L’égalité chez Hilbert

Concernant l’égalité des segments et des angles, Hilbert a donné un groupe d’axiomes nommé les axiomes de congruence (Le groupe III). D’abord, pour la congruence des segments, on a les trois axiomes suivants :

Definition. “Segments stand in a certain relation to each other and for its des- cription the words “congruent” or “equal” will be used.”

III.1. “If A, B are two points on a line a, and A0 is a point on the same or on another line a0 then it is always possible to find a point B0 on a given side of the linea0 through A0 such that the segment AB is congruent or equal to the segment A0B0. In symbolsAB ≡ A0B0.

“This axiom requires the possibility of constructing segments. Its uniqueness will be proved later. A segment was simply defined as a set of two points A, B and was denoted byAB or BA. In the definition the order of the two points was not specified.”

III.2. “If a segmentA0B0 and a segmentA00B00are congruent to the same segment AB, then the segment A0B0is also congruent to the segmentA00B00, or briefly, if two segments are congruent to the third one they are congruent to each other.”

III.3. “On the linea let AB et BC be two segments which except for B have no point in common. Furthermore, on the same or on another linea0letA0B0 andB0C0 be two segments which except forB0also have no point in common. In that case, if

AB ≡ A0B0 and BC ≡ B0C0 then

AC ≡ A0C0.

27. TSD : Théorie des situations didactiques de Guy Brousseau TAD : Théorie anthropologique du didactique de Yves Chevallard

FIGURE1.7

En résumé, l’axiome 1 montre la possibilité de construire un segment avec un “endpoint”fixé et congruent avec un segment donné, l’axiome 2 montre la transi- tivité de la congruence des segments et l’axiome 3 supplée l’absence de mesures et donne celle de la somme des segments en disant que, si les deux segments sont congruents leurs sommes le sont.

Analysons ici les différences entre les travaux d’Eulide et d’Hilbert. Selon Robin Hartshorne28_{, tandis que Euclide exprime certains de ses postulats en termes de} construction, les axiomes de Hilbert sont existentiels.

Par exemple, pour l’axiome III.1 d’Hilbert, l’existence du point B0 (figure 7) est considéré comme un axiome et Hilbert n’utilise pas la règle et le compas pour construire les choses. Par contre, Euclide a essayé de construire ce point B0 men- tionné dans l’axiome III.1 dans sa proposition 3, livre I. Voyons le détail :

PROPOSITION III

Deux droites inégales étant données, retrancher de la plus grande une droite égale à la plus petite.

SoientAB et C (fig. 8) les deux droites inégales données dont la plus grande soitAB : il faut de la plus grande AB retrancher une droite qui soit égale à la plus petiteC.

Du pointA conduisez une droite AD égale à la droite C (prop. 2)29, et du centre A et avec un intervalle AD décrivez la circonférence DEF (dem. 3)30_.

Puisque le point A est le centre du cercle DEF , la droite AE sera égale à la droiteAD ; mais la droite C est égale à la droite AD : donc les deux droites AE, C sont égales chacune à la droite AD : donc la droiteAE est égale à la droite C.

28. HARTSHORNE2000.

29. D’un point donné conduire une droite égale à une droite donnée.

FIGURE1.8

Donc les deux droites inégales AB, C ayant été données, il a été re- tranché de la plus grande AB une droite AE égale à la plus petite C ; ce qu’il fallait faire.

En résumé, Euclide utilise la construction pour démontrer les axiomes de congruence d’Hilbert tandis que chez Hilbert, on peut considérer les axiomes comme des donnés et aussi comme des outils pour établir d’autres propriétés, ses théorèmes devenant des constructions produites avec ces outils.

Ensuite, pour la congruence des angles, on a les deux axiomes suivants :

Definition. “Angles stand in a certain relation to each other, and for the descrip- tion of which the word “congruent” or “equal” will be used.”

III.4. Let _{∠(h, k) be an angle in a plane α and a}0 a line in a planeα0 and let a definite side ofa0 inα0 be given. Leth0 be a ray on the linea0 that emanates from the pointO0. Then there exists in the planeα0 one and only one rayk0such that the angle_{∠(h, k) is congruent or equal to the angle ∠(h}0, k0) and at the same time all interior points of the angle_∠(h0, k0) lie on the given side of a0. Symbolically

∠(h, k) ≡ ∠(h0, k0) . Every angle is congruent to itself, i.e.,

∠(h, k) ≡ ∠(h, k) is always true.

Definition. “An angle with a vertex B on one of whose sides lies a point A and on whose other side lies a point_{C will also be denoted by ∠ABC or briefly ∠B.”}

III.5. If for two trianglesABC and A0B0C0the congruences AB ≡ A0B0 , AC ≡ A0C0 , _{∠BAC ≡ ∠B}0A0C0 hold, then the congruence

∠ABC ≡ ∠A0B0C0 is also satisfied.

On voit bien que, Hilbert a distingué clairement la congruence des segments et la congruence des angles car, en fait, il y a certaines relations équivalentes différentes parmi les grandeurs, par exemples la congruence des segments, la congruence des angles, la similarité des triangles.... Par contre, Euclide a donné toujours le mot “égal” pour tous les cas et donc, l’axiome 2 d’Euclide31 devient problématique dans le cas d’angles puisque, en général, on ne peut pas définir la somme de deux angles. Voyons ici un exemple32:

If_{∠BAC is an angle, and if a ray}−AD lies in the interior of the angle−→ ∠BAC, then we will say that the angle ∠BAC is the sum of the angles ∠DAC and ∠BAD

FIGURE1.9

However, if we start with the two given angles, there may not be an angle that is their sum in this sense. For one thing, they may add up to a straight line, or “two right angles” as Euclid says, but this is not an angle. Or their sum may be greater than180 deg, in which case we get an angle, but the two original angles will not be the interior of the new angle.