La relation de Pythagore re¸coit la g´en´eralisation suivante.
Th´eor`eme 4.2.1 Soit (xn)n∈N une suite d’´el´ements deux `a deux orthogonaux d’un espace de HilbertH. La s´erie X
n
xn converge si et seulement si la s´erie X
n
xp. La relation de Pythagore dit que
X
p≤q
kxpk2=kSqk2. (4.1)
Le membre de droite de l’in´egalit´e ci-dessus converge donc est major´e ind´ependemment deq.
Donc la s´erie X
n
kxnk2 converge. R´eciproquement, si la s´erie X
n
En passant `a la limite dans l’in´egalit´e (4.1) ci-dessus, on ach`eve la d´emonstration du th´eor`eme.
Exercice 4.2.1 Soit (xn)n∈N une suite d’´el´ements d’un espace de HilbertH telle que orthogo-naux. D´emontrez qu’alors la s´erie Pnxn est convergente et qu’il existe une constante C, ne d´ependant que deN0 telle que l’on ait
Beaucoup des propri´et´es remarquables des espaces de Hilbert repose sur le th´eor`eme de projection sur les convexes.
Th´eor`eme 4.2.2 (de projection sur un convexe ferm´e) Soit Γ une partie convexe fer-m´ee d’un espace de Hilbert H. Pour tout point x de H, il existe un unique point de Γ, not´e pΓ(x) et appel´e projection de xsur Γ, tel que
kx−pΓ(x)k= inf
g∈Γkx−gk.
D´emonstration du th´eor`eme 4.2.2 D´emontrons tout d’abord l’unicit´e. Supposons qu’il existe deux pointsγ1 etγ2 de Γ r´ealisant le minimum. D’apr`es la relation de la m´ediane, on a
D´emontrons maintenant l’existence. Par d´efinition de la borne inf´erieure, il existe une suite (γn)n∈N d’´el´ements de Γ telle
n→∞lim kx−γnk=dd´= infef
γ∈Γkx−γk.
On utilise `a nouveau la relation de la m´ediane pour dire que, pour tout couple d’entiers (n, m), on a
Vu la d´efinition de la suite (γn)n∈N, ceci implique que cette suite est de Cauchy. L’espaceH
´etant de Hilbert, il est complet. Comme la partie Γ est ferm´ee, elle est compl`ete et donc la suite (γn)n∈N converge dans Γ, ce qui conclut la d´emonstration de ce th´eor`eme.
Exercice 4.2.2 Soient Γune partie convexe ferm´ee etx un point d’un espace de Hilbert H.
D´emontrez que pΓ(x) est l’unique point deΓ tel que, pour tout pointγ de Γ, on ait
<e(x−γ|pΓ(x)−γ)≥0.
Exercice 4.2.3 Soit Γune partie convexe ferm´ee d’un espace de HilbertH. D´emontrez que l’applicationpΓ est lipschitzienne de rapport1.
Presque toutes les propri´et´es des espaces de Hilbert peuvent ˆetre vues comme des corol-laires du th´eor`eme 4.2.2 ci-dessus.
Corollaire 4.2.1 SoitF un sous-espace vectoriel ferm´e d’un espace de HilbertH. On a alors H=F⊕F⊥ et x=pF(x) +pF⊥(x).
D´emonstration du corollaire 4.2.1 Consid´erons un ´el´ement x quelconque de H. Pour tout pointf de F, et pour tout r´eel λ, on a
kx−pF(x) +λfk2 =λ2kfk2+ 2λ<e(x−pF(x)|f) +kx−pF(x)k2. Par d´efinition de la projection, il faut que
kx−pF(x) +λfk2 ≥ kx−pF(x)k2. Ceci impose donc que, pour toutf appartenant `a F, on ait
<e(x−pF(x)|f) = 0.
SiK=R, il n’y a rien de plus `a dire. SiK=C, il suffit de changerf en if pour obtenir que x−pF(x)∈F⊥.
Nous venons donc de d´emontrer que H =F +F⊥. Mais, si x ∈F ∩F⊥, alors (x|x) = 0 et doncx= 0. Le corollaire est ainsi d´emontr´e.
Corollaire 4.2.2 SoitAune partie quelconque d’un espace de Hilbert H. Cette partieAest totale si et seulement siA⊥ ={0}.
D´emontration du corollaire 4.2.2 Utilisons l’exercice 4.1.2 qui dit queA⊥= (Vect(A))⊥. SiA⊥={0}, cela signifie, d’apr`es le corollaire 4.2.1, que Vect(A) est ´egal `a H, ce qui signifie exactement que la partieA est totale.
R´eciproquement, si la partieA est totale, alors Vect(A) est ´egal `a H, d’o`uA⊥ ={0}.
Exercice 4.2.4 Soit Aune partie quelconque d’un espace de Hilbert H. D´emontrez que (A⊥)⊥ = Vect(A).
D´efinition 4.2.1 Soit H un espace de Hilbert s´eparable de dimension infinie. On appelle base hilbertienne ou base orthonormale de H toute suite (en)n∈N d’´el´ements de H qui est totale et telle que
(en|em) =δn,m avec δn,m = 1 si n=m et 0 sinon. (4.2) Remarque Une base hilbertienne n’est pas une base alg´ebrique.
Exercice 4.2.5 On consid`ere l’espace`2(N)la suite(en)n∈N d’´el´ements de`2(N)d´efinie par en(k) =δn,k.
D´emontrer que (en)n∈N est une base hilbertienne de `2(N). Quel est l’espace vectoriel en-gendr´e par lesen?
Th´eor`eme 4.2.3 Dans un espace de Hilbert s´eparable H, il existe des bases hilbertiennes.
D´emontration du th´eor`eme 4.2.3 Consid´erons une partie d´enombrable totale (an)n∈N. On peut supposer, quitte `a extraire une sous-suite, que la famille (an)n∈N est libre (au sens de l’alg`ebre lin´eaire). En effet, on d´efinit la fonction d’extraction suivante par φ(0) = min
φ(0) = min{n / an6= 0} et ϕ(n) = minnm≥φ(n) + 1/ am 6∈ ha1, aφ(n)io.
C’est un exercice laiss´e au lecteur que de v´erifier que l’espace vectoriel engendr´e paraφ(n) est
´egal `a celui engendr´e par lesan. Nous allons maintenant utiliser le proc´ec´e d’orthogonalisation de Schmidt. Rappelons ce proc´ed´e. On pose
e1= a1
ka1k·
Supposons d´efinis les termes (ej)1≤j≤n v´erifiant la relation (4.2) et telle que Vect{a1,· · ·, an}= Vect{e1,· · ·, en}.
Posons
en+1 = fn+1
kfn+1k avec fn+1 =an+1−
n
X
j=1
(an+1|ej)ej.
La v´erification des relations (4.2) est imm´ediate. Le th´eor`eme est ainsi d´emontr´e.
Th´eor`eme 4.2.4 Soit H un espace de Hilbert s´eparable et (en)n∈N une base hilberitienne de H. L’applicationI d´efinie par
( H → `2(N) x 7→ ((x|en))n∈N
est une bijection lin´eaire isom´etrique. Ceci contient en particulier les identit´es dites de Bessel et Parseval
x= X
n∈N
(x|en)en et kxk2 = X
n∈N
|(x|en)|2.
D´emonstration du th´eor`eme 4.2.4 Son point principal est le fait que l’application I envoie bienHdans`2(N). Pour le prouver, posons
xqd´=efX
p≤q
(x|ep)ep.
Il est clair que
(x|xq) = X
p≤q
(x|ep)(x|ep)
= X
p≤q
|(x|ep)|2
= (xq|xq).
L’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz affirme quekxqk2 ≤ kxk × kxqk. On en d´eduit que, pour tout entier q, on a
q
X
p=0
|(x|ep)|2 ≤ kxk2. DoncI(x) appartient `a `2(N).
L’injectivit´e de l’application I r´esulte simplement du corollaire 4.2.2 qui affirme que l’orthogonal d’une partie totale est r´eduit `a 0. La surjectivit´e et le fait queI est une isom´etrie est exactement le th´eor`eme 4.2.1. Le th´eor`eme 4.2.3 est ainsi d´emontr´e.
On peut donner comme application de l’existence de base hilbertienne le th´eor`eme suivant.
Th´eor`eme 4.2.5 (de caract´erisation des op´erateurs compacts) Soit H un espace de Hilbert. Un op´erateur lin´eaire continu est compact si et seulement si il est limite dansL(H) d’op´erateurs de rang fini.
D´emonstration du th´eor`eme 4.2.5 D’apr`es le th´eor`eme 2.4.2, on sait que toute limite d’op´erateurs compacts est un op´erateur compact. R´eciproquement, soit Aun op´erateur com-pact. L’image par A de la boule unit´e de H, not´ee A(B) est une partie totale de ImA.
Comme l’adh´erence de A(B) est compacte, il existe une suite (yn)n∈N d´el´ements de A(B) qui est dense dans A(B). Cette famille est totale dans l’espaceH0 d´= Imef A est un espace de Hilbert s´eparable. Il admet donc une base hilbertienne. D´esignons parpnla projection orthog-onale sur l’espace engendr´e par les npremiers vecteurs de cette base. Nous allons d´emontrer que la suite des op´erateursAnd´=efpn◦A(qui sont ´evidemment de rang fini) converge versA.
Soit ε un r´eel strictement positif. L’op´erateur A ´etant compact, il existe une famille finie (xj)1≤j≤Nε telle que
∀x∈B , ∃j ∈ {1,· · ·, Nε}/kAx−Axjk< ε 3· Donc, pour toutx appartenant `a la boule unit´e, on a
kAnx−Axk ≤ sup
1≤j≤Nε
kAnxj−Axjk+2ε 3 · Mais, pour tout indicej, lim
n→∞pn(Axj) =Axj. Donc, il existe un entiern0 tel que n≥n0 ⇒ sup
1≤j≤Nε
kAnxj −Axjk< ε 3· Ainsi, il existe un entiern0 tel que
n≥n0⇒ sup
kxk≤1
kAnx−Axk< ε.
Le th´eor`eme est ainsi d´emontr´e.
Exercice 4.2.6 SoientHun espace de Hilbert complexe, s´eparable, de dimension infinie etK un compact de C. D´emontrez qu’il existe un ´el´ement A de L(H) tel queSp(A) =K.