EXPRESSIONS ALGEBRIQUES
6.1 La séquence observée de Mme L. – EB7 (5 e )
6.1.1 Le scénario de la séquence
Mme L. n’ayant pas de préparation de la séquence écrite au préalable, nous avons eu recours au visionnement des séances filmées pour recueillir les tâches proposées durant la séquence. L’enseignante s’est référée à la progression des chapitres qui figure dans le manuel P7 pour concevoir son cours40.
a) Les praxéologies mathématiques enseignées
Pour définir la praxéologie enseignée, nous nous référons à la consigne de chaque tâche du scénario, et nous précisons le type de tâche et la praxéologie locale mis en jeu. Nous indiquons le nombre d’items relatifs à chaque praxéologie locale abordés durant toute la séquence.
40 Par cours, nous désignons l’enseignement qui a lieu, tant au niveau de l’explication fournie par l’enseignante, qu’au niveau des exercices effectués.
Faculté des sciences de l’éducation, U.S.J. 166 Par exemple, l’exercice 4 ci-dessous comporte une seule tâche que nous désignons par 4, en référence au numéro de l’exercice dans le manuel, sans distinguer entre exercice et tâche.
Exercice 4 – p. 150 – Manuel P7
Cette tâche met en jeu un seul type de tâche, 𝑇𝐹𝐴−𝑚𝑜𝑛+𝑚𝑜𝑛 Factoriser une somme de monômes pour en donner la forme développée réduite, et elle est composée de quatre items correspondants aux quatre expressions données, 1°, 2°, 3° et 4°. Autrement dit, à 𝑇𝐹𝐴−𝑚𝑜𝑛+𝑚𝑜𝑛, constitutif de la praxéologie locale l’algèbre des polynômes, correspond quatre items.
À un même exercice ou tâche, peuvent correspondre plusieurs types de tâches, comme dans l’exercice 4 ci-dessous. Parmi les types de tâches que cet exercice convoque :
- 𝑇𝐹𝐴/𝑚𝑜𝑛 Factoriser une somme algébrique dans laquelle le facteur commun est un monôme, apparent dans tous les termes, dans les items 1°, 5° et 11°.
- 𝑇𝐹𝐴∗/𝑚𝑜𝑛 Factoriser une somme algébrique dans laquelle le facteur commun est un monôme, apparent dans un des termes, dans les items 2°, 3°, 4°, 6°, 7° et 8°.
Faculté des sciences de l’éducation, U.S.J. 167 Cet exercice figurera alors au moins deux fois dans le tableau ci-dessous.
Après avoir relevé la série d’exercices travaillés en classe durant la séquence d’enseignement de Mme L., nous précisons les tâches correspondant à chacun d’entre eux et les types de tâches mis en jeu, puis nous dénombrons les items relatifs à chaque type de tâche.
Le tableau ci-dessous présente les praxéologies locales de référence et les types de tâches correspondants, ainsi que les tâches relatives à chaque type de tâche et le nombre d’items travaillés durant la séquence de Mme L. Nous désignons les exercices par leur numéro dans le manuel. Pour ceux du chapitre 16, le second chapitre sur les expressions algébriques dans le manuel P7, nous les désignons par leur numéro suivi par un astérisque (*). Les énoncés des exercices correspondent à ceux des chapitres 15 et 16 du manuel P7.
Tableau 6.1 – Praxéologies enseignées dans la séquence de Mme L.
Praxéologies mathématiques enseignées par Mme L
OM locale Types de tâches Tâches Nb
d’items OM1 Génération des expressions algébriques
𝐓𝐓−𝐀𝐢𝐫𝐞→𝐄𝐱𝐩 Traduire l’aire d’une figure par une expression algébrique.
Activité
141 2
Activité
1*42 2
TT−Perimetre→Exp Traduire le périmètre d’une figure par
une expression algébrique. 6 3
TA−Exp−LgNat Associer une expression algébrique à une phrase en langage naturel (aspect structural) et
inversement.
2 9
Total nb d’items de l’OM1 16
OM2
Équivalence des
expressions algébriques
TAssocier Associer deux expressions égales pour tout x. 2 5
Total nb d’items de l’OM2 5
OM3 Algèbre des polynômes
TDDS−mon×som Développer un produit de deux facteurs avec la distributivité simple de la multiplication sur l’addition.
1* 4
2* 1
41 Manuel P7, chapitre 15, activité § 1, p. 142.
Faculté des sciences de l’éducation, U.S.J. 168 𝑇𝐷𝐷𝑆−𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟×𝑠𝑜𝑚 Développer une expression en
appliquant la distributivité simple de la multiplication sur l’addition 𝑘(𝑎 + 𝑏) = 𝑘𝑎 + 𝑘𝑏 où 𝑘 ∈ 𝐼𝑅.
Ex suppl 443 2 10 3 11 2 1* 2 2* 3
𝑇𝐹𝐴/𝑚𝑜𝑛 Factoriser une somme algébrique dans laquelle le facteur commun est un monôme, apparent dans tous les termes.
4* 3
𝑇𝐹𝐴−𝑚𝑜𝑛+𝑚𝑜𝑛 Factoriser une somme de monômes de
même degré pour en donner la forme réduite.
Ex suppl 144 2 4 345 Ex suppl 246 2 Ex suppl 4 2 10 3 11 2 2* 4
𝑇𝐹𝐴∗/𝑚𝑜𝑛 Factoriser une somme algébrique dans laquelle le facteur commun est un monôme, apparent dans un des termes.
4* 6
𝑇𝐹𝑁𝐴/𝑚𝑜𝑛 Factoriser une somme algébrique dans laquelle le facteur commun est un monôme, non apparent.
4* 3
𝑇𝑅−𝑐𝑎𝑛𝑜𝑛𝑖𝑞𝑢𝑒 Réécrire un monôme sous la forme canonique 𝑎𝑋𝑛, 𝑎 ∈ 𝐼𝑅, 𝑛 ∈ 𝐼𝑁. Ex suppl 347 3 8 6 10 1 2* 4
𝑇𝐶−𝑛𝑢𝑚 Calculer la valeur d’une expression algébrique
en donnant aux variables des valeurs numériques. 5 2
Total nb d’items de l’OM3 63
Total nb d’items de la séquence 84
43 Exercice supplémentaire 4 :
A=3𝑥² − 4𝑥 + 5 ; B=−5𝑥² + 3𝑥 − 7
Calculer A+B et A-B.
44 Exercice supplémentaire 1 :
Réduire : 2𝑥 + 3𝑥 et 2𝑥 + 3𝑦 + 4𝑥
45 L’enseignante a sélectionné trois expressions des quatre à réaliser en classe. Le nombre d’items correspond aux items résolus en classe, et non pas figurant dans le manuel.
46 Exercice supplémentaire 2 :
Réduire : 3𝑥² − 4𝑥² + 8𝑥² et 𝑎2𝑏4+ 3𝑎2𝑏4− 0,5𝑎2𝑏4+ 3𝑥2− 2𝑦 − 3𝑥²
47 Exercice supplémentaire 3 :
Faculté des sciences de l’éducation, U.S.J. 169 On constate que Mme L. fait intervenir dans son enseignement les trois praxéologies locales de référence, grâce à la mise en jeu d’un ou de plusieurs types de tâches constitutifs de chaque praxéologie. Nous présentons ci-dessous les caractéristiques observées de chacune de ces praxéologies.
i. Des raisons d’être pour la génération des expressions
La séquence de Mme L. comporte plusieurs items relevant de la praxéologie locale relative à la génération des expressions (lignes surlignées en rouge dans le tableau 6.1). Elle introduit chacun des chapitres par une activité de traduction du registre des grandeurs et des mesures vers celui des écritures algébriques. Il s’agit précisément de la traduction de l’aire d’un rectangle en une expression algébrique, mettant en évidence l’aspect procédural des expressions.
Faculté des sciences de l’éducation, U.S.J. 170
Figure 6.2 – Justification de la propriété de la distributivité de la multiplication sur l’addition par Mme L – p. 154 – Manuel P7
La réalisation de ces activités a lieu collectivement, en classe. Mme L., au tableau, effectue les calculs tout en interrogeant les élèves sur le calcul de l’aire d’un rectangle. Les échanges qui ont eu lieu entre l’enseignante et ses élèves durant la résolution de ces activités (cf. annexe C) nous amènent à supposer que son choix est motivé par le contexte du calcul de l’aire d’un rectangle, familier pour des élèves de l’EB7.
Grâce à l’activité de découverte du chapitre 15 (figure 6.1), Mme L. mobilise une raison d’être des expressions algébriques, la traduction de relations mathématiques entre le registre des grandeurs et des mesures et celui des écritures algébriques (Pilet, 2012, p. 77). Quant à l’activité de découverte du chapitre 16 (figure 6.2), Mme L. montre une de règle de calcul algébrique, la distributivité de la multiplication sur l’addition.
De plus, l’enseignante propose deux autres types de tâches constitutifs de la génération des expressions algébriques durant la phase d’entraînement et de résolution
Faculté des sciences de l’éducation, U.S.J. 171 d’exercices (cf. tableau 6.1). Néanmoins, lors de la résolution de la tâche relative à 𝑇𝐴−𝐸𝑥𝑝−𝐿𝑔𝑁𝑎𝑡 Associer une expression algébrique à une phrase en langage naturel et inversement de la deuxième question de l’exercice de la figure 6.3, Mme L. aurait pu mettre en jeu le passage de l’aspect structural vers le procédural à partir de la traduction des écritures algébriques vers celui du langage naturel. Mais elle se limite aux réponses correctes données par les élèves sans mettre en évidence l’outil algébrique.
ii. L’équivalence des expressions légèrement abordée
L’équivalence des expressions algébriques et l’identification de la structure d’une expression sont peu explicitées dans la séquence de Mme L. Une seule tâche du manuel, mettant en jeu le genre Associer a été effectuée (ligne surlignée en bleu dans le tableau 6.1). Il s’agit de la première question de l’exercice 2 de la figure 6.3, résolue et corrigée collectivement au tableau, sans faire intervenir la preuve algébrique ou le contre-exemple. De même, Mme L. ne semble pas mettre en avant l’équivalence de deux expressions algébriques, comme elle aurait pu le faire aussi lors de la résolution des deux activités de découverte des figures 6.1 et 6.2 sans se limiter aux calculs des aires demandés.
Figure 6.3 – Question 2 : Association d’une expression à une phrase en langage naturel et inversement – p. 149 – Manuel P7
Faculté des sciences de l’éducation, U.S.J. 172 iii. L’algèbre des polynômes fréquemment abordé
Le tableau 6.1 montre que les items mettant en jeu des types de tâches constitutifs de l’algèbre des polynômes (lignes surlignées en vert) sont beaucoup plus nombreux que ceux relatifs à la génération et à l’équivalence des expressions algébriques. Dans sa pratique, Mme L. accorde de l’importance à l’algèbre des polynômes et donc à l’acquisition des techniques de calcul algébrique par les élèves et surtout le développement, la factorisation et la réduction d’une expression.
L’enseignante insiste aussi sur la reconnaissance de termes semblables telle qu’elle est proposée dans le manuel. Elle propose en classe un exercice qui vise cet objectif avant de passer à la réduction. Il s’agit de l’exercice 3 ci-dessous :
Exercice 3 – p.149 – Manuel P7
Dans la praxéologie de référence à laquelle nous nous référons (Pilet, 2012), aucun type de tâche ne porte sur la reconnaissance de termes semblables. Bien que la liste des types de tâches ne soit pas exhaustive selon l’auteure, nous n’avons pas ajouté explicitement ce type de tâche parce que nous considérons que la reconnaissance de termes semblables n’est pas une fin en soi, c’est une procédure pour ajouter des monômes lorsqu’on n’a pas encore appris la factorisation d’expressions.
De plus, dans le cours du chapitre 15, ressource à laquelle Mme L. a recours dans son enseignement, la réduction d’une expression algébrique est donnée à partir du calcul de la somme algébrique de monômes semblables, et non pas à partir de la factorisation, introduite dans le chapitre suivant. Nous n’avons pas tenu compte de cette variable dans la catégorisation des items faite dans le tableau 6.1 parce que nous considérons que cette procédure fait appel, implicitement, à la factorisation par un monôme. Nous avons donc considéré que les items de réduction mettent en jeu le type de tâche 𝑇𝐹𝐴−𝑚𝑜𝑛+𝑚𝑜𝑛 Factoriser une somme de monômes pour en donner la forme développée réduite.
Faculté des sciences de l’éducation, U.S.J. 173 En comparant les genres de tâches qui figurent dans la séquence de Mme L. avec ceux constitutifs des praxéologies locales de référence, nous observons que tous les genres de tâches constitutifs de l’OM3, développer, factoriser, réécrire un monôme et calculer, sont enseignés par des items de nombres variés. Pour l’OM1, le genre produire n’est pas abordé, tandis que pour l’OM2, associer est le seul genre de tâche travaillé. Or, la génération et l’équivalence d’expressions ne sont pas explicitées dans les recommandations institutionnelles, ce qui laisse supposer que Mme L., dans son enseignement, tente de mettre en jeu l’outil algébrique de manière assez complète.
b) Le poids accordé à chaque praxéologie locale dans la séquence
Dans la séquence de Mme L., les items effectués mettent en jeu plusieurs genres de tâches constitutifs des trois praxéologies locales de référence. Pour chacun, nous calculons la fréquence par rapport au total d’items résolus. Celle-ci nous renseigne sur l’importance qu’accorde Mme L. à chacune des praxéologies locales et à la variété de genres de tâches qui les composent. Le tableau ci-dessous montre le rapport du nombre d’items de chaque genre de tâches par rapport au total des items travaillés.
Tableau 6.2 – Pourcentage des items résolus par rapport au total d’items par genre de tâche.
OM locale Genres de tâches Nb
d’items En % OM1 Génération des expressions algébriques 𝑇𝑃 Produire. 0 0% 𝑇𝑇 Traduire. 7 8%48 𝑇𝐴 Associer. 9 11%
Total nb d’items relatifs à l’OM1 16 19%
OM2
Équivalence des expressions algébriques
𝑇𝑃𝑟𝑜𝑢𝑣𝑒𝑟−𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣 Prouver 0 0%
𝑇𝑇𝑒𝑠𝑡𝑒𝑟 Tester l’égalité de deux expressions 0 0%
𝑇𝑆𝑡𝑟𝑢𝑐𝑡𝑢𝑟𝑒 Identifier la structure 0 0%
𝑇𝐶ℎ𝑜𝑖𝑠𝑖𝑟 Choisir 0 0%
𝑇𝐴𝑠𝑠𝑜𝑐𝑖𝑒𝑟 Associer. 5 6%
Total nb d’items relatifs à l’OM2 5 6%
OM3 Algèbre des polynômes 𝑇𝐷 Développer. 17 20% 𝑇𝐹 Factoriser. 30 36% 𝑇𝑅 Réécrire un monôme. 14 17% 𝑇𝐶 Calculer. 2 2%
Total nb d’items relatifs à l’OM3 63 75%
Total 84 100%
Faculté des sciences de l’éducation, U.S.J. 174 Nous remarquons que le nombre de genres de tâches de la séquence de Mme L. varie selon la praxéologie. Un seul genre de tâche constitutif de l’OM2 est travaillé explicitement dans la séquence, il correspond à la ligne surlignée en bleu dans le tableau 6.2, tandis que tous ceux constitutifs de l’OM3 dans la praxéologie de référence sont abordés. Ces derniers correspondent aux lignes surlignées en vert.
En analysant le contenu du tableau 6.2 du point de vue des aspects outil et objet de l’algèbre, nous constatons que les deux aspects sont abordés dans la séquence et que les items mobilisant l’outil algébrique constituent environ 20% du total d’items résolus. En effet, la génération des expressions algébriques mobilise l’outil algébrique et l’équivalence des expressions et l’algèbre des polynômes relèvent des objets de l’algèbre.
Le nombre d’items portant sur le calcul de la valeur numérique d’une expression pour une valeur particulière de la variable semble être le plus réduit dans la séquence. En effet, c’est un type de tâche déjà introduit dans la classe précédente selon le programme officiel libanais.
Ainsi, dans la pratique de Mme L., les items effectués en classe sont variés et sont répartis de manière plutôt homogène entre les trois praxéologies locales. Néanmoins, ces items peuvent avoir des niveaux de complexité variés en fonction du niveau de mise en fonctionnement des connaissances en jeu, c’est à cet aspect que nous allons nous attarder dans le paragraphe suivant.
c) Les niveaux de mises en fonctionnement des connaissances
Toutes les tâches n’étant pas équivalentes quant au niveau de mise en fonctionnement (NMF) des connaissances et ne mobilisant pas nécessairement les mêmes connaissances dépendamment de leur niveau de complexité, nous avons choisi de préciser, dans l’analyse des tâches, le NMF des connaissances algébriques en jeu. Cette classification constitue un élément supplémentaire pour caractériser la pratique de chaque enseignant, quant au choix des tâches à réaliser en classe. Elle repose sur l’analyse de l’énoncé afin de déterminer la nature de la mise en fonctionnement nécessaire pour répondre à la question posée. Nous nous référons à Douady (1986) et à Roditi et Salles (2015) et nous distinguons
Faculté des sciences de l’éducation, U.S.J. 175 entre les tâches qui visent le caractère objet et celles qui visent le caractère outil des connaissances. La dimension objet se décompose en deux catégories, calcul et concept, tandis que la dimension outil se décompose en trois catégories, directe, avec adaptation et avec intermédiaire. Ces catégories ont été développées à la section 3.2.
Dans la séquence d’enseignement de Mme L., l’outil algébrique est mobilisé dans quatre exercices, les activités de découverte des deux chapitres et les exercices 2 et 6 du premier chapitre des expressions algébriques. L’analyse des énoncés de ces exercices montre qu’ils nécessitent la mise en fonctionnement directe d’une procédure. Les autres exercices de la séquence relèvent de l’aspect objet de l’algèbre.
Pour la résolution des deux exercices 1 et 3 ci-dessous, les élèves doivent témoigner de la compréhension des concepts de monômes et de monômes semblables, sans les mettre en œuvre. Elle nécessite alors la compréhension qualitative de concept, désignée par Concept (Roditi et Salles, 2015, p.240).
Exercice 1 – p. 149 – Manuel P7
Faculté des sciences de l’éducation, U.S.J. 176 Quant au reste des exercices49 de la séquence, ils sont de l’ordre de calcul (Artigue, 2005) parce qu’ils portent sur des connaissances calculatoires, et ne sont pas mis en relation avec une situation pour laquelle le calcul serait nécessaire en tant qu’outil au service de la résolution (Salles, 2017). Celle-ci nécessite la mise en œuvre d’une technique ou d’une méthode, d’un répertoire de techniques.
Le tableau suivant expose les NMF des connaissances en jeu de chaque exercice de la séquence de Mme L.
Tableau 6.3 – Les NMF des connaissances en jeu dans la séquence de Mme L.
Niveau de mise en fonctionnement Nb de tâches En % OBJET Concept 2 11% Calcul Répertoire 12 67% Flexibilité 0 0% OU TI L Directe 4 22% Adaptation 0 0% Intermédiaires 0 0% Total 18 100%
On constate que les exercices résolus de la séquence de Mme L. ont divers niveaux de complexité et nécessitent la mise en fonctionnement de connaissances algébriques relevant à la fois des aspects outil et objet de l’algèbre.
À travers les tâches qui sont de l’ordre du calcul, Mme L. insiste sur l’acquisition d’un répertoire de calcul chez les élèves, constitué de techniques, de méthodes et de situations de référence, mais ne cherche pas à leur proposer des tâches qui nécessitent un certain niveau de flexibilité dans les calculs (Salles, 2017).
Ainsi, la praxéologie enseignée de Mme L. se caractérise par la diversité de tâches qu’elle comporte tant au niveau de l’existence de genres et de types de tâches constitutifs de la praxéologie de référence, qu’au niveau de la diversité de NMF des connaissances
49 Nous rappelons que, nous ne distinguons pas entre tâche et exercice que lorsque l’exercice est composé de plusieurs tâches de NMF différents, nous le signalons lorsque le cas se présente.
Faculté des sciences de l’éducation, U.S.J. 177 algébriques mises en jeu. Dans le paragraphe ci-dessous, nous décrivons le déroulement du scénario auquel Mme L. a recours dans son enseignement.