6.2 Mod´elisation de l’hyst´er´esis
6.2.3 Equilibre m´ecanique
Dans tout ce chapitre, nous consid´erons une interface eau-air, l’onde acoustique venant de l’eau. Nous n´egligeons alors ρ2 devant ρ1 et ρ2c2 devant ρ1c1. Nous noterons alors ρ la masse volumique de l’eau et c la vitesse du son dans l’eau.
Mod´elisons d’abord la d´eformation de cette cavit´e par la pression de radiation. Comme pr´ec´edemment, le temps caract´eristique de relaxation de la d´eformation ´etant d’une dizaine de millisecondes, la d´eformation de l’interface eau-air ´evolue adiabatiquement pendant les rampes de pression de radiation. Par cons´equent, comme dans tout ce qui pr´ec`ede, sa forme axisymm´etriqueh(r) r´esulte de la comp´etition entre la pression de radiation d’une part et la gravit´eg et la tension superficielle σ d’autre part. h(r) v´erifie donc l’´equation 3.42.
h(r) = p2i0ω20 4ρc2
Z ∞
0
J0(kr) exp³
−k28ω02´
ρg +σk2 kdk (6.1)
et la hauteur de la d´eformation sur l’axe du transducteur vaut h=h(r= 0) = p2i0ω02
8σρc2 exp µBo
8
¶ E1
µBo 8
¶
(6.2) o`u E1(x) =R∞
x
exp(−u)
u du et Bo=ω02ρg/σ.
Mod´elisons d’autre part la cavit´e acoustique limit´ee par le transducteur et la surface libre de l’eau comme un r´esonateur de P´erot-Fabry `a une dimension (figure 6.6).
L 0 L +h 0
h
Fig. 6.6 – Mod´elisation de la cavit´e acoustique (`a gauche) par un r´esonateur de P´erot-Fabry plan (`a droite) dont l’´epaisseur est la distance entre le fond du transducteur et le sommet de la d´eformation.
L’amplificateur de puissance envoie un signal ´electrique de puissance Pe(t) au trans-ducteur, qui `a son tour ´emet une onde acoustique de puissance P(t) ∝ Pe(t). Le faisceau acoustique ´emis par le transducteur est totalement r´efl´echi par l’interface (dont le coeffi-cient de r´eflexion en amplitude vautR=−1) et revient vers le transducteur, o`u une partie du faisceau est `a nouveau r´efl´echie vers l’interface et une autre partie est convertie par la couche pi´ezo´electrique du transducteur en signal ´electrique. Grˆace `a l’exp´erience pr´esent´ee dans l’annexe C (paragraphe C.1), nous avons pu estimer le coefficient de r´eflexion en amplitude du transducteur `a R′ =−0,38±0,05.
Typiquement, l’amplitude de pression acoustique entrante au point focal vautP = 0,04
`a 1,4 MPa. La surface libre de l’eau, situ´ee au foyer du transducteur, est d´eform´ee par la pression de radiation, qui vaut (expression 3.24) :
Π(r) = 2 ρc2
pi(r, t)2®
t (6.3)
o`upi(r, t) =pi(r) cos(2πf t) est le champ de pression du faisceau incident au point focal, ρ est la masse volumique de l’eau et c est la vitesse du son dans l’eau.
En consid´erant que l’´energie acoustique incidente est totalement r´efl´echie par la partie plane de la d´eformation proche de l’axe du faisceau et que l’onde r´efl´echie reste plane, on s’attend `a ce qu’il y ait r´esonance lorsque 2(L0 +h) = nλ avec n entier (L0 ´etant la longueur de la cavit´e en l’absence de d´eformation, et h la hauteur de la d´eformation).
Plus pr´ecis´ement, la pression acoustique incidente est la somme des pressions acous-tiques de tous les faisceaux se dirigeant vers l’interface eau-air. On note pj(r, t) la pression
Mod´elisation de l’hyst´er´esis
acoustique du je faisceau r´efl´echi vers l’interface `a une distance r de l’axe et `a l’instant t. j = 0 correspond au faisceau entrant dans la cavit´e acoustique. Son amplitude vaut pe(r) = 2pe0
J1(πrλ)
(πrλ) . φ = 4π(L0 +h)/λ est le d´ephasage que subit l’onde lors d’un aller-retour dans la cavit´e. L’onde incidente sur l’interface eau-air, qui r´esulte des interf´erences de toutes les ondes j incidentes sur l’interface, `a pour expression
pi(r, t) =
qui peut s’´ecrire sous la forme
pi(r, t) =
L’amplitude pi de la pression incidente `a l’interface d´epend donc de la hauteur hde la d´eformation suivant l’expression Par ailleurs, nous avons d´ej`a vu (´equation 6.2) que la hauteur de la d´eformation ´etait proportionnelle `a p2i0, o`upi0 =pi(r= 0) :
Les ´etats stationnaires de la cavit´e v´erifient simultan´ement la loi interf´erentielle 6.10 et l’´equation d’´equilibre m´ecanique 6.12. Pour une valeur de pe0 donn´ee, la hauteur de la d´eformation est donc d´efinie par l’intersection des deux courbes d´efinies par les ´equations 6.10 et 6.12. Pour d´eterminer graphiquement comment ´evolue(nt) le(s) point(s) de fonc-tionnement de la cavit´e avec pe0, il est judicieux de repr´esenter ces deux lois dans la
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0
1 2 3
h (mm) (p i0 / p e0)2
P1 P
2 P
3
P4
A
B
C
D
E
F
G
H
Fig. 6.7 – Mod´elisation de l’hyst´er´esis acoustique. La courbe de r´esonance de la cavit´e P´erot-Fabry est d´ecrite par l’´equation 6.9. Elle est trac´ee pour une onde acoustique se propageant dans l’eau, de fr´equencef = 2,5079 MHz et pour une longueur L0 de la cavit´e au repos telle que 2L0/λ est un entier. La d´ecroissance des pics de cette courbe lorsque h augmente mod´elise la d´efocalisation du faisceau acoustique par la d´eformation (annexe C). Les droites repr´esentent la relation lin´eaire entre la hauteur h de la d´eformation et la pression de radiation (cf Eq. 6.12) pour des pressions entrantes P1 < P2 < P3. Les points noirs, blancs et gris repr´esentent respectivement les points d’´equilibre stable, instable et marginal de la surface libre.
repr´esentation (pi0/pe0)2 =f(h) (figure 6.7). En effet, dans cette repr´esentation, la courbe d’Airy traduisant la r´esonance de l’onde acoustique dans la cavit´e P´erot-Fabry ne d´epend pas de l’amplitude pe0 de l’onde ´emise par le transducteur (´equation 6.10) alors que la droite repr´esentant la r´eponse de la hauteur de la d´eformation `a la pression de radiation (´equation 6.12) a un coefficient directeur qui d´ecroˆıt avecpe0. Ainsi, quandpe0 varie comme indiqu´e sur la figure 5.12, la courbe de r´esonance de l’interf´erom`etre n’est pas modifi´e alors que la pente de la droite varie.
La loi interf´erentielle 6.10 et l’´equation d’´equilibre m´ecanique 6.12 sont repr´esent´ees sur la figure 6.7. Les points d’intersection repr´esentent les points d’´equilibre du syst`eme acousto-m´ecanique, dont la stabilit´e est ´etudi´ee au paragraphe qui suit.