Transformée de Fourier rapide (FFT)

Afin de valider ces résultats quantitatifs obtenus grâce à la procédure de traitement d'images et d'identification des cavités individuelles, ils ont été comparés à des résultats obtenus par transformée de Fourier rapide (ou FFT en anglais pour « Fast Fourier Transform ») sur les volumes de tomographie et de laminographie.

1.3.5.1. Présentation de la technique

Le principal avantage de la FFT réside dans le fait que cette technique ne nécessite pas de procédure de seuillage puisqu'elle est fondée sur l'analyse directe des images brutes. Ainsi, les incertitudes et biais introduits par l'étape de seuillage sont évités. La méthode ne sera présentée que très brièvement, le lecteur pouvant se référer aux travaux de thèse de Blaise [Blaise, 2011], aux publications associées [Blaise et al., 2010] [Blaise et al., 2012] mais aussi aux travaux de thèse de Poulet [Poulet, 2017]. Une image (en niveaux de gris ou non) présente des caractéristiques fréquentielles. Ces caractéristiques sont mises en évidence grâce à la FFT car les images sont traitées dans l'espace réciproque et donc analysées en termes de représentation fréquentielle (et non plus classiquement en représentation spatiale de l'intensité réelle qui permet de visualiser les niveaux de gris). Alors des informations sur la texture de l'image (et donc sur les périodicités, les objets et leurs orientations) sont contenues dans le spectre de la transformée (qui correspond à l'amplitude ou au module d'amplitude) [Poulet, 2017] :

- les basses fréquences correspondent aux zones de niveau de gris homogène ;

- les hautes fréquences correspondent aux contours des objets, aux zones de changement brutal de niveau de gris.

La mise en œuvre de cette méthode sur un volume de tomographie ou de laminographie donné ne permet pas de localiser les différentes valeurs de fréquence au sein de ce volume. Chaque VIS (sous cube de 50 µm³ dans lequel l'état de cavitation est homogène) doit donc été traité individuellement et la procédure est présentée sur la Figure 3.5. Un VIS est constitué de l'empilement de plusieurs images 2D. Cet empilement peut être un empilement selon la direction z d'images dans le plan (rθ) (Figure 3.5.a) ou un assemblage selon la direction θ d'images dans le plan (rz) (Figure 3.5.b). Le choix du plan d'étude déterminera donc quelles dimensions des cavités et quel facteur de forme associé sont étudiés.

Les images dans le plan (rθ) donnent des informations sur les diamètres d_R et d_θ alors que les images dans le plan (rz) donnent des informations sur le diamètre dR et la hauteur hZ. Le module d'amplitude de la FFT est calculé pour chaque image 2D (aussi appelée « slice » ou « tranche » de l’image 3D).

Ensuite, la moyenne du module de la FFT de toutes les slices du VIS est calculée, ce qui permet d'obtenir des résultats de FFT beaucoup moins bruités que ceux obtenus pour une slice seule. Les motifs FFT obtenus sont représentés en échelle logarithmique dans l'espace réciproque et sont centrés afin que la fréquence nulle soit au centre de l'image.

Une première analyse qualitative peut alors être menée. Dans le plan (rθ) (Figure 3.5.a), le motif FFT obtenu est circulaire et donc isotrope, ce qui est en accord avec la forme des cavités observées sur l'image en intensité réelle : les diamètres d_R et d_θ des cavités sont donc similaires et le facteur de forme dans ce plan est proche de 0. Dans le plan (rz) (Figure 3.5.b), le motif FFT obtenu n'est plus circulaire, ce qui correspond bien à la forme des cavités dans ce plan qui sont plutôt rectangulaires. La partie verticale du motif renseigne sur l'arrangement particulier des cavités en colonnes parallèle à la direction de sollicitation z qui est un autre élément de la texture de l'image en intensité réelle.

Figure 3. 5 Présentation de la méthode de la transformée de Fourier rapide (FFT) sur un volume d’intérêt statistique (VIS) selon différents plans. (a) Plan (rθ) et (b) Plan (rz).

1.3.5.2. Traitement des données et résultats obtenus

Les motifs obtenus peuvent donc être étudiés de manière qualitative comme cela vient d'être évoqué.

De plus, le traitement des données de FFT permet d'étudier de manière quantitative l'anisotropie de l'état de cavitation [Blaise, 2011]. Pour illustrer cette procédure, le VIS central d'une éprouvette NT4 sera étudié dans le plan (rz) (Figure 3.6.a). L'image FFT doit, dans un premier temps, être transposée dans un repère de coordonnées polaires (p, φ) dont le centre coïncide avec le centre de l'image.

Ensuite, une intégration angulaire est réalisée et, pour un rayon p donné, les valeurs d'intensité sont moyennées sur tous les φ [Poulet, 2017]. Ces opérations aboutissent au tracé du graphique sur la Figure 3.6.b, sur lequel l'intensité moyenne I (en échelle logarithmique) est représentée en fonction de la fréquence spatiale f_SP. Un seul pic est observé, à la fréquence spatiale f_SP Pic, alors que la présence de pics multiples peut permettre de définir la taille des objets étudiés [Blaise, 2011]. Les cavités au sein d'un VIS présentent donc certainement une dispersion de taille trop importante pour que la méthode FFT permette d'en définir une valeur caractéristique. En revanche, l'anisotropie des cavités est accessible.

Afin d'étudier cette anisotropie des cavités observées sur les images en intensité réelle, l'évolution du logarithme de l'intensité I à la fréquence spatiale du pic (f_SP Pic) est tracée en fonction de la coordonnée angulaire φ (Figure 3.6.c). Les angles 0° et ± 180° correspondent à la direction verticale de l'image FFT (direction z dans ce cas) et les angles ± 90° correspondent à la direction horizontale de l'image FFT (direction r dans ce cas). Sur la Figure 3.6.c, il est important de remarquer la forme de la

50 µm

courbe : l'intensité est minimale aux angles 0° et ± 180° et maximale aux angles ± 90°. Cela traduit le caractère anisotrope des cavités dans le plan (rz), avec une dimension des cavités selon la direction z beaucoup plus faible que la dimension selon la direction r. Blaise a proposé dans ses travaux de thèse [Blaise, 2011] de quantifier cette anisotropie par un facteur de forme similaire à celui déjà défini précédemment :

𝐴_𝐹𝐹𝑇 = (𝐼₀ – 𝐼₉₀) / (𝐼₀+ 𝐼₉₀) = (𝐼_𝑍 – 𝐼_𝑅) / (𝐼_𝑍+ 𝐼_𝑅) (3.3)

avec I₀ = I_Z l'intensité à l'angle 0° et donc selon la direction z dans cet exemple ; I₉₀ = I_R l'intensité à l'angle 90° et donc selon la direction r dans cet exemple.

Figure 3. 6 Etude de l'anisotropie de la cavitation grâce à la méthode FFT. (a) Images en intensité réelle et fréquentielle (b) Evolution de l’intensité fréquentielle après intégration angulaire (I) en fonction de la fréquence spatiale (fSP) (c) Variation angulaire de l'intensité à la fréquence spatiale

du pic fSP Pic.

Le pic d'intensité étant parfois difficile à déterminer sur la Figure 3.6.b, le facteur de forme A_FFT a été calculé pour les points juste avant (fSP Pic-1 en rouge) et juste après (fSP Pic+1 en vert) le supposé pic.

b) c)

a)

Cette procédure a été mise en place afin de déterminer les variations spatiales de A_FFT et de les comparer avec les facteurs de forme correspondant obtenus grâce au traitement d'images par segmentation. Les évolutions spatiales (ici l'évolution radiale dans la section nette d'une éprouvette NT4 déformée en traction monotone) des facteurs de forme calculés en ces trois positions sont tout d'abord superposées sur le même graphique et présentent le même profil (Figure 3.7.a). Ces données expérimentales sont ensuite représentées par une fonction polynomiale dont les coefficients sont déterminés en minimisant l'erreur entre les données expérimentales et la représentation polynomiale par la méthode des moindres carrés. Cette procédure aboutit donc à l'obtention de gradients continus de facteurs de forme des cavités déterminés par la méthode FFT pouvant être comparé à ceux déterminés après segmentation et analyse des images en intensité réelle. Sur la Figure 3.7.b, l'évolution radiale du facteur de forme défini simplement par le rapport I₀ / I₉₀ est donnée à titre indicatif afin de montrer que les résultats sont similaires et représentent bien les mêmes phénomènes.

Figure 3. 7 Représentation par une fonction polynomiale de l'évolution spatiale du facteur de forme des cavités déterminé par la méthode FFT.

a) b)

2. Eprouvettes entaillées NT4

Un état de contrainte multiaxial favorise l’apparition et le développement des phénomènes de cavitation au sein des matériaux polymères semi-cristallins. Les éprouvettes entaillées NT4 utilisées tout au long de ce travail de thèse permettent de produire un tel état de contrainte multiaxial et de le maitriser (et donc de faciliter l’observation et l’étude de l’état de cavitation). Cet état de contrainte est considéré comme un état à triaxialité modérée puisque le taux de triaxialité des contraintes maximal au centre des éprouvettes NT4 au début des essais est évalué à 0,54. L’étude de ces phénomènes de cavitation en traction monotone et en fluage au sein d’éprouvettes NT4 ainsi que leur comparaison ont fait l’objet de plusieurs publications [Cayzac et al., 2013] [Laiairinandrasana et al., 2016b] [Selles et al., 2016a]. Il est important de noter que ces études et les résultats présentés dans la suite concernent le matériau PA6 dans son état sec. Par ailleurs, ces études ont été enrichies par le développement et l’utilisation de nouveaux outils comme notamment la technique de la FFT présentée précédemment.