ANALYSE INSTITUTIONNELLE
5.1.4 Étude du programme de l’algèbre de la classe d’EB7 et de celle d’EB8
Pour étudier le programme de l’algèbre en EB7 et en EB8 et répondre au questionnement déjà précisé au début de ce chapitre, nous avons recours à deux types d’analyse. D’abord une analyse globale de l’introduction et des objectifs généraux du programme, ensuite une analyse plus fine de la praxéologie régionale (cf. chapitre 1) relative aux expressions algébriques. L’étude et l’interprétation de l’introduction générale et des objectifs généraux fixés par les concepteurs renseignent sur l’approche recommandée de l’enseignement et fournissent des éléments sur la place de la résolution de problèmes et sur la prise en compte des aspects outil et objet des domaines mathématiques enseignés et particulièrement de l’algèbre. L’analyse de la praxéologie régionale relative aux expressions
Faculté des sciences de l’éducation, U.S.J. 132 algébriques permet d’obtenir des éléments de la praxéologie à enseigner, complétée par l’étude des manuels. Celle-ci renseigne aussi sur les techniques et les technologies explicitées dans les programmes.
a) Approche préconisée pour l’enseignement de l’algèbre
i. Dans l’introduction et les objectifs généraux
L’introduction générale au curriculum soulève l’importance de la résolution de problèmes dans l’apprentissage des mathématiques et met l’accent sur la construction individuelle des connaissances, qui se manifeste dans la résolution de situations réelles. La méthode d’enseignement préconisée consiste à partir de ces situations à poser des problèmes, formuler des hypothèses et les vérifier. De plus, le texte mentionne que les contenus mathématiques traités doivent répondre aux besoins de formation des élèves et à leur développement culturel et avance quatre objectifs généraux à développer, dont la résolution de problèmes : « La résolution de problèmes est peut-être l’activité la plus significative dans l’enseignement des mathématiques. D’une part tout savoir mathématique nouveau doit être construit à partir de situations-problèmes. D’autre part, l’élève doit apprendre à utiliser différentes stratégies pour surmonter les difficultés et arriver à
résoudre un problème. » (Objectifs généraux des programmes, 1996) 38
La simple lecture de l’introduction et des objectifs généraux du programme montre la place accordée à la résolution de problèmes dans le processus enseignement-apprentissage des mathématiques. Leur interprétation didactique renseigne sur la nécessité de traiter tous les concepts mathématiques sous les deux aspects, outil et objet, et ceci grâce à l’accent mis sur la résolution de problèmes de la vie réelle, qui donnent du sens à l’apprentissage. Comme le domaine de l’algèbre élémentaire fait partie du programme des mathématiques, son enseignement doit donc répondre aux recommandations générales, plutôt implicites et dont l’interprétation est laissée à la charge du lecteur.
Faculté des sciences de l’éducation, U.S.J. 133 Le fait que les instructions officielles préconisent l’enseignement des aspects outil et objet des concepts mathématiques nous amène à nous interroger sur la manifestation de ces recommandations dans les détails du contenu des programmes d’algèbre de l’EB6 à l’EB9.
ii. Dans le contenu du programme de l’algèbre
En nous référant à l’échelle des niveaux de co-détermination didactique, nous avons défini deux secteurs d’étude en EB7 et EB8, « Expressions algébriques » et « Équations et inéquations », relatifs à l’algèbre. L’étude des contenus détaillés des thèmes et des sujets d’étude correspondants à chacun de ces secteurs nous permet de repérer la place des aspects outil et objet recommandée pour chacun des secteurs.
L’élève arrive en EB7, en ayant déjà rencontré les écritures littérales dans la classe précédente, en EB6 à partir de la traduction d’un périmètre, d’une aire ou d’un énoncé par une expression littérale. L’absence du terme « algèbre » et de ses dérivés en EB6 laissent sous-entendre qu’il s’agit seulement de l’introduction de formules et d’expressions comprenant la lettre. En EB7 et en EB8, les thèmes et les sujets d’étude relatifs aux expressions algébriques portent sur les objets de l’algèbre et sur le calcul algébrique, l’application de la simple et de la double distributivité de la multiplication sur l’addition, les identités remarquables, la factorisation, etc.
Concernant le deuxième secteur, les équations sont introduites en EB7 et les inéquations en EB8. Les sujets d’étude correspondants mettent l’accent sur la traduction d’un problème en une équation ou en une inéquation.
L’outil algébrique apparaît donc dans la résolution de problèmes de traduction algébrique, et les raisons d’être de l’algèbre sont explicitées dans les programmes dans les « équations et inéquations », où l’algèbre est utilisée pour résoudre des problèmes de vie réelle.
b) Analyse praxéologique relative aux expressions algébriques
Nous menons une analyse des programmes de la classe d’EB7 et celle d’EB8 en nous appuyant sur l’OM de référence présentée à la section 2.3 du chapitre 2 et en étudiant les
Faculté des sciences de l’éducation, U.S.J. 134 trois praxéologies mathématiques locales qui la définissent, la génération des expressions algébriques, l’équivalence des expressions et l’algèbre des polynômes.
L’analyse consiste à repérer, dans les programmes, les types de tâches de chaque OM locale, les techniques qui lui sont associées et les technologies qui justifient les techniques. Pour cela nous nous référons aux « objectifs » qui donnent directement les types de tâches, et aux « commentaires » qui sous-tendent parfois des types de tâches. Par exemple, en EB8, le commentaire « On donnera une interprétation géométrique à chacune de ces identités » qui accompagne le calcul en utilisant les identités remarquables (Programme de l’EB8, 1998, p. 138) peut induire les types de tâches Traduire la longueur d’un segment par une expression algébrique, et Traduire l’aire d’une figure par une expression algébrique.
Le tableau ci-dessous présente les types de tâches de la praxéologie mathématique relative aux expressions algébriques dans les programmes de la classe d’EB7 et celle d’EB8.
Tableau 5.2 – Types de tâches de l’OM régionale relative aux expressions algébriques dans les programmes d’EB7 et d’EB8
OM locale Genres Types de tâches EB7 EB8
OM1 Génération des expressions algébriques 𝑇𝑇 Traduire 𝑇𝑇−𝐸𝑥𝑝→𝐿𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟, 𝑇𝑇−𝐸𝑥𝑝→𝑃𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑒, 𝑇𝑇−𝐸𝑥𝑝→𝐴𝑖𝑟𝑒, 𝑇𝑇−𝐸𝑥𝑝→𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒, 𝑇𝑇−𝐸𝑥𝑝→𝐴𝑛𝑔𝑙𝑒 Traduire une expression algébrique comme, respectivement, la longueur d’un segment ou d’un arc de cercle, le périmètre, l’aire d’une figure, le volume d’un solide, la mesure d’un angle.
×
𝑇𝑇−𝐿𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟→𝐸𝑥𝑝, 𝑇𝑇−𝑃𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑒→𝐸𝑥𝑝, 𝑇𝑇−𝐴𝑖𝑟𝑒→𝐸𝑥𝑝,
𝑇𝑇−𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒→𝐸𝑥𝑝, 𝑇𝑇−𝐴𝑛𝑔𝑙𝑒→𝐸𝑥𝑝 Traduire,
respectivement, la longueur d’un segment, le périmètre, l’aire d’une figure, le volume d’un solide par une expression algébrique.
×
𝑇𝑇−𝑅𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛→𝐹𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑒 Traduire une relation entre deux grandeurs ou deux quantités par une formule. × × OM3 Algèbre des polynômes 𝑇𝐷 Développer
𝑇𝐷𝐷𝑆−𝑚𝑜𝑛×𝑠𝑜𝑚 Développer un produit de deux facteurs avec la distributivité simple de la multiplication sur l’addition.
× 𝑇𝐷𝐷𝑆−𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟×𝑠𝑜𝑚 Développer une expression en appliquant la distributivité simple de la multiplication sur l’addition
𝑘(𝑎 + 𝑏) = 𝑘𝑎 + 𝑘𝑏 où 𝑘 ∈ 𝐼𝑅.
Faculté des sciences de l’éducation, U.S.J. 135 𝑇𝐷𝐷𝐷−𝑠𝑜𝑚×𝑠𝑜𝑚 Développer un produit de deux
facteurs avec la double distributivité de la multiplication sur l’addition.
× 𝑇𝐷𝐼𝑅−𝑠𝑜𝑚×𝑑𝑖𝑓𝑓Développer un produit de deux
facteurs du type (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏). ×
𝑇𝐷𝐼𝑅−𝑐𝑎𝑟 Développer un carré. ×
𝑇𝐹 Factoriser
𝑇𝐹𝐴 Factoriser une somme algébrique dans laquelle le facteur commun est apparent dans tous les termes.
- 𝑇𝐹𝐴/𝑚𝑜𝑛 Factoriser une somme algébrique dans laquelle le facteur commun est un monôme, apparent dans tous les termes. - 𝑇𝐹𝐴/𝑠𝑜𝑚 Factoriser une somme algébrique
dans laquelle le facteur commun est une somme, apparent dans tous les termes.
×
𝑇𝐹𝐴−𝑚𝑜𝑛+𝑚𝑜𝑛 Factoriser une somme de
monômes pour en donner la forme développée réduite.
× ×
𝑇𝐹𝐴∗ Factoriser une somme algébrique dans laquelle le facteur commun est apparent dans un des termes.
- 𝑇𝐹𝐴∗/𝑚𝑜𝑛 Factoriser une somme algébrique dans laquelle le facteur commun est un monôme, apparent dans un des termes. - 𝑇𝐹𝐴∗/𝑠𝑜𝑚 Factoriser une somme algébrique
dans laquelle le facteur commun est une somme, apparent dans un des termes.
×
𝑇𝐹𝑁𝐴 Factoriser une somme algébrique dans laquelle le facteur commun n’est pas apparent.
- 𝑇𝐹𝑁𝐴/𝑚𝑜𝑛 Factoriser une somme
algébrique dans laquelle le facteur commun est un monôme, non apparent. - 𝑇𝐹𝑁𝐴/𝑠𝑜𝑚 Factoriser une somme algébrique
dans laquelle le facteur commun est une somme non apparent.
×
𝑇𝐹𝐼𝑅−𝑑𝑖𝑓𝑓 Factoriser une différence de deux
carrés. ×
𝑇𝐹𝐼𝑅−𝑠𝑜𝑚 Factoriser une somme algébrique de
trois termes du type 𝑎2± 2𝑎𝑏 + 𝑏². ×
𝑇𝑅 Réécrire un monôme
𝑇𝑅−𝑐𝑎𝑟𝑟é Réécrire un monôme sous la forme
d’un carré. ×
𝑇𝑅−𝑐𝑎𝑛𝑜𝑛𝑖𝑞𝑢𝑒 Réécrire un monôme sous la
forme canonique 𝑎𝑋𝑛 , 𝑎 ∈ 𝐼𝑅, 𝑛 ∈ 𝐼𝑁. × × 𝑇𝐶 Calculer 𝑇𝐶𝐼𝑅−𝑛𝑢𝑚 Calculer une expression numérique
Faculté des sciences de l’éducation, U.S.J. 136 Le tableau montre que les deux praxéologies locales de référence, la génération des expressions algébriques et l’algèbre des polynômes sont explicitées dans les programmes scolaires. Dans ce qui suit, nous commentons le tableau en abordant chacune des praxéologies locales.
OM1, Génération des expressions algébriques39
Les types de tâches du genre Produire une expression algébrique sont absents des programmes de la classe d’EB7 et de celle d’EB8, malgré l’importance du rôle joué par la production d’expressions relativement à l’introduction d’expressions algébriques (cf. chapitre 2).
Quelques types de tâches du genre Traduire figurent dans les programmes. Ceux qui relèvent des liens entre les expressions algébriques et les mesures, longueur, périmètre et aire, sont sous-entendus dans les commentaires, comme par exemple dans le commentaire suivant : « On donnera une interprétation géométrique à chacune de ces identités » (Programme de la classe d’EB8, 1998, p. 138). Ceux qui se rapportent à la traduction d’une relation entre deux grandeurs par une formule sont explicités, comme par exemple « Organiser des données et les traduire par une équation se ramenant à ax=b » (Programme de la classe d’EB7, 1997, p. 107), qui est rattaché au secteur des équations et non pas à celui des expressions algébriques. Ainsi, la lettre a le statut d’inconnue et non pas de variable.
Les programmes ne présentent pas d’informations sur les techniques permettant de réaliser les types de tâches, ni sur les technologies les justifiant.
OM2, Équivalence des expressions algébriques
Les types de tâches relatifs à l’équivalence de deux expressions algébriques et à l’identification de la structure d’une expression ne figurent pas dans les programmes de la classe d’EB7 et celle d’EB8.
Faculté des sciences de l’éducation, U.S.J. 137 L’interprétation des programmes dans les manuels semble davantage nécessaire pour la définition de la praxéologie enseignée.
OM3, Algèbre des polynômes
La majorité des types de tâches constitutifs de la praxéologie locale, algèbre des polynômes, est explicitée dans les programmes, selon une progression relative aux propriétés abordées. Par exemple, en EB7, il est recommandé de développer une expression en ayant recours à la simple ou à la double distributivité de la multiplication sur l’addition. En EB8, il s’agit de développer une expression en ayant recours aux identités remarquables.
Cependant, deux types de tâches de l’OM3 ne sont pas explicités en EB7, mais plutôt dans la classe précédente, en EB6. Il s’agit du calcul de la valeur numérique d’une expression en donnant des valeurs particulières à la variable, explicitée en EB6, et du calcul d’une expression numérique en utilisant la distributivité simple, sous-entendu en EB6. En effet, les types de tâches « Développer 𝑛 × (𝑎 + 𝑏) et Développer 𝑛 × (𝑎 − 𝑏), n étant un nombre positif et en chiffres » et « Calculer 𝑛 × 𝑎 + 𝑝 × 𝑏 et Calculer 𝑛 × 𝑎 − 𝑝 × 𝑏, n et p positifs et en chiffres » (Programme de la classe d’EB6, 1997, p. 35), laissent sous-entendre qu’il s’agit aussi bien d’un calcul de distributivité en utilisant la lettre comme d’un calcul numérique, surtout qu’il n’y a aucune donnée sur a et b.
Les techniques utilisées pour réaliser les types de tâches sont absentes du programme de la classe d’EB7, et peu explicitées dans celui de l’EB8. Elles portent sur l’application des identités remarquables pour développer ou factoriser une expression. Les éléments technologiques ne figurent pas dans les programmes.