L’ÉVOLUTION DE L’ENSEIGNEMENT DE LA GÉOMÉTRIE AU SECONDAIRE
65. G ROUPE ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUES (GEM) 1985
2.2.5 La transposition didactique du calcul vectoriel entre France et pays Anglo-Saxons
Cette section renvoie au travail d’André Pressiat (1999). Après avoir pris en considération des ouvrages publiés en français relatifs au calcul vectoriel, il constate que :
Le calcul vectoriel, organisé comme avant la période des “mathématiques modernes” autour du barycentre et du produit scalaire, se voit alors confier une mission nouvelle : fournir un moyen d’étudier les configu- rations de la géométrie plane (affine, mais également métrique), moyen auquel on n’hésite guère à attribuer le qualificatif de “puissant”. Les choses se déroulent conformément à la culture et aux habitudes de l’ins- titution tant que le barycentre est disponible pour traiter des problèmes d’alignement et de concours ; mais l’évolution des programmes et leur articulation avec ceux du collège amènent à retarder l’introduction de ce dernier : confiants dans la puissance du calcul vectoriel, les auteurs de manuels proposent cependant de résoudre des problèmes d’aligne- ment dans un cadre technologique pauvre, réduit aux règles de calculs dans l’ensemble des vecteurs, et à la caractérisation de l’alignement en termes de colinéarité de vecteurs. Les grosses difficultés rencontrées par les élèves dans la mise en œuvre de telles démonstrations ne re- met guère en cause l’idée que ces exercices constituent un bon départ pour enseigner le calcul vectoriel : divers aménagements de dispositifs didactiques d’aide à l’apprentissage d’un tel emploi des vecteurs sont mis au point et publiés dans des revues ou brochures professionnelles84. Cependant, même si les auteurs des manuels sont confiants dans la puissance du calcul vectoriel, André Pressiat montre que :
Le calcul vectoriel tel qu’il est enseigné au début du lycée en France ne constitue pas un outil “puissant” pour l’étude de problèmes tels que les problèmes d’alignement et l’étude de configurations, essentiellement pour les raisons suivantes :
- La difficulté de la modélisation d’une situation géométrique en termes de vecteurs est sous estimée, du fait de l’apparente proximité entre la désignation des points par les lettres et la notation−−→XY utilisée pour les vecteurs ; l’utilisation dans les manuels du verbe “tradui- re” pour identifier cette phase de modélisation est un indice de cette sous estimation ; en autre termes, le dispositif de travail pour vec- torialiser les figures est trop pauvre ;
- Les techniques utilisées sont complexes, personnalisées, et néce- ssitent souvent une utilisation explicite de la figure qui semble violer le contrat usuel à ce sujet ;
- La technologie est trop fruste pour pouvoir contrôler et justifier des techniques.
L’adjonction aux notations−−→XY de la notation du vecteur “libre” −→u est certes utile pour énoncer les résultats technologiques ; mais elle n’est
d’aucun secours dans les questions qui nous occupent. Le dispositif dans lequel la technologie est élaborée est donc lui aussi trop pauvre85. La notation −−→XY est très utilisée en pratique en France de même que la notation −
→u qui est, pour l’élève, d’un emploi délicat. De plus, on utilise très peu les vecteurs- positions même si la bijection entre l’ensemble des vecteurs et un plan pointé est certes traitée sur le plan technicologico-théorique. Parfois même, souligne-t-on (no- tamment dans les ouvrages universitaires), une telle bijection n’est pas canonique, et le changement de point-origine change l’image d’un vecteur dans le plan pointé, autrement dit, on en souligne les faiblesses.A contrario, dans certains pays anglo- saxons (Allemagne, Grande-Bretagne, États-Unis), s’observe un autre focus ainsi que l’analyse Pressiat :
Au lieu de mettre le calcul vectoriel au service de l’élaboration d’une théorie du barycentre, les organisations mathématiques que nous avons rencontrées dans des ouvrages de niveaux divers en provenance de ces pays mettent l’accent sur la bijection entre le plan (ou l’espace) pointé et l’ensemble des vecteurs : contrairement aux habitudes et à la culture françaises à ce sujet, cette bijection n’est pas seulement considérée au niveau technologique de l’organisation (à ce niveau, toutes les cultures s’accordent) mais également au niveau de techniques, et d’abord du point de vue du dispositif de ces techniques : les vecteurs-positions, qui cohabitent avec les vecteurs notés sous la forme −−→XY par l’intermé- diaire de la relation−−→XY = −→y − −→x , constituent l’outil essentiel mis en oeuvre dans ces techniques ; la technologie est évidemment adaptée en conséquence et on y trouve des énoncés faisant allusion à ces vecteurs- positions. Ces énoncés sont évoqués dans certains ouvrages universi- taires français, mais leur transposition dans l’enseignement secondaire n’a guère été tentée (pp. 461).
C’est ce point de vue qu’illustre le cours de Pedoe, mathématicien contemporain, et dont nous avons décrit le travail à la section 1.5.2.
En résumé, l’analyse de Pressiat montre que l’enseignement du calcul vectoriel en France est concentré sur les aspects technologico-théoriques tandis que les types de problèmes et techniques relèvent de la géométrie analytique. De plus, le bary- centre et le produit scalaire tiennent une place importante dans l’organisation. Ce phénomène peut être expliqué par les habitudes et la culture françaises et de plus, la focalisation sur les problèmes de concours. Deux notations du vecteurs sont uti- lisées :−→AB, d’une part et la notation du “vecteur libre” −→u , d’autre part.
Au contraire, l’enseignement du calcul vectoriel dans les pays anglo-saxons est plus radical et focalisé sur les applications des théories. Dans cet univers, on utilise
le pointage du plan ou de l’espace, ainsi que les vecteurs-position. Pressiat parle alors de géométrie de position.