2.3 La pression de radiation
2.3.2 Calcul de la pression de radiation acoustique s’exer¸cant sur l’obstacle 42
L’onde consid´er´ee ´etant ultrasonore, sa fr´equence est de l’ordre du MHz. Soient A la section du faisceau et Π la pression de radiation acoustique exerc´ee par l’onde sur l’obstacle. L’onde acoustique exerce sur l’obstacle une force ΠA~x. Pour maintenir l’obstacle en ´equilibre, l’op´erateur doit donc exercer dessus une force f~op=−ΠA~x.
Soit pE la pression eul´erienne au sein du fluide. En-dehors du faisceau, pE = p0, p0
´etant la pression du fluide non perturb´e par le faisceau acoustique. La force pressante totale s’exer¸cant sur l’obstacle vaut alors :
f~press = ZZ
pE~nda= (pEac1−pEac2)A~x (2.77) pEac1 etpEac2 ´etant les pressions acoustiques eul´eriennes respectivement en amont et en aval de l’obstacle, et ~n le vecteur unitaire orthogonal `a la surface de l’obstacle, dirig´e vers l’int´erieur de l’obstacle.
SoitS une surface stationnaire proche de la surface de l’obstacle, mais enti`erement dans le fluide `a tout instant. Le flux de quantit´e de mouvement entrant dans S par unit´e de temps vaut
Φ =~ ZZ
S
(ρ~u)(~u.~n)da = (ρ1u21−ρ2u22)A~x (2.78)
~n´etant le vecteur normal `aS, dirig´e vers l’obstacle. La variation de quantit´e de mouvement de l’obstacle en fonction du temps s’´ecrit donc, d’apr`es le th´eor`eme d’Euler :
d dt
ZZZ
V
ρ~udV =~Φ +F~ (2.79)
F~ d´esignant la somme de toutes les forces agissant sur l’obstacle. On s’int´eresse ici aux effets de l’onde acoustique ne d´ependant pas du temps, donc `a la valeur moyenne des diff´erentes grandeurs, d´efinie pour une grandeur q par hqi= T1 RT
0 q(t)dt,T ´etant la p´eriode de l’onde
acoustique. ¿
Or, d’apr`es la d´efinition de la valeur moyenne, pour une quantit´eq(t) quelconque, p´eriodique
de p´eriode T, ¿ On aurait pu r´ealiser le mˆeme calcul en utilisant non pas les coordonn´ees eul´eriennes mais les coordonn´ees lagrangiennes : l’obstacle est soumis aux forces pressantesf~pressque le fluide exerce dessus et `a la force f~op appliqu´ee par l’op´erateur pour le maintenir immobile.
Le respect des conditions aux limites impose que les parois de l’obstacle se d´eplacent `a la mˆeme vitesse que les particules fluides qui sont en contact avec elles. La pression que le fluide exerce sur l’obstacle est par cons´equent la pression lagrangienne pL des particules en contact avec ses parois. Les forces pressantes totales exerc´ees par le fluide sur l’obstacle valent donc
f~= ZZ
pL~nda (2.85)
A l’ext´erieur du faisceau acoustique,` pL vaut p0, la pression hydrostatique au repos. `A l’int´erieur du faisceau acoustique,pLvautp0+pLac1sur la face avant de l’obstacle etp0+pLac2 sur sa face arri`ere. Par cons´equent,
f~= (pLac1−pLac2)A~x (2.86)
L’op´erateur exerce sur l’obstacle une force constante qui ´equilibre la valeur moyenne des forces acoustiques :
F~ =−
pLac1−pLac2®
A~x (2.87)
La pression de radiation vaut alors Π =
pLac1®
− pLac2®
(2.88) Le but des paragraphes 2.3.3 et 2.3.4, qui reprennent une ´etude r´ealis´ee en 1993 par Lee et Wang [3], est de calculer l’expression des valeurs moyennes des pressions eul´erienne et lagrangienne, et d’en d´eduire l’expression de la pression de radiation acoustique. Ils permettront de v´erifier, entre autres r´esultats, que les r´esultats 2.84 et 2.88 sont ´equivalents.
2.3.3 Pression acoustique eul´ erienne moyenne
Nous allons ´etablir une expression pour la surpression moyenne
pE −p0
® induite par l’onde acoustique en coordonn´ees eul´eriennes pour un fluide parfait.
Une onde acoustique induit un ´ecoulement irrotationnel du fluide. On peut donc ´ecrire
~u = ∇~φ (~u ´etant ici la vitesse eul´erienne u~E et φ le potentiel des vitesses associ´e `a cette onde). L’´ecoulement est r´egi par l’´equation d’Euler
ρ∂~u
∂t +ρ³
~u.~∇´
~u=−∇~p (2.89)
qui peut s’´ecrire sous la forme ρ~∇
Soit T la temp´erature du fluide. On note dS la variation de son entropie massique, dH la variation de son enthalpie massique et dp la variation de sa pression associ´ees au passage de l’onde acoustique. D’apr`es le premier principe de la thermodynamique,
dH =T dS+ dp
ρ (2.92)
La pression de radiation
Dans un fluide parfait (o`u il n’y a pas de ph´enom`enes dissipatifs associ´es `a la diffusion de quantit´e de mouvement par viscosit´e et de chaleur par conduction thermique), la propa-gation d’une onde acoustique correspond `a des cycles de compression-d´etente adiabatiques et r´eversibles donc isentropiques. dS est donc nul et
∇~H = ∇~p
ρ (2.93)
En introduisant cette ´equation dans 2.91, on obtient
∇~
ce qui donne apr`es int´egration suivant les variables d’espace : H =−∂φ
∂t − 1
2|∇~φ|2+C(t) (2.95)
C(t) est une fonction du temps t mais ne d´epend pas des variables d’espace.
On peut d´evelopper la pression p en s´erie de H de la fa¸con suivante : p=p0+pac1 =p0+ Or, lors de la propagation d’une onde acoustique (cf. ´equation 2.12),
µdρ
c ´etant la vitesse de propagation de l’onde, donc µ d2p
En introduisant ces r´esultats dans 2.96, on obtient finalement p=p0+ρ0H+1 ce qui donne, moyenn´e sur le temps et calcul´e `a l’ordre 2 env/c :
hp−p0i=−1
en notant Q=ρ0hC(t)i+ 12ρc02 hC2(t)i.
D’apr`es l’´equation 2.92,H =p1/ρ0, ce qui est ´egal `a−∂φ/∂td’apr`es l’´equation d’Euler lin´earis´ee. Par cons´equent, C est une quantit´e d’ordre au moins 2 d’apr`es l’´equation 2.95, donc dans un calcul `a l’ordre 2, Q=ρ0hC(t)iet l’´equation pr´ec´edente devient :
hp−p0i=−1
hKi ethVi´etant respectivement l’´energie cin´etique volumique moyenne et l’´energie poten-tielle volumique moyenne de l’onde.
Ce calcul a ´et´e fait en coordonn´ees eul´eriennes : ce qui vient d’ˆetre calcul´e est donc la surpression acoustique moyenne en coordonn´ees eul´eriennes :
pE −p0
®= pEac®
=− hKi+hVi+Q (2.109)
Cette ´equation, publi´ee par Biquard [4], a ´et´e appel´ee « deuxi`eme relation de Lange-vin » par Beissner [5].