Des difficultés d’apprentissage de la notion de vecteur

2.2.4.1 La définition de vecteur au secondaire

Voyons ici la définition du vecteur dans Astro-Math 476

Le vecteur −→u dont un représentant est déterminé par les points A et A0 est défini par

- Sa direction : La direction de la droiteAA0 - Son sens : celui de la flèche qui va deA vers A0 - Sa norme : la longueur du segmentAA0.

Après avoir analysé la différence entre les travaux d’Euclide et d’Hilbert, on peut constater que cette définition est une définition descriptive typique du travail d’Eu- clide. On ne comprend pas le fond la portée de cette définition quand il n’y a pas de construction de la définition au secondaire, c’est-à-dire qu’il faut l’admettre comme on en a déjà discuté dans la section auparavant. En plus, cette définition est basée sur le travail d’Euclide parce qu’on utilise le mot “longueur” dedans, alors que le calcul vectoriel peut être utilisé en géométrie affine. De plus, dans l’espace, et même dans le plan, on ne donne pas la définition du sens et de la direction donc, comme on l’a dit dans la section supra, on néglige avec cette définition très rapide de nombreux paliers conceptuels sans comprendre d’où elle vient la définition.

En fait, on peut construire la définition du vecteur avec les axiomes d’espace vectoriel selon la méthode axiomatique de Hilbert comme suit :

Un espace vectoriel sur K, ou K-espace vectoriel, est un ensemble E, dont les éléments sont appelés vecteurs, muni de deux lois :

Une loi de composition interne “+” : E2 _{−→ E, appelée addition}

Une loi de composition externe à gauche “·” : K × E −→ E, appelée multipli- cation par un scalaire telles que les propriétés suivantes soient vérifiées.

1. (E, +) est un groupe abélien, autrement dit la loi “+” est commutative et associative, elle admet un élément neutre, pouvant être noté0 ou 0E, appelé

vecteur nul et tout vecteur v a un opposé, noté ˘v. C’est-à-dire que pour tous vecteursu, v et w de E :

u + v = v + u; u + (v + w) = (u + v) + w 0E + v = v; u + (−u) = 0E

2. La loi “·” vérifie les propriétés suivantes : elle est distributive à gauche par rapport à la loi “+” de E et à droite par rapport à l’addition du corps K, elle vérifie une associativité mixte (par rapport à la multiplication dansK),

l’élément neutre multiplicatif du corpsK, noté 1, est neutre à gauche pour “·”. C’est-à-dire que pour tous vecteurs u, v de E et tous scalaires λ, µ :

λ · (u + v) = (λ · u) + (λ · v); (λ + µ) · u = (λ · u) + (µ · u). Cependant, on peut voir que la définition ci-dessus est abstraite pour l’élève au secondaire et on doit utiliser ici des mots qui n’existent que dans les manuels uni- versitaires et pour comprendre cette définition, il faut pas mal d’informations pré- paratoires préalables, sinon les élèves ne peuvent pas la saisir.

Il convient de rappeler ici l’existence d’un phénomène appelé “transposition di- dactique”par Chevallard (1985) et mentionné dans le traité de Schneider (2008) :

Entre les institutions où les savoirs sont créés (par exemple, un dépar- tement universitaire de mathématique en ses activités de recherche) et les institutions où ils sont enseignés et appris (les écoles secondaire, les départements de mathématiques en leurs activités pédagogiques, etc.), un savoir fait l’objet de transformations qui en déterminent sa transpo- sition à des fins d’enseignement suivant le schéma suivant :

Objet de savoir ⇒ objet à enseigner ⇒ objet d’enseignement qui montre qu’un objet de savoir doit déjà avoir été retenu comme objet digne d’être enseigné avant de subir une quelconque transformation.

Une analyse de la transposition didactique explique pourquoi on ne peut pas en- seigner la définition du vecteur comme ce qui est pratiqué aujourd’hui par les ma- thématiciens. Dans le manuel de mathématique de 4ème année qui est écrit par Werbrouck et Wambersie (1983), la définition du vecteur est présentée comme des couples équipollents mais il n’y a pas assez des explications et donc, comme on peut le voir dans l’histoire, ça ne marche pas avec cette définition au secondaire et on doit la remplacer par la définition qu’on donne plus haut. Même si avec cette dé- finition “descriptive”, les élèves ont beaucoup de difficultés à étudier le vecteur. On décrit dans la section suivante la recherche de Le thi Hoai Chau comme un exemple qui étage cette conclusion.

2.2.4.2 Des difficultés d’apprentissage de la notion de vecteur

Le Thi Hoai Chau (199777 et 200178) met en évidence plusieurs obstacles d’ap- prentissage du concept de vecteur chez des élèves du secondaire au Vietnam et en France.

77. LETHI1997. 78. LETHI2001.

Une première difficulté qu’ils rencontrent est de sortir du domaine métrique pour considérer les vecteurs non seulement sous l’aspect de leur norme mais aussi sous celui de l’orientation dans l’espace. Un deuxième niveau de difficulté concerne l’ap- propriation des caractéristiques d’orientation des vecteurs, à commencer par la dis- tinction entre “sens” et “direction” et leur articulation : à une direction corres- pondent deux sens et un sens ne détermine pas une direction.

D’abord, il faut comprendre ce qui se passe dans les programmes concernant l’étude du vecteur en France et au Viet Nam. L’auteur explique dans la première partie que, au Viet Nam, l’objet “vecteur” est introduit en première (classe de dixième79) et troisième (classe de douzième80) année de lycée :

Ce n’est qu’en dixième, c’est-à-dire en première année de lycée, avec l’introduction des vecteurs, qu’apparaît pour la première fois l’orien- tation des objets géométriques. A cette occasion, on définit les coor- données d’un vecteur dans un repère. En onzième (deuxième année de lycée) on étudie la géométrie dans l’espace seulement par la méthode synthétique. Enfin, l’enseignement de la géométrie en classe de dou- zième (troisième et dernière année de lycée) est consacré à l’extension du calcul vectoriel dans l’espace puis à la méthode analytique.81

Concernant la définition du vecteur, l’acteur analyse le manuel de Van Nhu Cuong, qui est le manuel le plus utilisé dans le nord du Viet Nam et dans ce manuel, un vec- teur est défini par le segment orienté :

Dans le manuel étudié, un vecteur est défini par le segment orienté, qui est ensuite caractérisé essentiellement par ses trois caractéristiques de longueur, direction et sens. Ces trois caractéristiques apparaissent lors de la définition de l’égalité de deux vecteurs, qui utilise simultanément le langage mathématique et le langage de la vie quotidienne :

“Deux vecteurs−→AB et−CD sont égaux si−→

a. Les deux droites (AB) et (CD) sont parallèles ou confondues et telles que sur ces droites le sens deA à B est le même que celui de C à D.

b. Les longueurs des vecteurs−→AB et−−→CD sont égales : k−→ABk = k−−→CDk.”. [...] Le vecteur est donc un segment orienté et son sens est celui de l’origine vers l’extrémité. Dans une démarche dont le point de départ est le segment orienté, le passage à la classe d’équivalence est diffici- lement concevable par les élèves. On peut alors prévoir le risque que les élèves confondent le vecteur et ses différents représentants. D’un point de vue pragmatique, cela n’a pas forcément de conséquence né-

79. La classe de dixième correspond à la classe de seconde en France (élève de 15 à 16 ans). 80. Cette classe correspond à la terminale en France.

faste dans l’utilisation de l’outil vectoriel, mais pose problème du côté du savoir mathématique visé [...].82

Tandis qu’en France, la notion de vecteur est liée à la translation et donc, comme l’a constaté Le Thi Hoai Chau, ces obstacles d’apprentissage a avoir une dimension épistémologique comme celle liée au passage de grandeurs scalaires aux grandeurs vectorielles peuvent aussi interférer avec des obstacles de type didactique. Ainsi,

“le fait que la notion de vecteur soit en France liée à la translation semble favoriser la compréhension de l’équivalence des segments orien- tés. Par contraste, l’utilisation faite au Vietnam du segment (orienté) pour introduire la notion de vecteur semble aggraver la difficulté à sor- tir du modèle métrique”.83

Au-delà du relevé et de l’analyse de ces obstacles concernant la notion de vecteur, nous pensons qu’il faut les situer par rapport à une organisation praxéologique plus globale sur laquelle nous reviendrons après.

ZOOM SUR L’EXPERIMENTATION DE LE THI HOAI CHAU Maintenant, on va examiner l’expérimentationa _{conduite au Viet Nam et en} France pour voir les difficultés rencontrées par les élèves en apprenant la notion du vecteur. Le test a été proposé au Viet Nam et en France dès que les élèves ont eu terminé le programme sur les vecteurs. Ce test comportait trois questions, comme suit :

Question 1. Combien peut-on définir de vecteurs différents à partir de trois points distincts A,B,C (parmi lesquels aucun point n’est le milieu de deux points restants) ? Quels sont ces vecteurs ? Question 2. Soit un hexagone régulier ABCDEF dont le centre est O.

82. Ibid., p. 163. 83. Ibid., p. 163.

FIGURE2.10

a. Les conclusions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justi- fiez votre réponse.

Conclusion Vraie Fausse Justification −→ AB =−CD =−→ −−→DE =−→EF =−→F A −→ AB = 1 2 −−→ AD

a. Parmi tous les vecteurs dont l’origine et l’extrémité sont prises dans l’ensemble des points A, B, C, D, E, F, O indiquez tous les vecteurs qui sont égaux au vecteur−→AB.

Question 3. Les écritures suivantes sont-elles correctes ou non ? Justifiez votre réponse.

Ecriture Vraie Fausse Ne peut Justification pas conclure − →_{a >} −→_{0 ,} −→_{a 6=} − → 0 −→ AB +−BC >−→ −→AC (A, B, C ne sont pas alignés)

D’abord, ces questions sont ouvertes : elles ne guident pas les élèves dans une direction donnée et les obligent à argumenter. De plus, pour minimiser l’im- portance de l’aspect visuel, l’auteur ne propose pas des représentations com- portant des flèches. Elle utilise donc comme configuration un hexagone ré- gulier sur laquelle ne sont représentés que des segments et des points : seules les questions sont formulées dans le registre vectoriel. De plus, l’hexagone régulier a la particularité que ses demi-diagonales ont une longueur égale aux côtés. Les élèves doivent alors voir dans l’hexagone régulier six vecteurs distincts dans trois directions différentes.

Avant d’analyser le résultat de l’expérimentation, l’auteur explique les stra- tégies possibles au sens de Brousseau(1986)b_{comme suit :}

– Stratégie Norme (N) : Il y a compréhension d’une forme de classe d’équivalence, mais seul le critère d’égalité des longueurs est retenu lors de l’examen de l’équivalence des objets. La stratégie qui en dé- coule consiste à ne retenir du vecteur que sa norme. Cette stratégie n’est gagnante que pour la comparaison de vecteurs de même direc- tion et de même sens.

– Stratégie Sens (S) : Cette stratégie se fonde sur une forme de compré- hension de la classe d’équivalence, les conditions qui la déterminent étant cette fois l’égalité des longueurs et d’une seule caractéristique d’orientation, le “sens”. Le terme “sens du vecteur” n’est dans ce cas pas compris avec la signification mathématique, mais examiné d’une façon contingente : sens de gauche à droite, de haut vers bas... – Stratégie Direction=Sens (D=S) : Dans cette stratégie, l’équivalence

repose bien sur l’égalité des longueurs, des directions et des sens des représentants. Mais il y a amalgame des deux mots “sens” et “di- rection”, qui se traduit par l’emploi soit d’un seul mot -“sens” ou “direction”-pour les deux caractéristiques d’orientation, soit simulta- nément des deux mots considérés comme inséparables, ce qui conduit à des redondances. Un tel amalgame peut s’expliquer par le fait que, dans la langue courante, les deux notions ne sont pas toujours dis- tinguées. Par exemple, dans plusieurs situations, le terme “direction” comprend déjà une idée de “sens” : on dit par exemple “ils se sé- parent et partent dans deux directions opposées”, ce qui, mathémati- quement, correspond à la même direction mais à deux sens opposés. On dit aussi de projectiles qu’ils sont partis dans “tous les sens”, ce qui traduit plutôt l’idée de direction différentes.

– Stratégie Vecteur (V) : Cette stratégie consiste à considérer de façon correcte et pertinente les trois caractéristiques (longueur, direction, sens) pour vérifier une égalité vectorielle. En particulier, la comparai- son du sens ne s’effectue que sur des vecteurs ayant même direction. Cette stratégie dénote une conceptualisation correcte de la notion de vecteur.

– Stratégie Parallélogramme (P) : Cette stratégie consiste à vérifier l’égalité de deux vecteurs par la configuration en parallélogramme des deux bipoints les représentant. Notons qu’il faut prendre en compte les parallélogrammes aplatis ou les parallélogrammes ayant éventuel- lement deux ou plusieurs points confondus.c

Nous analysons ici en détail le but de chaque question à la lumière des stra- tégies pour mieux comprendre les difficultés que les élèves doivent affronter. La première question est d’énumérer tous les vecteurs établis à partir de trois points distincts (parmi lesquels aucun point n’est le milieu de deux points restant). Cette question a l’air facile mais une réponse correcte demande la

prise en compte par l’élève du vecteur nul, élément de nature plus algébrique que géométrique. Presque deux tiers des élèves ignorent le vecteur nul dans leur réponse et voici l’analyse qu’en fait Le Thi Hoai Chau :

Le vecteur nul joue le rôle d’élément neutre du groupe additif de l’espace vectoriel, qui est une structure algébrique, pas géomé- trique. L’élève ne se pose sans doute pas la question de l’exis- tence du vecteur nul lorsqu’il fait des calculs vectoriels, parce qu’il travaille avec les vecteurs comme avec des nombres. [...] La difficulté à reconnaître le vecteur nul semble avoir une même racine épistémologique que celle à sortir du modèle mé- trique pour étudier la géométrie d’un nouveau point de vue. Le segment nul et la translation identique n’ont pas de sens pour les élèves lorsqu’ils restent dans le cadre de la géométrie métrique.d La deuxième question concerne l’égalité de plusieurs vecteurs. Il faut rappe- ler ici que, d’un point de vue mathématique, le vecteur géométrique est une classe d’équivalence soit de segments soit de bipoints donc :

La compréhension de l’égalité des vecteurs repose sur une com- préhension plus ou moins formelle de la notion de classe d’équi- valence, qui entraîne un usage étendu et parfois ambigu des termes relatifs à l’égalité, et sur une compréhension des condi- tions qui déterminent l’équivalence - égalité des longueurs, des directions et des sens, ou reconnaissance de la configuration du parallélogramme.e

L’acteur a choisi des vecteurs de même norme qui se différencient par une seule caractéristique d’orientation (direction, ou sens dans les cas de vecteurs de même direction) car :

Le mot “vecteur” est un support d’information qui contient trois composantes inséparables, la longueur étant une notion bien connue des élèves, alors que la direction et le sens sont des no- tions nouvelles et difficiles à coordonner pour eux.f

Le résultat est que près d’un quart des élèves testés considèrent l’égalité des longueurs comme seul critère (c’est-à-dire ils mettent en œuvre la stratégie N) pour décider de l’équivalence de segments et cela confirme aussi la diffi- culté des élèves à sortir du modèle métrique en géométrie. De plus, un grand nombre d’élèves ont du mal à s’approprier les deux caractéristiques d’orien- tation du vecteur mais “les difficultés dans l’appropriation des deux caracté- ristiques d’orientation du vecteur semblent être plus sérieuses pour les élèves vietnamiens que pour les élèves français”. Cela peut-être dépend du choix de la manière d’enseigner la notion de vecteur dans les deux pays car, comme explique l’auteur, en France, la notion de direction d’une droite est enseignée

avant les vecteurs ; de plus, l’enseignement en classe de seconde insiste sur les deux notions de direction et de sens des vecteurs. A l’opposé, la notion de direction n’est pas introduite dans le manuel vietnamien : les élèves viet- namiens ne disposent que du parallélisme des droites et du mot “sens” pour désigner les deux caractéristiques du vecteurs.

Il y a aussi des problèmes concernant la stratégie D=S car c’est difficile pour les élèves de distinguer “sens” et “direction” et de comprendre que la com- paraison de sens ne peut se faire que pour des vecteurs ayant même direction. Concernant la troisième question, il existe deux types de réponses différentes liées aux choix d’enseignement effectués dans chacune des institutions étu- diées. Comme analyse Le Thi Hoai Chau, les élèves vietnamiens “restent dans un modèle métrique et disent qu’un vecteur est toujours positif ( ou −

→_{a >} −→_{0 car la norme de −}→_{a est plus grand que 0)” et les élèves français} “pensent qu’un vecteur peut être positif ou négatif : d’après eux, on peut comparer deux vecteurs de même direction par leur mesure algébrique en référence à un vecteur unité. C’est le problème concernant la stratégie N. Il semble donc que le modèle unidirectionnel orienté soit présent chez de nom- breux élèves français et ait du mal à être dépassé.” Notons ici que ces erreurs s’observent dans l’histoire aussi car, comme dit l’auteur :

Le passage du segment à des entités vectorielles, plus riches et plus abstraites, représente de toute évidence un saut informa- tionnel et conceptuel dans l’étude de la géométrie. Notons que ces résultats peuvent être rapprochés des études historiques re- latives à l’apparition du concept de vecteur et du développement du calcul vectoriel, qui montrent comment la résistance du mo- dèle métrique en géométrie a été source de difficultés dans la genèse du calcul vectoriel.

Le type d’erreurs qui provient de la seule prise en compte de la longueur a des racines épistémologiques profondes : la diffi- culté du passage des grandeurs scalaires (longueur) à la prise en compte des caractéristiques d’orientation des entités vectorielles paraît ne pas pouvoir être évitée, quels que soient les choix d’en- seignement.g

De plus, concernant la stratégie P, aucun vietnamien n’utilise la stratégie P et très peu de français l’exploitent. Comme dit Lounis(1987), le concept de bipoint de semble pas très prégnant et opératoire pour la grande majorité des élèves. Les élèves préfèrent, assez spontanément, mobiliser les caracté- ristiques vectorielles à leurs yeux mieux perceptibles à travers leur repré- sentation symbolique (segment de droite fléché), donc plus concrète ou plus maniable. Le Thi Hoai Chau pense donc que les éléments de direction, de sens, de longueur du vecteur sont plus opérationnels pour les élèves que la

configuration du parallélogramme. Cependant, nous ne sommes pas d’accord avec cette idée car nous pensons que la raison est d’origine du choix d’ensei- gnement du concept de “vecteur”. En fait, car on enseigne le vecteurs soit avec les trois caractéristiques “longueur”, “direction” et “sens”, soit avec la translation qui conduit à ces trois caractéristiques aussi, les élèves vont bien sûr utiliser ces trois caractéristiques vectorielles comme objets opératoires. Il faut donc les enseigner les vecteurs en utilisant la configuration du parallé- logramme et comparer les deux choix ensemble. Nous y reviendrons dans le dernier chapitre.

En conclusion, si l’on utilise la définition de vecteur comme un segment orienté avec les trois caractéristiques de longueur, direction et sens (comme on le fait au Viet Nam), les élèves ne peuvent pas sortir du modèle métrique et considérer les objets en jeu non seulement sous l’aspect de mesure mais aussi sous l’aspect d’orientation dans l’espace. De plus, si la notion de vec- teur est liée à la translation comme on le fait en France, les élèves peuvent comprendre la question de la direction mais en la séparant du problème du sens, ou ils peuvent comprendre la question du sens limité à une seule di- rection, c’est-à-dire qu’ils restent dans un modèle unidirectionnel orienté et ne peuvent pas prendre en compte toutes les directions orientées. Par consé- quent, le calcul vectoriel et la géométrie en général au secondaire aujourd’hui