7→ ^tAT d´efinie par h^tAT, φi=hT, Aφi.

est bien d´efinie. De plus, elle est continue au sens suivant: si (Tn)n∈N est une suite de dis-tributions temp´er´ees qui converge vers une distribution temp´er´eeT, alors la suite(^tATn)n∈N

converge vers^tAT.

D´emonstration du th´eor`eme 10.3.1 Par d´efinition des distributions temp´er´ees, il existe un entierk et une constanteC telle que

∀θ∈ S(R^d), |hT, θi| ≤Ckθk_k,S. En appliquant cette in´egalit´e avec θ=Aφ, on trouve que

∀φ∈ S(R^d), |hT, Aφi| ≤CkAφk_k,S.

Par hypoth`ese sur l’application lin´eaireA, il existe un entierk⁰ et une constanteC telle que

∀φ∈ S(R^d), kAφk_k,S ≤Ckφk_k⁰_,S. Ainsi donc, on a

∀φ∈ S(R^d), |hT, Aφi| ≤Ckφk_k⁰_,S.

La forme lin´eaireφ7→ hT, Aφiest donc bien une distribution temp´er´ee. De plus, soit (Tn)n∈N

est une suite de distributions temp´er´ees convergeant vers T au sens de la d´efinition 10.2.3.

Par d´efinition de la convergence, ceci signifie que, pour toute fonctionθ de S(R^d), limn∞hT_n, θi=hT, θi.

En appliquant cela avecθ=Aφ, on trouve que

∀φ∈ S(R^d), lim

n∞h^tATn, φi=h^tAT,φi.

D’o`u le th´eor`eme.

Comme dans le chapitre 8, nous allons donner une liste d’op´erations sur S que nous

´etendrons bien sˆur `a S(R^d). Tout d’abord, d´efinissons l’espaces suivant.

D´efinition 10.3.2 On appelle espace des fonctions `a croissance mod´er´ee (ou lente) et l’on d´esigne parO_M l’espace des fonctionsf ind´efiniment diff´erentiables surR^d telles que

∀k∈N, ∃N ∈N, ∃C∈R⁺ / sup

|α|=k

|∂^αf(x)| ≤(1 +|x|)^N.

On d´esigne parL¹_S l’espace des fonctions localement int´egrables telles que, pour tout entierN, la fonction(1 +|x|)^Nf(x) soit dansL¹.

Les polynˆomes sont d’excellents exemples de fonctions de O_M. Les fonctions localement int´egrables d´ecroissant `a l’infini plus vite que toute puissance n´egative de|x|sont d’excellents exemples de fonctions de L¹_S.

Proposition 10.3.2 Les applications lin´eaires suivantes satisfont aux hypoth`eses du th´ eo-r`eme 10.3.1

• l’application∂^α;

• sif d´esigne une fonction de O_M, l’applicationM_f d´esigne la multiplication par f;

• sif d´esigne une fonction deL¹_M, l’application f ?d´esigne la convolution par f, c’est-` a-dire que

f ? φ(x)^d´=^ef Z

R^d

f(y)φ(x−y)dy;

D´emonstration de la proposition 10.3.2 Par d´efinition des normesk·k_k,S, il est imm´ediat que

k∂^αφk_k,S ≤Ckφk_k+α,S.

Pour la continuit´e de la multiplication, il suffit d’appliquer la formule de Leinitz qui dit que

∂^α(f φ) = ^X

β≤α

C_α^β∂^α−βf ∂^βφ.

Comme la fonctionf appartient `a O_M, il existe un entierN tel que, pour tout multientier γ de longueur plus petite quek, on ait

∀x∈R^d, |∂^γf(x)| ≤C(1 +|x|)^N.

On en d´eduit alors que

k∂^α(f φ)(x)kk,S ≤Ckφkk+N,S.

Etudions maintenant la convolution. Par d´´ erivation sous le signe somme, on a

∂^α(f ? φ)(x) = Z

R^d

f(y)∂^αφ(x−y)dy.

De plus, on a (1 +|x|)^k≤2^k(1 +|x−y|)^k+ (1 +|y|)^k. Ainsi donc, on peut ´ecrire que (1 +|x|)^k|∂^α(f ? φ)(x)| ≤2^k

Z

R^d

|f(y)|(1 +|x−y|)^k|∂^αφ(x−y)|dy + 2^k

Z

R^d

(1 +|y|)^k|f(y)| |∂^αφ(x−y)|dy.

On en d´eduit alors que

kf ? φk_k,S≤Ck(1 +| · |)^kfk_L1kφk_k,S.

D’o`u la continuit´e de la convolution et ainsi la proposition puisque la continuit´e de la trans-form´ee de Fourier fait l’objet du th´eor`eme 10.1.1 page 141.

Nous allons maintenant, comme lors du chapitre 8, ´etendre ces op´erations `a l’espaceS<sup>0</sup> en utilisant le th´eor`eme 10.3.1.

D´efinition 10.3.3 On d´efinit les op´erations suivantes sur S⁰:

• On d´efinit la d´erivation par

∂^{α d´}=^eft((−∂)^α) ;

• on d´efinit la multiplication par une fonction de O_M par^tM_f;

• on d´efinit la convolution par une fonctionf deL¹_S par f ? ^d´=^eft( ˇf ?·) ;

La v´erification du fait que l’on ´etend bien les notions usuelles est sans surprise et laiss´ee au lecteur.

Nous allons maintenant ´etendre aux distributions temp´er´ees les diverses formules sur la transformation de Fourier d´emontr´ees dans le cadre de la transformation de Fourier sur S.

Th´eor`eme 10.3.2 (d’inversion de Fourier) Pour toute distribution temp´er´eeT, on a F⁻¹T = (2π)^−d(FTˇ ).

D´emonstration du th´eor`eme 10.3.2 Ecrivons que´ hF⁻¹T, φi=hT,F⁻¹φi.

D’apr`es le th´eor`eme 6.2.1 d’inversion de Fourier, on a F⁻¹φ= (2π)^−d(Fφ).ˇ

Or, on peut ´ecrire, grˆace au changement de variablex=−x, que ˇ

φ(ξ)b ^d´=^ef Z

R^d

e^i(x|ξ)φ(x)dx

= Z

R^d

e^i(−x|ξ)φ(−x)dx

= Z

R^d

e^−i(x|ξ)φ(−x)dx

= φ(ξ).^bˇ D’o`u il r´esulte que

hF⁻¹T, φi = (2π)^−dhT,F( ˇφ)i

= (2π)^−dhT ,^b φiˇ

= (2π)^−dhˇ T , φi.b D’o`u le th´eor`eme.

Proposition 10.3.3 SoitT une distribution temp´er´ee. On a alors F(D^αT) =ξ^αT^b et F(x^αT) = (−D)^αT .b

D´emonstration de la proposition 10.3.3 On utilise la proposition 10.1.1. Par d´efinition, hF(D^αT), φi = hD^αT,φi^b

= hT,(−D)^αφi.b La proposition 10.1.1 nous dit que

(−D)^αφb=F(x^αφ).

D’o`u il r´esulte que

hF(D^αT), φi = hT,F(x^αφ)i

= hT ,b (x^αφ)i

= hξ^αT , φi.b

D’o`u la proposition, la d´emonstration de la seconde relation, strictement analogue, est laiss´ee au lecteur.

Proposition 10.3.4 SoitT une distribution temp´er´ee etθ une fonction deS. Alors F(T ? θ) =θbT^b

D´emonstration de la propostion 10.3.4 Par d´efinition de la transform´ee de Fourier et de la convolution, on a, pour toute fonction φde S,

hF(T ? θ), φi = hT ? θ,φi^b

= hT,θ ?ˇ φi^b

= hT ,b F⁻¹(ˇθ ?φ)i.^b

D’apr`es la formule d’inversion de Fourier et la formule de calcul de la transform´ee de Fourier pour la convolu´ee des fonctions (voir Proposition 6.1.1 page 92), on a

F⁻¹(ˇθ ?φ)(ξ)^b = (2π)^−dF(ˇθ ?φ)(−ξ)^b

= (2π)^−d Z

R^d×R^d

e^i(x|ξ)θ(y−x)f^b(y)dydx

= (2π)^−d Z

R^d×R^d

e^{−i(y−x|ξ)}θ(y−x)e^i(y|ξ)f^b(y)dydx

= θ(ξ)F^{b −1}(φ)(ξ)^b

= θ(ξ)φ(ξ).^b

Par d´efinition de la multiplication, on en d´eduit que

hF(T ? θ), φi=hT ,^b θφi^b =hθ^bT , φi.^b D’o`u la proposition.

A FAIRE:` S⁰?E⁰

Ces relations sont extrˆemement importantes dans les calculs pratiques de transform´ee de Fourier. Par exemple, calculons la transform´ee de Fourier de la masse de Dirac δ₀. Par d´efinition de la transformation de Fourier, on a

hbδ₀, φi = hδ₀,φi^b

= φ(0)^b

= Z

R^d

φ(x)dx.

Ceci signifie exactement que

δb₀ = 1. (10.4)

De ceci et du th´eor`eme d’inversion de Fourier 10.3.2, on d´eduit que

F(1) = (2π)^dδ₀. (10.5)

Dans le document Le cours de Jean-Yves Chemin (Page 145-150)