bes-selien d’amplitude mod´ er´ ee
3.4.1 Mise en ´ equations
Consid´erons l’exp´erience repr´esent´ee sur la figure 3.1, o`u le faisceau acoustique besselien
´emis verticalement par le transducteur est focalis´e sur l’interface entre deux fluides. On observe alors une d´eformation de l’interface fluide semblable `a celle photographi´ee sur la figure 3.17 et sch´ematis´ee sur la figure 3.25.
M
h(r)
r
Fluide A Fluide B
Onde acoustique incidente h(r)
0 M A
B
g
r
Fig. 3.25 – D´eformation d’une interface fluide par la pression de radiation d’une onde acoustique
On noteA le fluide inf´erieur et B le fluide sup´erieur. Soit h(r) la hauteur de l’interface par rapport `a sa hauteur au repos `a la distance r de l’axe du faisceau acoustique.
La pression de radiation tend `a d´eformer l’interface. Elle s’oppose par cons´equent `a la tension interfaciale et `a la gravit´e, qui tendent `a l’aplatir. Soient MA et MB deux points infiniment proches de l’interface situ´es `a la distance r de l’axe, respectivement dans les fluides A et B. La diff´erence de pression entre ces deux points vaut, suivant la loi de Laplace :
PA−PB =−σκ(r) (3.13)
D´eformation d’une interface fluide par la pression de radiation acoustique
σ d´esignant la tension de surface et κ la courbure de l’interface : κ(r) = 1 On fait ici l’hypoth`ese que la d´eformation est de petite amplitude et que le faisceau incident arrive en incidence normale.Pj, avecj =Aouj =B, est la somme de la pression hydrostatique P0 −ρigh (P0 d´esignant la pression `a l’interface au repos) et de la pression acoustique lagrangienne moyenne hEji s’exer¸cant sur le cˆot´e j de l’interface, ´egale `a la densit´e volumique d’´energie acoustique. Par cons´equent,
PA−PB = (ρB−ρA)gh(r) +hEA(r)i − hEB(r)i (3.15) Or, hEA(r)i − hEB(r)i est ´egal `a la pression de radiation Π(r) s’exer¸cant sur l’interface (´equation 2.121. Ici, c’est l’interface entre les deux fluides qui joue le rˆole de l’obstacle). La condition d’´equilibre de l’interface s’´ecrit par cons´equent :
(ρA−ρB)gh(r)−σκ(r) = Π(r) (3.16)
ou encore
∆ρgh(r)−σκ(r) = Π(r) (3.17)
∆ρ=ρA−ρB d´esignant le contraste de densit´e entre les deux fluides.
Ici, nous nous int´eressons `a de petites d´eformations. Aussi, on peut consid´erer que h′(r)≪1. Il en r´esulte qu’on peut consid´erer que
∆r d´esignant l’op´erateur laplacien en coordonn´ees cylindriques.
Aussi, l’´equilibre 3.17 peut s’´ecrire
∆ρgh(r)−σ∆rh(r) = Π(r) (3.20)
Or,
Π(r) = hEA(r)i − hEB(r)i (3.21) Dans la suite, il va ˆetre plus commode d’utiliser non pas les indices A et B d´esignant respectivement les fluides inf´erieur et sup´erieur, mais les indices 1 et 2 d´esignant respecti-vement le fluide d’o`u vient l’onde incidente et le fluide vers lequel elle se dirige. Deux cas sont possibles :
L’onde se propage de bas en haut en venant du fluide inf´erieur : dans ce cas, le fluide A est le fluide 1 et le fluide B est le fluide 2 : ρA =ρ1, cA=c1, ρB =ρ2 etcB=c2. L’onde se propage de haut en bas en venant du fluide sup´erieur : dans ce cas, le fluide
A est le fluide 2 et le fluide B est le fluide 1 : ρA =ρ2, cA=c2, ρB =ρ1 etcB=c1. Le tableau suivant r´esume ces deux cas. R = ³
ZA−ZB
ZA+ZB
´2
et T = (Z4ZAZB
A+ZB)2 d´esignent res-pectivement les coefficients de r´eflexion et de transmission en intensit´e de l’interface, en incidence normale, hEi(r)i d´esigne la densit´e volumique d’´energie acoustique incidente `a l’interface etpi(r, t) d´esigne la pression acoustique incidente.
Cas ´etudi´e L’onde vient du fluide inf´erieur A L’onde vient du fluide sup´erieur B Le facteurA est d´efini par l’expression
Π(r) = 2A p2i(r)®
(3.22) On retrouve l’expression ´etablie par Landau [9]
Π(r) = 2hEi(r)iρ21c21+ρ22c22−2ρ1ρ2c21 au signe n´egatif pr`es lorsque l’onde vient du fluide sup´erieur. Cela vient du fait que Landau d´efinit la pression de radiation comme la composante normale `a l’interface de l’impulsion perdue par l’onde acoustique par unit´e de temps et d’aire. Autrement dit, il la d´efinit par Π(r) = hE1(r)i − hE2(r)i = hEB(r)i − hEA(r)i lorsque l’onde acoustique vient du fluide sup´erieur B. Cela explique la diff´erence de signe, car nous avons ici d´efini la pression de radiation comme ´etant ´egale `a hEA(r)i − hEB(r)i dans tous les cas. L’´equation 3.20 devient, en y introduisant l’´equation 3.22
∆ρgh(r)−σ∆rh(r) = 2A
pi(r)2®
(3.26) Or, le champ de pression incident `a l’interface est donn´e par l’expression1
pi(r, t) = 2pi0
pi0 ´etant l’amplitude de la pression acoustique incidente au point focal. Il en r´esulte que
∆ρgh(r)−σ∆rh(r) = 4Ap2i0
1Ceci est une hypoth`ese tr`es forte dans le cas o`u l’interface est r´efl´echissante. En effet, dans ce cas, l’onde acoustique incidente est la superposition de l’onde ´emise par le transducteur et des r´eflexions successives qui, apr`es s’ˆetre r´efl´echies sur l’interface puis sur le transducteur, reviennent vers l’interface. Rien n’indique alors que ces ondes aient la mˆeme structure besselienne que l’onde ´emise par le transducteur. Cependant, cette hypoth`ese donne des r´esultats tout `a fait raisonnables, comme la suite nous le fera constater.
D´eformation d’une interface fluide par la pression de radiation acoustique
3.4.2 R´ esolution exacte de l’´ equation
Pour r´esoudre cette ´equation diff´erentielle, nous allons maintenant calculer la trans-form´ee de Hankel de cette expression. Par d´efinition, la transtrans-form´ee de Hankel d’une fonc-tion f(r) s’´ecrit [10] :
f(k) =˜ Z ∞
0
f(r)J0(kr)rdr (3.29)
f(r) est la transform´ee de Hankel inverse de ˜f(k) et s’´ecrit f(r) =
Z ∞
0
f˜(k)J0(kr)kdk (3.30)
La transform´ee de Hankel du laplacien cylindrique d’une fonction f vaut
∆grf(k) =−k2f˜(k) (3.31)
, l’´equilibre de l’interface devient, dans l’espace de Fourier :
¡∆ρg+σk2¢h(k) = 4Ap˜ 2i0φ(k)˜ (3.32)
(sur les propri´et´es de cette fonction, voir l’annexe A en page 217).
En conclusion, le profil de hauteur et la hauteur enr = 0 de la d´eformation sont donn´ees par les expressions
3.4.3 Une r´ esolution approch´ ee de l’´ equation 3.28
On peut cependant simplifier ces expressions en approximant le faisceau acoustique besselien par un faisceau gaussien comme indiqu´e sur la figure 3.26.
1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5
Fig. 3.26 – Comparaison d’un profil besselien (y= 4³
J1(x) x
´2
avecx= πrλ, en trait plein), et d’un profil gaussien (y=e−2r2/ω20 avecω0 = 0,86λ, en pointill´es).
On fait alors l’approximation empirique 4
avec ω0 = 0,86λ. Cette approximation revient `a remplacer la source de taille finie par une source gaussienne d’extension infinie.
En effet, comme l’indique la figure 3.26, cette approximation d´ecrit tr`es bien le centre du faisceau, o`u la densit´e d’´energie acoustique est maximale (la densit´e d’´energie acoustique au maximum du lobe secondaire vaut moins de 2% de la densit´e d’´energie acoustique en r = 0). La pression de radiation ´etant directement la diff´erence de densit´e d’´energie acoustique entre les deux fluides, cette approximation d´ecrit tr`es bien le profil de pression de radiation Π(r).
Dans le cadre de cette approximation, l’´equation 3.28 devient
∆ρgh(r)−σ∆rh(r) =Ap2i0e−2r2/ω02 (3.39)
et le profil de hauteur de la d´eformation est alors h(r) = Ap2i0ω20
Interpr´etation de ces r´esultats
La hauteur de la d´eformation vaut, en notant lc=q σ
∆ρg la longueur capillaire,
t dt est la fonction exponentielle int´egrale.
En posant β= 1/l2c et µ=ω20/8, on d´eduit de ce r´esultat que h(0) = Aω02p2i0
8σ eBo/8E1(Bo/8) (3.48)
en notant Bo = (ω0/lc)2 le nombre de Bond acoustique, carr´e du rapport de la grandeur caract´eristique de l’onde acoustique (le col du faisceau) et de la longueur capillaire de l’interface. De ce r´esultat, on d´eduit que le sens dans lequel la d´eformation pousse ne d´epend que du signe de A. Ce signe ne d´epend pas n´ecessairement du sens de propagation de l’onde, comme nous allons le v´erifier dans le paragraphe 3.5, ce qui explique que sur certaines interfaces, le sens de la d´eformation ne d´epende pas du sens de propagation de l’onde acoustique.
3.4.4 Comparaison des r´ esultats exact et approch´ e
On peut comparer les r´esultats pr´edits par les expressions exacte 3.36 et approch´ee 3.42 du profil de la d´eformation sur la figure 3.27, mod´elisant la d´eformation d’une interface eau-air par une onde acoustique de fr´equence 2,46 MHz et d’amplitude 0,93 MPa.
On d´eduit de cette courbe que l’approximation du faisceau besselien par un faisceau gaussien est bien justifi´ee, les deux profils obtenus ´etant tr`es proches. En particulier, l’ex-pression approch´ee d´ecrit bien le milieu de la d´eformation et la hauteur de celle-ci. Dans la suite, j’utiliserai toujours cette approximation dans les calculs statiques.
On peut voir sur la figure 3.28 que le profil th´eorique qui vient d’ˆetre calcul´e (avec l’approximation du faisceau gaussien) est en tr`es bon accord avec l’exp´erience.