2.3 La pression de radiation
2.3.5 Cas de Langevin et cas de Rayleigh : rˆole du milieu ext´erieur
D´efinition des deux cas
Les ´etudes ´evoqu´ees dans le chapitre 1 (celle de Rayleigh, reprise par Brillouin, et celle de Langevin) ´etudient en fait deux cas diff´erents :
– Le cas de Rayleigh : l’onde acoustique n’interagit pas avec le milieu ext´erieur (par exemple si elle est d’extension infinie ou si elle est confin´ee entre des parois fixes).
– Le cas de Langevin : l’onde acoustique interagit avec le milieu ext´erieur au faisceau.
Les sch´emas pr´esent´es sur la figure 2.7 permettent de bien comprendre la diff´erence entre les deux cas.
Dans les deux cas, le mur sur lequel l’onde acoustique arrive est de position moyenne fixe, et c’est sur lui qu’on va calculer la pression de radiation acoustique. Pour satisfaire les conditions aux limites, la face du mur en contact avec le fluide doit se d´eplacer sous l’action de l’onde acoustique. La pression `a laquelle cette face est soumise est donc ´egale `a la pression lagrangienne moyenne
pL®
des particules fluides en contact avec elle. Le mur est alors soumis `a la diff´erence de pression
pL®
−p0 entre ses deux faces.
p 0
p 0
Fig.2.7 – En haut : cas de Rayleigh : l’onde acoustique est confin´ee entre des parois solides rigides. En bas : cas de Langevin : le faisceau acoustique n’est pas confin´e et est directement entour´e de fluide non perturb´e. Dans les deux cas, une onde harmonique plane se propage de la gauche vers la droite jusqu’`a un mur fixe. Pour simplifier, nous consid´erons ici que le mur ne transmet pas l’onde acoustique au milieu ext´erieur. La pression ext´erieure est homog`ene et not´ee p0.
Cas de Langevin
Consid´erons le cas de Langevin, dessin´e sur le sch´ema du bas : ici, l’onde interagit avec le milieu ext´erieur : un mouvement de liquide orthogonal `a la direction de propagation du faisceau ´egalise la pression eul´erienne moyenne `a l’int´erieur et `a l’ext´erieur du faisceau. En r´egime permanent, la pression eul´erienne moyenne du fluide vaut par cons´equent en tout point
pELan®
=p0. Le mur est soumis `a la diff´erence de pression pLLan®
−p0 entre ses deux faces.
Les deux relations de Langevin 2.109 et 2.117 sont valables en tout point du fluide. En particulier, hors du faisceau,
pL−p0
® = 0 et hEi = 0 et de l’´equation 2.117, on d´eduit alors que Q= 0. Les relations de Langevin deviennent alors, en tout point du fluide :
pE −p0
®=− hKi+hVi (2.119)
et
pL−p0
®=hKi+hVi=hEi (2.120)
De ces deux r´esultats et des r´esultats 2.84 et 2.88, on d´eduit que dans le cas de Langevin, la pression de radiation exerc´ee par une onde acoustique sur un obstacle en incidence normale vaut
Π =hE1i − hE2i (2.121) E1 etE2 ´etant les ´energies acoustiques volumiques en aval et en amont de l’obstacle. Cette expression est l’expression fondamentale que nous allons utiliser dans toute la suite de
La pression de radiation
cette th`ese pour ´evaluer la pression de radiation acoustique dans les exp´eriences. Il y a une convention de sens : Π est la valeur alg´ebrique de la force surfacique exerc´ee par l’onde incidente depuis le milieu 1, mesur´ee le long de la normale `a l’interface 1-2 orient´ee de 1 vers 2. Π est positif si la force exerc´ee par l’onde acoustique est orient´ee du milieu amont 1 vers le milieu aval 2, et est n´egatif si elle est orient´ee dans l’autre sens.
Dans le cas repr´esent´e sur la figure 2.7, le mur ne transmettant pas l’onde acoustique, la pression de radiation que l’onde exerce dessus est ´egale `a son ´energie volumique :
Π =hEi (2.122)
Cas de Rayleigh
Dans le cas de Rayleigh, l’onde acoustique n’interagissant pas avec le milieu ext´erieur, l’´egalisation des pressions eul´eriennes moyennes `a l’ext´erieur et `a l’int´erieur du faisceau ne peut s’effectuer. Nous allons v´erifier dans le calcul qui suit, inspir´e de l’´etude de Lee et Wang de 1993 [3], que la pression de radiation `a laquelle est soumis le mur n’est alors pas
´egale `a celle calcul´ee dans le cas de Langevin. Dans ce calcul, nous nous restreignons au cas o`u le mur est parfaitement r´efl´echissant (figure 2.8).
0 x
Fig. 2.8 – Onde acoustique plane confin´ee incidente sur un mur parfaitement r´efl´echissant
On consid`ere un probl`eme `a une dimension : une onde plane qui progresse le long de l’axe x est parfaitement r´efl´echie par un mur plan fixe et rigide, situ´e `a l’abscisse x = 0.
Une onde stationnaire est cr´e´ee, r´esultant de la superposition de l’onde incidente et de l’onde r´efl´echie.
Soit P l’amplitude de pression de l’onde stationnaire. En coordonn´ees eul´eriennes, la pression et la vitesse acoustiques pac etu sont donn´ees au premier ordre par les relations
pE −p0 =pac =Pcos(kx) sin(ωt) (2.123) u=− P
ρ0c0
sin(kx) cos(ωt) (2.124)
ρ0 ´etant la densit´e du milieu non perturb´e,c0 la vitesse de l’onde acoustique dans le milieu
`a la densit´e ρ0, ω la pulsation de l’onde, et k =ω/c0.
Dans ce cas, on utilise les expressions de l’´energie potentielle et de l’´energie cin´etique
volumiques moyennes :
et on les r´eintroduit dans l’´equation 2.109
pE −p0
D´eveloppons au deuxi`eme ordre l’´equation d’´etat du fluide, qui lie la surpression acous-tique pE −p0 `a l’exc`es de densit´e acoustique ρE −ρ0 :
ρE −ρ0 =a(pE −p0) +b(pE −p0)2 (2.132) aetb ne sont pas les param`etres usuels mesurantvia leur rapportB/Ala non-lin´earit´e du fluide [7]. En effet, A et B sont les coefficients du d´eveloppement de pE en puissances de ρE−ρ0 et non pas de ρE −ρ0 en puissances de p.
De ce d´eveloppement, il r´esulte que
ρE −ρ0
ce qui donne, introduit avec 2.131 dans 2.133 :
ρE −ρ0
®=a(hEicos(2kx) +Q) + b
2P2cos2(kx) (2.135) Int´egrons cette ´egalit´e entre x quelconque et x+ 2πk .
Z x+2πk La conservation de la masse impose que
Z x+2πk x
ρE−ρ0
®= 0 (2.137)
La pression de radiation
et donc l’´equation pr´ec´edente devient 2π
d’o`u l’on d´eduit que
Q=−bP2
ce qui donne, r´eintroduit dans 2.131 :
pE −p0
En utilisant les deux relations de Langevin 2.109 et 2.117, on en d´eduit que
pL−p0®
Le mur est donc ici soumis `a une pression de radiation acoustique Π =
alors que dans le cas de Langevin, il ´etait soumis `a une pression de radiation acoustique
Π =hEi (2.146)
Ceci illustre bien la diff´erence entre le cas de Rayleigh et le cas de Langevin : ici, l’onde acoustique est confin´ee et n’a donc pas d’interactions avec un milieu ext´erieur. Le cas consid´er´e est par cons´equent le cas de Rayleigh. On a d´emontr´e que la constanteQ n’´etait pas nulle, contrairement au cas de Langevin. Dans le probl`eme qui vient d’ˆetre consid´er´e, la pression eul´erienne moyenne varie sinuso¨ıdalement avec la position x. Or, dans le cas de Langevin, l’onde n’´etant pas confin´ee mais interagissant avec le milieu ext´erieur, la pression eul´erienne moyenne dans le faisceau est ´egale `a la pression hydrostatique `a l’ext´erieur du faisceau et donc
pE−p0®
= 0.
Les interactions entre le faisceau acoustique et le milieu ext´erieur ont donc une grande importance dans l’´etude de la pression de radiation acoustique. Dans tout ce qui suit, on consid`ere le cas de Langevin, o`u l’onde n’est pas confin´ee : c’est en effet le cas que j’ai
´etudi´e exp´erimentalement tout au long de ma th`ese, car j’ai cr´e´e des faisceaux acoustiques
se propageant dans un fluide dont une partie, `a l’ext´erieur du faisceau, restait au repos, le faisceau et le fluide au repos n’´etant pas isol´es l’un de l’autre. Dans cette situation exp´erimentale, le mouvement de liquide orthogonal `a la direction de propagation du faisceau
´egalisant la pression eul´erienne moyenne `a l’int´erieur et `a l’ext´erieur du faisceau tend `a faire diminuer la densit´e moyenne du liquide au sein du faisceau. Torr [8] a calcul´e la variation relative de cette densit´e et a d´emontr´e qu’elle ´etait ´egale `a hpEaci
ρc2 et tr`es inf´erieure (de 5 ordres de grandeur) aux variations de densit´e dues `a l’onde acoustique elle-mˆeme. Elle n’a jamais ´et´e d´etect´ee exp´erimentalement.
Le cas de Rayleigh a ´et´e ´etudi´e exp´erimentalement par Michel Mathiot [9]. Il a v´erifi´e (figure 2.9) que la pression de radiation exerc´ee sur un obstacle solide dans ce cas ´etait proportionnelle `a l’´energie volumique de l’onde acoustique incidente, conform´ement `a l’ex-pression 2.145.
Fig. 2.9 – Mathiot a v´erifi´e exp´erimentalement que la pression de radiation exerc´ee sur un obstacle solide dans ce cas ´etait proportionnelle `a l’´energie volumique de l’onde acoustique incidente.