7.5 Mesure de l’amplitude des oscillations au sommet de la d´eformation
7.7.5 Th´eorie faiblement non lin´eaire de l’att´enuation de l’onde au niveau
pe0
(hhi) `a la valeur moyenne de la hauteur atteinte par le sommet de la d´eformation, on consid`ere la pente moyenne ¿³∂p2
i0 vue par la d´eformation lors d’une oscillation de l’onde capillaire. On constate que ce rai-sonnement n’am´eliore pas la chute de l’att´enuation. Seul le plateau inf´erieur du cycle d’hyst´er´esis a ´et´e trait´e.
7.7.5 Th´ eorie faiblement non lin´ eaire de l’att´ enuation de l’onde au niveau de la d´ eformation
Dans ce paragraphe, nous allons `a nouveau calculer l’att´enuation de l’onde capillaire, mais cette fois dans le cadre d’une th´eorie faiblement non lin´eaire tenant compte de la forme
R´esultats exp´erimentaux
de la d´eformation. Dans un deuxi`eme temps, nous allons voir que cette th´eorie ne permet pas d’expliquer pourquoi l’att´enuation d´epend du plateau de hauteur sur lequel se trouve le point de fonctionnement, c’est-`a-dire pourquoi la zone 3 des graphes exp´erimentaux 7.28
`a 7.31 ne se trouve pas dans le prolongement de la zone 1. Ensuite, nous allons pr´esenter une th´eorie alternative expliquant l’att´enuation de l’onde par la pr´esence de la d´eformation d’interface sans n´ecessiter la pr´esence de la cavit´e acoustique. Nous montrerons au para-graphe 7.8 que cette th´eorie ne suffit pas `a expliquer l’att´enuation des ondes capillaires, ce qui d´emontrera que celle-ci est due principalement `a la r´etroaction passive par la cavit´e acoustique.
Th´eorie faiblement non lin´eaire
Reprenons le calcul du paragraphe 7.3, qui avait ´et´e trait´e dans le cadre d’une th´eorie lin´eaire, et que nous allons ici retraiter dans le cas d’une th´eorie faiblement non-lin´eaire.
Pour simplifier, nous consid´erons ici un probl`eme `a une dimension : une onde plane se propage sur une interface fluide d´eform´ee, la d´eformation ´etant ici invariante par translation le long d’une des directions horizontales (figures 7.36 et 7.37).
0
Fig. 7.36 – D´eformation d’interface non perturb´ee. Dans ce paragraphe, on consid`ere que la d´eformation est inva-riante par translation dans la direction perpendiculaire `a la feuille.
Fig. 7.37 – D´eformation de l’interface perturb´ee par une onde capillaire plane incidente.
On noteh0(x) le profil de la d´eformation non perturb´ee etη(x, t) =η0(x) exp (i(ωt−kx)) celui de l’onde capillaire. h(x, t) =h0(x) +η(x, t) est le profil de l’interface r´esultant de la superposition de l’onde capillaire et de la d´eformation.
La diff´erence de pression entre les deux cˆot´es de l’interface en une position x et `a un
instant t donn´es s’´ecrit, l’indice 1 d´esignant l’eau et l’indice 2 d´esignant l’air : On suppose que l’amplitude de l’onde capillaire est suffisamment faible pour que l’on puisse d´evelopper cette expression `a l’ordre 1 en ∂η/∂x :
P1(x)−P2(x) = −σ∂2h
Ce calcul faiblement non lin´eaire pr´evoit la mˆeme att´enuation th´eorique de l’onde capillaire au sommet de la d´eformation que le calcul lin´eaire
Les points B1 et B2 sont suffisamment loin de l’axe pour que les effets de la pression de radiation ne s’y fassent plus sentir. L’interface y est donc plane. Aussi, cette expression devient en xB :
P(B1)−P(B2) = −σ∂2η
∂x2 (7.47)
= σk2η0(xB) exp (i(ωt−kxB)) (7.48) (7.49) en supposant que l’´echelle caract´eristique de variation de η0 est grande devant la longueur d’onde Λ de l’onde capillaire.
Au sommet de la d´eformation, ∂h∂x0 = 0, donc on obtient
P(A1)−P(A2) =−σκ0(0) +σk2η0(0) exp (iωt) (7.50) On obtient donc exactement les mˆemes ´equations que pr´ec´edemment (´equations 7.1 et 7.2).
Le fait qu’elles n’aient pas ´et´e modifi´ees dans ce calcul faiblement non-lin´eaire par rapport
R´esultats exp´erimentaux
au calcul lin´eaire vient de la nullit´e de la pente de la d´eformation non-perturb´ee ∂h∂x0 loin de la d´eformation et en son sommet, qui annule les termes correctifs dans l’´equation 7.46.
La suite du calcul, concernant le calcul de la pression hydrostatique et de la pression de radiation, n’est pas modifi´ee par l’introduction de ce terme non-lin´eaire. Aussi, les
´equations 7.6 et 7.7 ne sont pas modifi´ees, et le calcul faiblement non-lin´eaire donne par cons´equent exactement le mˆeme r´esultat que le calcul lin´eaire concernant l’att´enuation de l’onde capillaire au sommet de la d´eformation. Il ne permet donc pas d’expliquer les ´ecarts exp´erience-th´eorie que nous avons observ´es.
Att´enuation de l’onde capillaire sur les bords de la d´eformation.
Consid´erons maintenant les points C1 et C2, situ´es infiniment pr`es de l’interface, res-pectivement dans l’eau et dans l’air, sur le bord de la d´eformation. En xC, ∂h∂x0 n’est plus nul et Par le mˆeme raisonnement que dans le paragraphe 7.3, on calcule la diff´erence de pression entre les points B etC : En soustrayant ces deux ´equations et en y introduisant les ´equations 7.48 et 7.51, on calcule
−Π(xC) + (ρ1−ρ2)g¡ Par cons´equent, l’´equation 7.54 devient
−
d’o`u il r´esulte que
η0(xB)e−ikxB
soit On constate que l’att´enuation th´eorique de l’onde capillaire sur les bords de la d´efor-mation est diff´erente de son att´enuation au sommet de la d´eford´efor-mation. En particulier, il y a une renormalisation de la tension interfacialeσef f = σ
1+(∂h∂x0)2 3/2 : la tension interfaciale effective sur les bords de la d´eformation est plus faible que la tension interfacialeσ loin de la d´eformation ou `a son sommet.
On pourrait penser que cette variation de tension interfaciale effective, due uniquement
`a la pr´esence de la d´eformation et non `a l’effet de cavit´e, peut expliquer une att´enuation de l’onde au sommet de la d´eformation : en effet, la variation de tension interfaciale effective pourrait induire une diffusion de l’onde capillaire, qui augmenterait avec|σef f −σ|et donc avec la hauteur de la d´eformation. `A cause de cette diffusion sur les bords de la d´eformation, l’onde capillaire incidente au sommet de la d´eformation serait d’amplitude plus faible que l’onde capillaire ´emise par le batteur. Ce raisonnement ne suppose pas la pr´esence de la cavit´e acoustique pour expliquer l’att´enuation de l’onde capillaire. Il ne permet cependant pas d’expliquer que l’att´enuation de l’onde capillaire d´epend de la fr´equence de l’onde capillaire.
Le but du paragraphe suivant est d’´etudier la diffusion de l’onde capillaire au niveau de la d´eformation pour v´erifier que l’hypoth`ese d’une renormalisation deσ par la d´eformation ne suffit pas `a expliquer l’att´enuation de l’onde.