La recherche d’un formalisme indépendant du choix de repère

Comme le développe Lebeau dans sa thèse46_{, historiquement, le vecteur a d’abord} été qualifié de résumé des coordonnées avant d’être investi dans des recherches de calcul absolu. Parmi les personnes critiquant la méthode analytique, notamment parce qu’elle demande de mettre en place un système de coordonnées bien sou- vent étranger à la configuration de départ, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) songe à une nouvelle algèbre géométrique qui agit directement sur les éléments des figures, tels que les points. Cette algèbre, qui ne devrait pas se fonder sur la géomé- trie élémentaire et devrait être indépendante des coordonnées des points considérés, permet de résoudre “algébriquement” des problèmes géométriques. Cependant, une limitation du travail de Leibniz est qu’il ne prend pas en compte l’orientation des figures et la direction des segments, ce qui empêche ce calcul de devenir réellement opératoire.

Par la suite, Möbius publie son Calcul barycentrique, une forme d’algèbre opé- rant sur les points de l’espace. En parallèle, en 1835, Bellavitis publie son Calcul des Equipollencesdans lequel, pour la première fois, la notion de vecteur est définie comme une classe d’équivalence de bipoints. Ce travail est très marquant car il est le premier où des entités purement algébriques représentent des objets géométriques.

Nous allons faire ici un zoom qui port sur différents façons dont les mathémati- ciens dans l’histoire, de Leibniz à Pedoe, construisent un formalisme indépendant du choix de repère pour mieux comprendre leur souhait de trouver un formalisme indépendant du choix de repère.

ZOOM SUR LES RECHERCHES D’UN FORMALISME INDÉPENDANT DU CHOIX DE REPÈRE DANS L’HISTOIRE Le projet de Leibniz sur la géométrie de position

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) est un grand mathématicien. Il a apporté de nombreuses contributions aux mathématiques, y compris son concept d’une géométrie de situation. Les idées principales de Leibniz étaient contenues dans une lettre datée du Septembre 1679 et envoyée à Chrisrian Huygens. Dans cette lettre, il a écrit :

[...] And I am not afraid to say that there is a way to advance algebra as far beyond what Vieta and Descartes have left us as Vieta and Descartes carried it beyond the ancients. [...] I am still not satisfied with algebra, because it does not give the shortest methods or the most beautiful constructions in geometry. This is why i believe that, so far as geometry is concerned, we still need another analysis which is distinctly geometrical or linear and which will express situation [situs] directly as algebra expresses magnitude directly.

[...] It is well known that nothing is more important in geometry than the consideration of loci. I shall therefore express one of the simplest of these by characters of this kind. The letters of the alphabet will ordinarily signify the points of figures. Letters at the beginning, such asA and B, will express given points ; letter at the end, such as X and Y , unknown points. Instead of using equalities or equations as in algebra, I shall here use relations of congruence, which i shall express by the characterγ.a

Bref, Lebniz montre l’importance de la position en géométrie, puis il repré- sente la notion γ comme une relation de congruence définie comme suit :

- ABC γ DEF means that the triangles ABC and DEF are congruent with respect to the order of their points, and they can occupy exactly the same place, and that one can be applied or placed on the other without changing anything of the two figures except their place.

FIGURE1.18

- For all the poins in the world are congruent to each other ; that is, one can always be put in place of another. But all the points in the world are in the same place. This locus can be ex- pressed thus :Y γ (Y )b

- Let AY γ A(Y ). The locus of all Y ’s will be the surface of a sphere whose center is A and whose radius is AY , which is always the same in length or equal to a given segmentAB or CB. For this reason we can express the same locus as AB γ AY orCB γ AY .

FIGURE1.19

- Let AX γ BX. The locus of all X’s will be a plane. Two points, A and B, being given, to find a third, X, which has the same situation in relation toA as it has to B (that is, AX shall be equal or congruent toBX, since all equal straight lines are congruent, or pointB can be placed on point A without chan- ging the situation it had in relation toX). I assert that all points

X, (X) of a single definite plane extending to infinity will sa- tisfy this condition. But there is no point outside the plane which will satisfy this condition. Therefore this infinitely extended plane will be the common locus of every point in the universe situated in relation toA as it is to B. (It follows that this plane will pass through the midpoint of the straight lineAB, which is perpendi- cular to it)

FIGURE1.20

En résumé, Lebniz est conscient de la question de la position en géométrie mais pour lui, AB et CD sont équivalents (comme on dit maintenant) car ils ont même longueur quelles que soient leurs positions dans l’espace. C’est ce qui l’empêche de considérer l’orientation des figures géométriques. Cela limitera la portée son analyse, comme le dit Lebeau dans sa thèse :

L’ambition de Leibniz est donc bien de fonder un nouveau mo- dèle algébrique pour la géométrie et pas du tout de trouver des écritures qui ne seraient que des réductions ostensives de celles de la géométrie analytique. En outre, la géométrie élémentaire ne doit pas en être un prérequis. Il échoue dans son projet car il ne tient pas compte d’une orientation pour les objets qu’il en- gage. Cependant, ce projet ambitieux restera intéressant dans l’opinion des mathématiciens et sera porté par d’autresc_.

Bellavitis ou l’idée de vecteur géométrique comme classe d’équivalence de bipoint

Giusto Bellavitis (1803 - 1880) était un mathématicien italien. Son apport est l’invention de la méthode de équipollence, une nouvelle méthode de géo- métrie analytique qui est à la fois philosophique et fructueuse. La première publication de Bellavitis sur ce sujet en 1832 insiste davantage sur la méthode que sur les détails et, dans la dernière publication en 1835, il utilise le terme

“équipollence" et donne un exposé complet de sa théorie, dont voici quelques extraitsd

1. Une ligne droite, désignée comme d’habitude par deux lettres, est considérée comme allant de la première à la deuxième, si bien que AB et BA ne doivent pas être considérées comme désignant la même entité, mais comme deux quantités égales ayant des signes opposés. 2. Deux lignes droites sont dites équipollentes si elles sont égales, paral-

lèles et dirigées dans le même sens.

FIGURE1.21

La ligne AB est équipollente à CD et nous exprimons comme suit : AB l CD

AB n’est pas équipollente à BA mais elle est équipollente à BA pris avec un signe négatif, c’est-à-dire

AB l −BA.

On a aussi que AB l −CD, ou en transposant, AB + CD l 0. AB est égal à M N en longueur mais elles ne sont pas équipollentes. Il arrive parfois qu’il soit nécessaire d’indiquer la longueur d’une ligne sans tenir compte de son inclinaison. Dans ce cas, nous disons gr.AB = gr.M N .

3. Si deux ou plusieurs lignes droites sont situées de telle façon que la deuxième extrémité de chacune d’elles coïncide avec la première ex- trémité de celle qui la suit, alors la droite qui forme avec les droites données un polygone (régulier ou non) et qui est tracée de la première extrémité de la première à la dernière extrémité de la dernière est ap- pelée leur somme équipollente (composta-equipollente). Elle est no-

tée à l’aide de signes + intercalés entre les lignes droites à combiner, avec le signe “_{l" indiquant l’équipollence. Ainsi, on a :}

AB + BC l AC AB + BC + CD l AD, etc.

De telles équipollences demeurent vraies lorsqu’on remplace chacune des lignes droites par une ligne droite équipollente, quelles que soient leurs positions dans l’espace. Il en résulte que l’on peut ajouter un nombre quelconque de lignes droites de toutes sortes, et que le résultat ne dépend pas de l’ordre dans lequel on les considère. [...]

4. L’équipollence AB _{l n.CD, où n désigne un nombre positif signifie} que simultanément AB et CD sont parallèles et de même sens, et que leurs longueurs vérifient la relation exprimée par l’équation AB = n.CD.

5. L’inclinaison d’une ligne droite est l’angle que cette ligne droite fait avec une autre ligne droite arbitrairement choisie pour l’origine des inclinations.

FIGURE1.22

Nous prenons comme origine des inclinations, OH, la ligne s’éten- dant de gauche à droite et horizontale. L’inclinaison d’une ligne droite OM est indiquée par la notation inc.OM . AB est équivalent à OM si AB peut être transporté vers OM , ou

inc.AB = inc.OM.

L’ange HOM est toujours considéré comme à partir de la direction OH pour atteindre la direction OM . Des inclinaisons de droite et au-

dessus, c’est-à-dire dans le sens HM N ILR, sont positifs. Des incli- nations prises dans le sens opposé, c’est-à-dire dans le sens RLIN M , sont négatifs. L’angle M ON est égal à l’inclinaison de ON moins l’inclinaison de OM

angleM ON = inc.ON − inc.OM

L’angle M ON est positif, mais l’angle N OM est négatif, car il est égal à inc.OM − inc.ON .

6. L’égalité GH _l AB.CD_EF (1) exprime que

la ligne GH a non seulement une longueur exprimée par l’équation gr.GH = gr.AB.gr.CD

gr.EF mais son inclinaison doit être

inc.GH = inc.AB + inc.CD − inc.EF

exactement comme si nous voulions prendre le logarithme et nous écrivons inc. à la place du log.

(1) peut également être écrit GH.EF _{l AB.CD.}

7. Dans les équipollences, les termes sont transposés, substitués, ajou- tés, soustraits, multipliés, divisés, etc., bref toutes les opérations al- gébriques qui seraient légitimes dans le traitement des équations sont également possibles avec les équipollences et les équipollences qui en résultent sont toujours vraies. Comme nous l’avons dit auparavant, des équipollences non-linéaires ne peuvent se référer qu’à des figures contenues dans un même plan.

En résumé, comme dit Michael J. CROWE (traduit par Pressiat dans sa thèsee ), on voit apparaître dans la théorie de Bellavitis un calcul ayant beaucoup de ressemblance avec ceux qui rendent compte de la représentation géomé- trique des nombres complexes. Sur ce point précis, Bellavitis signale que ses première idées sur cette méthode des équipollences lui étaient venues après la lecture de travaux de l’Abbé Buée, mais qu’il avait alors pensé que les vérités géométriques ne pouvaient pas reposer sur la théorie des nombres imaginaires. L’un des buts de sa théorie était de rendre son autonomie à la géométrie : ses droites (ou segments) orientés étaient considérés comme des entités géométriques, et non pas comme des représentations.

Signalons enfin que Bellavitis a longuement tenté d’étendre sa théorie à l’es- pace tri-dimensionnel, mais qu’il n’y est pas parvenu.

vecteur

Cette section renvoie au travail de Desmond Fearnley-Sanderf sur la contri- bution de Grassmann en mathématiques. Nous présentons ici une partie de ce travail en traduisant avec détails pour comprendre ce que fait Grassmann avec l’idée d’orientation et la notion de vecteur.

Dans son ouvrage fondamental, l’Ausdehnungslehre (1844), Grassmann dé- crit les considérations géométriques qui l’ont conduit à la théorie que nous appelons aujourd’hui l’algèbre linéaire. Partant la formule

AB + BC = AC (3)

que l’on pourrait trouver dans les vieux textes de la géométrie pour décrire une relation entre les longueurs à partir des points colinéaires A, B et C, avec B entre A et C, il a réalisé que cette formule reste valable indépendamment de l’ordre des trois points alignés, à condition qu’on fixe

BA = −AB; (4)

par exemple, si C est entre A et B, (3) résulte du fait que AB = AC + CB = AC − BC

Pendant plusieurs années, Grassmann étudiait attentivement les consé- quences de (4), qui est la propriété spéciale qui définit une algèbre extérieure. Son développement de la géométrie est compliquée, et nous n’en donnons ici que certains de ses résultats relatifs au calcul vectoriel.

Commençant avec le matériau de base de la géométrie, des chiffres et des points, nous permettons de les combiner par les opérateurs formels de somme et le produit, en supposant les règles algébriques élémentaires pour ces opé- rateurs, mais à la condition que (4) vaut pour tous les points A et B et que

αA = Aα (5)

pour tous les nombres réels α et des points A. De (4) on en déduit que, pour chaque point A, on a A2 = 0 et donc un carré d’un point est un nombre, c’est-à-dire

0 n’est pas un point (6)

Nous avons besoin d’une règle pour interpréter géométriquement les entités qui se produisent dans cette algèbre formelle. Pour une paire de points A et B, et des nombres réels positifs α et β avec α + β = 1, on écrit

Ensuite, nous avons immédiatement

AP = βAB, P B = αA and AP + P B = AB.

Ces formules suggèrent que P doit être interprétée comme l’unique point qui divise le segment de ligne de A à B dans le rapport β pour α. Nous interprétons donc P par la bijection α −→ αA + βB entre [0, 1] et toutes les autres interprétations géométriques découlent de ceci. Pour donner un exemple immédiat, l’interprétation de P = αA + βB avec α 6= 0 et β > 0 et α + β = 1 est donné par la formule suivante :

B = −α βA + 1 βP lorsque −α_β ≥ 0,1 β ≥ 0 et − α β + 1 β = 1.

La droite passant par A et B est l’ensemble de tous les points P = αA + βB avec α + β = 1, et par conséquent nous supposons que

si A et B sont des points et α + β = 1 alors αA + βB est un point Ensuite, la différence de deux points est “un vecteur" et l’interprétation est forcé par l’identité

B − A = C − D ⇐⇒ 1

2(A + C) = 1

2(B + D) La somme d’un vecteur X et un point A est un point, puisque

A + X = B ⇐⇒ X = B − A

Et le produit d’un nombre et d’un vecteur est un vecteur, étant donné que pour X = B − A nous avons αX = P − A où P = (1 − α)A + αB, cela implique également que αX doit être interprété comme ayant la même direction que X et α fois sa longueur.

Voici un théorème classique : si, dans un triangle dont les sommets A, B et C, les points D et E, respectivement, divisent le côté de A à B et le côté de A à C par des rapports égaux, la droite de D à E est parallèle à celle de B à C et le rapport de leurs longueurs est le nombre approprié. La preuve est dans une ligne

D = αA + βB, E = αA + βC =⇒ D − E = β(B − C)

[...] Ces exemples donnent une indication, si pas plus, de la puissance de l’interprétation géométrique que fait Grassmann de l’algèbre linéaire. Ils se situent en géométrie affine, mais en introduisant un produit intérieur on peut

obtenir des preuves algébriques transparentes des théorèmes de la géométrie euclidienne et la trigonométrie.

Bien qu’en 1844, il avait été au courant de leur travail, Grassmann a reconnu plus tard que, à certains égards, sa théorie a été inspirés, en particulier et entre autres, par le concept de l’addition de vecteurs de Bellavitis, et par le calcul barycentrique de Mobius. Mais personne ne s’était approché de l’élégante simplicité de la formule

(C − B) + (B − A) = C − A

qui, pour Grassmann, suppose l’interprétation de la somme de deux vecteurs. En résumé, pour Grassmann, B − A n’est autre que le vecteur AB, c’est-à- dire qu’il a remplacé la notation AB employée par Bellavitis par la notation B − A et il utilise cette notation dans ses preuves. Il donne aussi le concept de la multiplication extérieure qui correspond à peu près au produit vectoriel moderne et la multiplication intérieure qui correspond au produit scalaire moderne.

Burali-Forti, Marcolongo (1909)

En 1909 Burali-Forti et Marcolongo ont commencé leur collaboration dans l’étude des transformations linéaires de vecteurs et ils ont publié le premier livre italien à propos du calcul vectoriel à savoir “Elementi di calcolo vetto- riale con numerose applicazioni alla geometrica, alla mecanica e alla fisica- Mathematica", qui a été presque immédiatement traduit en français en 1910 par S. Lattès, et publié par la librairie scientifique Hermann.

Dans la première partie de ce livre, les auteurs ont proposé un système vecto- riel avec la définition de vecteurs utilisant des points et aussi donné la règle de modification les égalités vectorielles. Dans la deuxième partie, ils ont donné des applications de ce système, comme ils le précisent dans la préface :

Dans la première partie du livre que nous présentons au pu- blic mathématique, nous exposons systématiquement, et sous une forme absolue, autonome, les fondements du calcul vectoriel en n’introduisant que les éléments suivants : nombres réels, points, vecteurs, formes de première espèce de Grassmann (ou bary- centres de Möbius) ; nous indiquons les applications immédiates de ce calcul à des questions de géométrie bien connues, en cher- chant surtout à bien montrer comment l’usage opportun des vec- teurs et de composantes vectorielles permet de présenter la géo- métrie analytique sous une forme géométrique absolue et d’éli- miner tout cet algorithme indirect qui, né avec les coordonnées, doit disparaître nécessairement dès qu’il devient possible d’en- visager les éléments géométriques en dehors de tout système fixe de référence.

Dans la deuxième partie nous donnons des applications de ce système vectoriel, que nous pouvons appeler système vectoriel minimum ; nous développons quelques questions de géométrie différentielle, de mécanique et de physique mathématique : nous les avons choisies exprès parmi les questions bien connues, afin de montrer la supériorité énorme du calcul vectoriel absolu sur les méthodes anciennes et indirectes des coordonnées.

[...] Sous les aspects que nous venons d’indiquer, notre livre est le premier traité italien de calcul vectoriel. Il diffère profondé- ment, par la méthode et par les notations, de tous les traités pu- bliés antérieurement dans ces dernière années, surtout en Alle- magne. Il en diffère par la méthode, car notre but est d’opérer d’une façon absolue sur les éléments géométriques, tandis que d’habitude les vecteurs, et les opérations sur les vecteurs, ap- paraissent simplement comme des abréviations d’écriture, des tachygraphes des coordonnées. Il en diffère par les notations, car les notations rationnelles que nous adoptons sont confor- mes, presque dans leur totalité, aux notations proposées par les fondateurs du calcul vectoriel. Pour la genèse et l’histoire de nos notations - que nous voyons adopter avec un véritable plaisir par plusieurs de nos collègues, dans leurs enseignements - nous ren- voyons le lecteur aux notes placées à la fin du livre ou aux notes, plus étendues, publiées par nous dans les Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo.

Dans le premier chapitre, les auteurs donnent la notation du vecteur et l’éga- lité de deux vecteurs comme suit :

Nous emploierons, avec Hamilton et Grassmann, la notation B − A

qu’on lit “B moins A", pour représenter le vecteur déterminé par les pointsA et B et dirigé de A vers B. Le mot vecteur a été introduit par Hamilton.

Les deux vecteursB − A et C − D sont dits égaux, si le milieu deAD coïncide avec le milieu de BC.

Ils donnent aussi des règles habituelles du calcul algébrique qui sont appli- cables aux vecteurs comme suit :

Avec la notation adoptée plus haut, l’égalité des deux vecteurs s’exprime parB−A = D−C et, si on applique à cette égalité les règles habituelles du calcul algébrique relatives au signe moins,

on obtient les égalités

B − D = A − C, C − A = D − B, C − D = A − B, qui expriment effectivement l’égalité de nouveaux vecteurs : Il suffit en effet de remarquer que le milieu de AB coïncide avec