Les types de tâches et les techniques des trois praxéologies locales de référence

Pour chaque OM locale, Pilet (2012) définit les principaux genres de tâches constitutifs et distingue les différents types de tâches. Ces éléments seront utilisés dans nos analyses de ce qui est proposé aux élèves pour leur apprentissage de l’algèbre.

Faculté des sciences de l’éducation-U.S.J. 59 Les tableaux ci-dessous présentent les genres et les types de tâches, par praxéologie locale :

Tableau 2.1 – Les types de tâches constitutifs de l’OM1 (Pilet, 2012, p. 81

Genres Types de tâches 𝑇_𝑃

Produire¹⁴

𝑇_{𝑃−𝐸𝑥𝑝−𝐸𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑐𝑒−𝑃𝐶} Deux programmes de calcul sont-ils équivalents. 𝑇_{𝑃−𝐸𝑥𝑝−𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑡−𝑃𝐶} Prouver le résultat d’un programme de calcul. 𝑇_𝑇

Traduire

𝑇_{𝑇−𝐸𝑥𝑝→𝑃𝑟𝑜𝑔} Traduire une expression algébrique par un programme de calcul.

𝑇_{𝑇−𝑃𝑟𝑜𝑔→𝐸𝑥𝑝} Traduire un programme de calcul par une expression

algébrique.

𝑇_{𝑇−𝐿𝑔𝑁𝑎𝑡→𝐸𝑥𝑝} Traduire une expression algébrique dans le langage naturel. 𝑇_{𝑇−𝐸𝑥𝑝→𝐿𝑔𝑁𝑎𝑡}Traduire une expression donnée en langage naturel par une expression algébrique.

𝑇_{𝑇−𝐸𝑥𝑝→𝐿𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟}, 𝑇_{𝑇−𝐸𝑥𝑝→𝑃𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑒}, 𝑇_{𝑇−𝐸𝑥𝑝→𝐴𝑖𝑟𝑒}, 𝑇_{𝑇−𝐸𝑥𝑝→𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒}, 𝑇_{𝑇−𝐸𝑥𝑝→𝐴𝑛𝑔𝑙𝑒} Traduire une expression algébrique comme, respectivement, la longueur d’un segment ou d’un arc de cercle, le périmètre, l’aire d’une figure, le volume d’un solide, la mesure d’un angle.

𝑇_{𝑇−𝐿𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟→𝐸𝑥𝑝}, 𝑇_{𝑇−𝑃𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑒→𝐸𝑥𝑝}, 𝑇_{𝑇−𝐴𝑖𝑟𝑒→𝐸𝑥𝑝}, 𝑇_{𝑇−𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒→𝐸𝑥𝑝}, 𝑇_{𝑇−𝐴𝑛𝑔𝑙𝑒→𝐸𝑥𝑝} Traduire, respectivement, la longueur d’un segment ou d’un arc de cercle, le périmètre, l’aire d’une figure, le volume d’un solide, la mesure d’un angle par une expression algébrique.

𝑇_{𝑇−𝑅𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛→𝐹𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑒} Traduire une relation entre deux grandeurs ou deux quantités par une formule.

𝑇_{𝑇−𝐹𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑒→𝑅𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛} Traduire une formule par une relation entre deux grandeurs ou deux quantités.

𝑇_{𝑇−𝑃𝑡𝑒𝑎𝑟𝑖→𝐸𝑥𝑝} Traduire une propriété d’un nombre par une expression algébrique.

𝑇_{𝑇−𝐸𝑥𝑝→𝑃𝑡𝑒𝑎𝑟𝑖} Traduire une expression algébrique comme la propriété d’un nombre.

𝑇_{𝑇−𝐴𝑟𝑏𝑟𝑒→𝐸𝑥𝑝} Traduire un arbre par une expression algébrique. 𝑇_{𝑇−𝐸𝑥𝑝→𝐴𝑟𝑏𝑟𝑒} Traduire une expression algébrique par un arbre. 𝑇_𝐴

Associer¹⁵

𝑇_{𝐴−𝐸𝑥𝑝−𝐿𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟}, 𝑇_{𝐴−𝐸𝑥𝑝−𝑃𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑒}, 𝑇_{𝐴−𝐸𝑥𝑝−𝐴𝑖𝑟𝑒}, 𝑇_{𝐴−𝐸𝑥𝑝−𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒}, 𝑇_{𝐴−𝐸𝑥𝑝−𝐴𝑛𝑔𝑙𝑒} Associer une expression algébrique à, respectivement, une longueur d’un segment ou d’un arc de cercle, un périmètre, une aire d’une figure, un volume de solide, la mesure d’un angle et inversement.

𝑇_{𝐴−𝐸𝑥𝑝−𝑃𝑟𝑜𝑔} Associer une expression algébrique à un programme de calcul et inversement (aspect procédural).

𝑇_{𝐴−𝐸𝑥𝑝−𝐿𝑔𝑁𝑎𝑡} Associer une expression algébrique à une phrase en langage naturel et inversement (aspect structural).

𝑇_{𝐴−𝑅𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛→𝐹𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑒} Associer une relation entre deux grandeurs ou deux quantités à une formule et inversement.

14 Dans la production d’une expression algébrique, l’introduction de la lettre est à la charge de l’élève, ce qui n’est pas le cas dans la traduction.

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Tableau 2.2 – Les types de tâches constitutifs de l’OM2 (Pilet, 2012, p. 82)

Genres Types de tâches

𝑇_{𝑃𝑟𝑜𝑢𝑣𝑒𝑟−𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣} Prouver

𝑇_{𝑃𝑟𝑜𝑢𝑣𝑒𝑟−𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣} Prouver que deux expressions algébriques (ne) sont (pas) égales pour toute valeur.

𝑇_{𝑇𝑒𝑠𝑡𝑒𝑟} Tester l’égalité de deux expressions

𝑇_{𝑇𝑒𝑠𝑡𝑒𝑟} Tester l’égalité de deux expressions d’une ou de plusieurs variables.

𝑇_{𝑆𝑡𝑟𝑢𝑐𝑡𝑢𝑟𝑒} Identifier la structure

𝑇_{𝑆𝑡𝑟𝑢𝑐𝑡𝑢𝑟𝑒−𝑠𝑜𝑚} Identifier une somme algébrique de termes. 𝑇_{𝑆𝑡𝑟𝑢𝑐𝑡𝑢𝑟𝑒−𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑖𝑡} Identifier un produit de facteurs.

𝑇_{𝑆𝑡𝑟𝑢𝑐𝑡𝑢𝑟𝑒−𝑐𝑎𝑟𝑟𝑒} Identifier un carré. 𝑇_{𝑆𝑡𝑟𝑢𝑐𝑡𝑢𝑟𝑒−𝑐𝑢𝑏𝑒} Identifier un cube. 𝑇_{𝐶ℎ𝑜𝑖𝑠𝑖𝑟}

Choisir Choisir l’expression la plus adaptée en fonction du but visé. 𝑇_{𝐴𝑠𝑠𝑜𝑐𝑖𝑒𝑟}

Associer 𝑇_{𝐴𝑠𝑠𝑜𝑐𝑖𝑒𝑟} Associer deux expressions égales pour tout x.

Tableau 2.3 – Les types de tâches constitutifs de l’OM3 (Pilet, 2012, p. 87)

Genres Types de tâches 𝑇_𝐷

Développer

𝑇_{𝐷𝐷𝑆−𝑚𝑜𝑛×𝑠𝑜𝑚} Développer un produit de deux facteurs avec la distributivité simple de la multiplication sur l’addition.

𝑇_{𝐷𝐷𝑆−𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟×𝑠𝑜𝑚} Développer une expression en appliquant la distributivité simple de la multiplication sur l’addition 𝑘(𝑎 + 𝑏) = 𝑘𝑎 + 𝑘𝑏 où 𝑘 ∈ 𝐼𝑅. 𝑇_{𝐷𝐷𝐷−𝑠𝑜𝑚×𝑠𝑜𝑚} Développer un produit de deux facteurs avec la double distributivité de la multiplication sur l’addition.

𝑇_{𝐷𝐼𝑅−𝑠𝑜𝑚×𝑑𝑖𝑓𝑓}Développer un produit de deux facteurs du type (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏).

𝑇_{𝐷𝐼𝑅−𝑐𝑎𝑟} Développer un carré. 𝑇_𝐹

Factoriser

𝑇_𝐹𝐴 Factoriser une somme algébrique dans laquelle le facteur commun est apparent dans tous les termes.

- 𝑇_{𝐹𝐴/𝑚𝑜𝑛} Factoriser une somme algébrique dans laquelle le facteur commun est un monôme, apparent dans tous les termes.

- 𝑇_{𝐹𝐴/𝑠𝑜𝑚} Factoriser une somme algébrique dans laquelle le facteur commun est une somme, apparent dans tous les termes.

𝑇_{𝐹𝐴−𝑚𝑜𝑛+𝑚𝑜𝑛} Factoriser une somme de monômes de même degré pour en

donner la forme réduite.

𝑇_𝐹𝐴∗ Factoriser une somme algébrique dans laquelle le facteur commun est apparent dans un des termes.

- 𝑇_𝐹𝐴∗/𝑚𝑜𝑛 Factoriser une somme algébrique dans laquelle le facteur commun est un monôme, apparent dans un des termes.

- 𝑇_𝐹𝐴∗/𝑠𝑜𝑚 Factoriser une somme algébrique dans laquelle le facteur commun est une somme, apparent dans un des termes.

𝑇_𝐹𝑁𝐴 Factoriser une somme algébrique dans laquelle le facteur commun n’est pas apparent.

- 𝑇_{𝐹𝑁𝐴/𝑚𝑜𝑛} Factoriser une somme algébrique dans laquelle le facteur commun est un monôme, non apparent.

Faculté des sciences de l’éducation-U.S.J. 61 - 𝑇_{𝐹𝑁𝐴/𝑠𝑜𝑚} Factoriser une somme algébrique dans laquelle le facteur

commun est une somme non apparent.

𝑇_{𝐹𝐼𝑅−𝑑𝑖𝑓𝑓} Factoriser une différence de deux carrés.

𝑇_{𝐹𝐼𝑅−𝑠𝑜𝑚} Factoriser une somme algébrique de trois termes du type 𝑎²± 2𝑎𝑏 + 𝑏².

𝑇_𝑅 Réécrire un monôme

𝑇_{𝑅−𝑐𝑎𝑟𝑟é} Réécrire un monôme sous la forme d’un carré.

𝑇_{𝑅−𝑐𝑎𝑛𝑜𝑛𝑖𝑞𝑢𝑒} Réécrire un monôme sous la forme canonique 𝑎𝑋^𝑛 , 𝑎 ∈ 𝐼𝑅, 𝑛 ∈ 𝐼𝑁.

𝑇_𝐶 Calculer

𝑇_{𝐶−𝑛𝑢𝑚} Calculer la valeur d’une expression algébrique en donnant aux variables des valeurs numériques.

𝑇_{𝐶𝐷𝑆−𝑛𝑢𝑚} Calculer une expression numérique en utilisant la distributivité simple.

𝑇_{𝐶𝐼𝑅−𝑛𝑢𝑚} Calculer une expression numérique en utilisant des identités remarquables.

Concernant les techniques, nous les présentons dans le tableau ci-dessous en nous référant à Pilet (2012, p. 80). Nous éliminons celles qui ne sont pas à la portée des élèves des classes de notre étude, comme la technique basée sur l’étude des fonctions, par exemple, qui est enseignée à un niveau de classe supérieure.

Tableau 2.4 – Les techniques utilisées pour réaliser les genres de tâches des trois OM locales

OM

locale ^{Genre Techniques}

OM1

Traduire 𝑇_𝑇 - Interpréter la relation mathématique. Cette interprétation peut-être plus moins complexe en fonction de la congruence sémiotique, c’est-à-dire si la traduction nécessite une reformulation ou non,

- Appliquer les règles de conversion entre le registre sémiotique en jeu et celui des écritures algébriques. Associer 𝑇_𝐴

Produire 𝑇_𝑃 - Convoquer une ou plusieurs lettres,

- Traduire la relation entre les registres sémiotiques à partir de la technique présentée ci-dessus.

OM2

Tester 𝑇_{𝑇𝑒𝑠𝑡𝑒𝑟}

- Technique basée sur la dialectique de l’algébrique et du numérique : tester l’égalité en calculant les expressions pour une ou plusieurs valeurs numériques. Elle convoque la substitution par une valeur numérique qui fait l’objet du type de tâches 𝑇_{𝐶−𝑛𝑢𝑚} de OM3, - Technique basée sur les écritures algébriques : consiste

en une analyse symbolique des écritures algébriques, par exemple en comparant les coefficients des monômes de même degré ou les termes constants. Elle convoque l’identification de la structure, 𝑇_{𝑆𝑡𝑟𝑢𝑐𝑡𝑢𝑟𝑒}.

Faculté des sciences de l’éducation-U.S.J. 62 Prouver

𝑇_{𝑃𝑟𝑜𝑢𝑣𝑒𝑟−𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣}

Technique basée sur la conjecture puis la preuve de l’équivalence des expressions. Elle s’effectue en deux étapes :

 tester les expressions par convocation de 𝑇_{𝑇𝑒𝑠𝑡𝑒𝑟} à partir de la première technique pour conjecturer l’équivalence des expressions.

 La forme de la preuve dépend de l’équivalence ou non des expressions. Si elles ne le sont pas, elle consiste à donner un contre-exemple. Sinon, la preuve consiste à convoquer les propriétés du calcul algébrique permettant de transformer l’une en l’autre. Identifier la

structure 𝑇_{𝑆𝑡𝑟𝑢𝑐𝑡𝑢𝑟𝑒}

Identifier l’opérateur de plus haut niveau dans l’expression.

OM3

𝑇_𝐷Développer Technique générique d’instanciation : l’instanciation des règles de calcul et des conventions de calcul algébrique. 𝑇_𝐹 Factoriser

𝑇_𝑅 Réécrire un monôme

𝑇_𝐶 Calculer

Ainsi, dans la suite de cette recherche, et plus précisément dans l’analyse institutionnelle menée au chapitre 5 et dans l’analyse de la praxéologie enseignée au chapitre 6, nous nous référons aux trois praxéologies locales présentées dans cette section, telles qu’elles sont définies par Pilet (2012, 2015).

Dans le chapitre suivant, nous présentons une synthèse des travaux sur les pratiques enseignantes que nous mobilisons dans notre recherche.

Faculté des sciences de l’éducation-U.S.J. 63

CHAPITRE 3

LES PRATIQUES ENSEIGNANTES