L’analyse globale du scénario

a) La progression globale du contenu

Comme nous l’avons déjà précisé, la séquence d’enseignement des expressions algébriques chez Mme L. comporte les deux chapitres relatifs aux expressions algébriques dans le manuel P7 qui portent sur leur introduction et sur les techniques de calcul algébrique.

La première rencontre avec les expressions algébriques a lieu, à la première séance de la séquence, grâce à la résolution de l’activité de découverte du début du chapitre (cf. figure 6.1), et la justification de la propriété de la distributivité de la multiplication sur l’addition a lieu, quelques séances plus tard, par la résolution de l’activité de découverte du chapitre suivant (cf. figure 6.2).

L’enseignante se réfère au contenu de la partie Cours du manuel utilisé, et suit la progression proposée en alternant explication du cours et résolution d’exercices d’entraînement. Après avoir énoncé les définitions d’une expression algébrique, d’un monôme et de termes semblables, Mme L. fournit quelques exemples illustratifs et propose de résoudre des exercices du manuel. Ensuite elle explique comment réduire des termes semblables en ayant recours à la règle qui figure dans le manuel : « Réduire des termes semblables dans une expression algébrique revient à les remplacer par un terme unique, semblable à chacun d’eux et ayant pour coefficient la somme algébrique de leurs coefficients. » (p.147 – Manuel P7). L’explication de la suite du cours a lieu à travers la résolution collective d’exercices supplémentaires proposés par l’enseignante. Elle semble avoir le statut de l’exposé de procédures et de techniques à mettre en place pour répondre à la question posée. Par exemple, pour expliquer l’addition d’expressions algébriques, Mme L. propose l’exercice supplémentaire de la figure ci-dessous, qu’elle résout elle-même au tableau en développant les étapes à suivre.

Faculté des sciences de l’éducation, U.S.J. 178 On donne :

A=3𝑥² − 4𝑥 + 5 et B=−5𝑥² + 3𝑥 − 7 Calculer A+B et A-B

Exercice supplémentaire – Addition d’expressions algébriques – Mme L.

Dans la pratique de Mme L., chaque nouvelle propriété ou règle de calcul est suivie par une phase d’entraînement par la résolution d’un ou de plusieurs exercices du manuel, avant de passer à la règle suivante. Ceci est illustré dans le tableau 6.4, qui présente, par ordre chronologique, les différentes catégories qui figurent dans la séquence de Mme L. (la résolution d’activités préparatoires, l’explication du cours et la résolution et la correction d’exercices), les genres de tâches travaillés et le contenu correspondant.

Tableau 6.4 – Progression globale de la séquence de Mme L.

Chapitre 15 : Expressions algébriques Activité préparatoire Activité 1

Explication du cours Définition d’une expression algébrique Définition d’un monôme

Définition de termes semblables Résolution et corrections

d'exercices

Reconnaître les caractéristiques d’un monôme : Exercice 1.

Reconnaître des termes semblables : Exercice 3. Associer : Exercice 2.

Explication du cours Réduction des termes semblables Résolution et correction

d’exercices

Factoriser : Exercice 4, ex suppl 1, 2.

Calculer + Explication : Calcul la valeur numérique d’une expression pour une valeur particulière de la variable : Exercice 5.

Explication du cours Ex suppl 3 + Explication : Multiplication des monômes. Résolution et correction

d’exercices

Réécrire un monôme : Exercice 8. Traduire : Exercice 6.

Explication du cours ^{Ex suppl 4 + Explication : Addition d’expressions} algébriques.

Résolution et correction d’exercices

Factoriser, réécrire un monôme, développer : Exercices 10, 11.

Chapitre 16 : Développement – Factorisation Activité préparatoire Activité 1

Explication du cours Développement et factorisation Résolution et correction

d’exercices ^{Développer : Exercices 1, 2.} Explication du cours Factorisation

Résolution et correction

Faculté des sciences de l’éducation, U.S.J. 179 Ce tableau montre l’alternance entre l’explication du cours et la résolution et la correction d’exercices dans la séquence de Mme L.

b) Les liens entre les praxéologies locales de référence

La séquence de Mme L. se caractérise par la présence de seulement deux des trois praxéologies locales de référence, la génération des expressions, OM1 (dans 19% des items de la séquence) et l’algèbre des polynômes, OM3 (dans 75% des items) dans les différentes parties de la séquence allant de la résolution de l’activité de découverte jusqu’à la correction des exercices. L’OM1 est mise en jeu au début par une activité de découverte, puis dans un exercice d’application et enfin, par une deuxième activité de découverte vers la fin de la séquence. Tandis que l’OM3, plus fréquemment présente, est mise en jeu dès la première séance de la séquence. Cependant, l’enchaînement entre les activités et le cours n’est pas toujours explicite. Après avoir mobilisé l’outil algébrique dans un problème de traduction⁵⁰ du registre des grandeurs et des mesures vers celui des écritures algébriques, Mme L. ne fait aucun retour à cette raison d’être des expressions lors de l’explication du cours. Elle expose le contenu du chapitre tel qu’il se présente dans le manuel. Cette raison d’être réapparaît lors de la résolution d’un exercice d’application. Ceci n’est pas le cas concernant la deuxième activité de la séquence, à laquelle Mme L. se réfère dans l’explication de la règle de distributivité de la multiplication sur l’addition, et justifie l’égalité à partir du calcul, de deux façons différentes, de l’aire d’un rectangle décomposé en deux autres rectangles.

Les genres de tâches relatifs à l’équivalence des expressions algébriques sont peu évoqués durant la séquence ; Mme L. insiste peu sur les genres de tâches convoqués par la réalisation d’une tâche donnée, et particulièrement ceux relatifs à l’identification de la structure d’une expression. Le fait que chaque règle de calcul introduite soit suivie par ses items d’application peut réduire, chez les élèves, la nécessité d’identifier la structure d’une expression afin de mettre en œuvre la règle correspondante, et par suite, chez l’enseignante, la nécessite d’expliciter les genres de tâches convoqués. Ils seront laissés à la charge de l’élève lorsque l’occasion se présentera. Par exemple, aucun exercice résolu ne comporte à la fois, des expressions de somme algébrique et d’autres de produit. Ainsi, l’identification

Faculté des sciences de l’éducation, U.S.J. 180 de la structure des expressions ne semblait pas nécessaire pour effectuer les calculs demandés.

Dans sa pratique, Mme L. tient compte quelquefois de l’enchaînement entre les phases de son cours et accorde beaucoup d’importance à l’alternance entre ces différentes phases, et par la suite entre OM1 et OM3 particulièrement. Cependant, il semble qu’elle favorise peu l’agrégation des praxéologies locales dans son enseignement, pratique encouragée par la praxéologie à enseigner dont une partie est définie dans le manuel.

c) La cohérence des praxéologies enseignées avec les praxéologies à enseigner

Le manuel de la collection Puissance, désigné par P7, constitue la ressource principale à laquelle Mme L. a recours dans son enseignement. Le contenu de la partie Cours est exposé intégralement, tandis que les tâches et les items effectués sont sélectionnés parmi ceux proposés dans les chapitres. Comme nous l’avons dit, les quelques exercices supplémentaires sont destinés à expliquer une technique de calcul algébrique.

La résolution des activités de découverte fait intervenir, d’une part, une raison d’être des expressions algébriques qui consiste à traduire une grandeur par une écriture algébrique, et d’autre part, une raison d’être des propriétés de calcul. Elle répond ainsi à des recommandations des instructions officielles, définies dans la praxéologie à enseigner au chapitre 5.

Nous avons déjà signalé que la séquence de Mme L. comporte peu de tâches qui mettent en jeu l’équivalence des expressions algébriques, OM2. Il semble que c’est le choix de l’enseignante étant donné qu’elle a exclu les items qui comportent les genres 𝑇_{𝑃𝑟𝑜𝑢𝑣𝑒𝑟−𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣} Prouver et 𝑇_{𝑇𝑒𝑠𝑡𝑒𝑟} Tester l’égalité de deux expressions, qui figurent dans les exercices 8 et 9 ci-dessous, extraits du manuel qu’elle utilise :

Faculté des sciences de l’éducation, U.S.J. 181

Exercices 8 et 9 – p. 158 – Manuel P7

Cela nous amène à nous interroger sur les choix effectués par l’enseignante et sur leurs effets sur les apprentissages des élèves. Dans le paragraphe suivant, nous analysons le déroulement de la séquence de Mme L.

6.1.3 Le déroulement

L’analyse du déroulement des scénarios renseigne aussi sur des pratiques dans l’enseignement de Mme L., relatives à l’organisation des séances et de la classe et les interventions de l’enseignante.

a) L’organisation des séances

La séquence d’enseignement des expressions algébriques dure six séances et porte sur les deux chapitres relatifs aux expressions algébriques dans le manuel. Elle est composée de trois catégories, les activités préparatoires ou d’introduction, le cours et les exercices. Ces catégories s’alternent tout au long de la séquence, selon la chronologie présentée dans le tableau 6.4.

Faculté des sciences de l’éducation, U.S.J. 182 La résolution d’exercices occupe une grande partie de la séquence. Mme L. explique le cours et présente les étapes d’un calcul algébrique à effectuer à partir d’un exercice à résoudre, puis propose une série d’exercices d’entraînement à effectuer. Il semble que Mme L. accorde une grande importance à l’acquisition de techniques de calcul algébrique.

Dans la plupart des séances de la séquence, Mme L. suit une organisation type. À partir d’échanges avec les élèves, elle rappelle les notions déjà vues et qui seront utilisées durant la séance, ensuite elle explique une nouvelle propriété ou règle de calcul, donne des exemples puis propose de résoudre des exercices d’entraînement du manuel. La correction des exercices est collective, elle a lieu durant la séance.

b) L’organisation de la classe

L’organisation de la classe de Mme L. lors de la résolution d’exercices varie entre l’individuel et le collectif en fonction de la tâche à effectuer. Elle prend en charge la résolution collective des activités préparatoires et des exercices supplémentaires destinés à l’explication d’une règle de calcul, elle explicite les détails et les étapes à suivre et interroge quelquefois les élèves sur les calculs numériques intermédiaires.

Quant à la résolution des exercices, elle a lieu sous forme d’un travail collectif ou au tableau ou de recherche individuelle suivie d’une correction collective. En effet, l’organisation de la classe pour la réalisation de cette phase dépend de la tâche à effectuer et de la mise en fonctionnement qu’elle nécessite. Pour les exercices qui exigent la compréhension qualitative des concepts (cf. tableau 6.3), Mme L. donne du temps pour la résolution autonome et s’assure que la majorité des élèves ont effectué les exercices avant de faire la correction collective ; les élèves, à tour de rôle, donnent leurs réponses oralement pendant que l’enseignante les note au tableau et les corrige.

Pour les exercices de calcul qui nécessitent la mise en œuvre d’un répertoire de techniques, Mme L. a recours à deux types d’organisation. Dans le premier cas, la résolution est collective s’il s’agit d’un exercice nouveau, c’est-à-dire si les élèves ne sont pas encore entraînés à effectuer le type de tâche proposé. Dans le deuxième cas, l’enseignante donne

Faculté des sciences de l’éducation, U.S.J. 183 un temps de recherche autonome pour effectuer l’exercice s’il s’agit d’un énoncé qui a déjà été traité, suivi d’une correction collective au tableau.

La classe de Mme L. se caractérise par le peu de passage d’élèves au tableau, leur participation se fait à l’oral depuis leur place.

Durant la séquence observée, Mme L. n’a pas donné d’exercices à préparer en devoir. Elle a plutôt tendance à les faire travailler davantage en classe, et à répondre à leurs questions en circulant entre eux et en vérifiant leurs réponses.

c) Les interventions de Mme L

Les interventions de Mme L. diffèrent à chaque étape de la séquence. Lors de l’explication du cours, elles se limitent surtout à rappeler un déjà vu, comme pour la formule de calcul de l’aire d’un rectangle ou le calcul de la valeur numérique d’une expression pour une valeur particulière de la variable. Concernant la résolution des exercices, Mme L. n’expose pas la démarche à suivre pour effectuer un exercice. La grande majorité des interventions ont lieu alors lors de la résolution et de la correction des exercices.

Une pratique courante caractérise les interventions de Mme L. lors de la correction d’une réponse. Elle interroge l’élève concerné sur la réponse donnée, et sur ce qu’il a fait pour l’obtenir, comme l’illustre le passage ci-dessous, extrait de la troisième séance, lors de la correction d’une partie de l’exercice 8, extrait de la page 150 du manuel P7.

Faculté des sciences de l’éducation, U.S.J. 184 E⁵¹ : 2𝑎³× 5𝑎² = 10𝑎⁵

P : qu’est-ce que tu fais tout d’abord ? E : je fais 2 × 5

P : 2 × 5, je multiplie les coefficients, c’est 10 E : les exposants, je les additionne

P : j’additionne les exposants de la même variable : 𝑎³× 𝑎² =? E : 𝑎⁵

P : 𝑎5

E : 5𝑥³ × 2𝑥 = 10𝑥⁴

P : pourquoi 10𝑥⁴ et non pas 𝑥³? E : parce que x c’est x exposant 1 P : x exposant 1

En cas de réponse fausse, Mme L. demande aussi à l’élève qui s’est trompé de lui expliquer comment il a fait pour obtenir sa réponse. Ainsi, il aura probablement la possibilité de remettre en question sa réponse, de repérer son erreur et de la corriger, comme l’illustre le passage ci-dessous portant sur la correction de la troisième expression de l’exercice 8 :

E : −¹

2𝑥2 ×⁴

3𝑥 =⁴

5𝑥3

P : répète s’il te plaît : −¹

2×⁴ 3? E : est égal à ⁴ 5 P : comment tu as obtenu 5 ? E : ah, 6 P : ⁴ 6 E : ⁴ 6𝑥³

P : 𝑥² × 𝑥 = 𝑥³. Est-ce que tu as pensé au signe ? tu as regardé les signes ? Es : moins

P : fais attention, - fois + ? Es : moins

E : −⁴

6𝑥3

P : −⁴

6𝑥3

Grâce au travail collectif, Mme L. semble accorder de l’importance à faire participer le groupe classe, tout en veillant à chacun des élèves lors de la résolution autonome. Les élèves se sentent davantage impliqués dans le cours et n’hésitent pas à poser leurs questions.

Faculté des sciences de l’éducation, U.S.J. 185 Nous renvoyons le lecteur à l’annexe C pour consulter les échanges qui ont lieu durant la séquence.

Nous constatons aussi que Mme L. se préoccupe, non seulement de l’acquisition des connaissances algébriques chez ses élèves, mais aussi du développement de leurs capacités à expliquer les démarches et les techniques mises en œuvre.

Cependant, une analyse plus fine des interactions entre l’enseignante et ses élèves s’avère utile afin de compléter l’analyse globale. Les interactions qui nous intéressent sont celles qui se manifestent en tant que régulations didactiques, décrites à la section 3.3. Elles permettent de comprendre davantage le contenu algébrique mis en jeu par l’enseignante et par les élèves et fournit des éléments caractéristiques des pratiques de l’enseignante.