La théorie constructiviste 71

Na primeira parte desta seção serão apresentados os resultados das simulações numéricas para o caso sem modulação periódica aplicada. A equação de propagação (3.1) foi resolvida com a condição de entrada apresentada na equação (3.2) e posteriormente resolvidas as equações (3.5a – 3.5b), relativas à colisão, e com as condições de entrada apresentadas nas equações (3.7a – 3.7b) sendo os resultados apresentados, conforme pode ser verificado, nas Figuras 3.1, 3.2 e 9.1(a-b).

Foram realizadas simulações com diversos valores para o parâmetro 0,36) 0,32; 0,26; 0,24; 0,19; 0,15; ,12; 0 ( =

α com intenção de estudar a estabilidade de

sólitons espaço-temporais, medindo suas intensidades, sua duração temporal normalizada, equação (3.8), e a forma dos pulsos ao longo de toda a sua propagação.

A Figura 3.1, a seguir, ilustra a evolução da intensidade do pulso u(0,z) ao longo da propagação de dezesseis comprimentos de difração (z=16Ld

0,36) 0,32; 0,26; 0,24; 0,19; 0,15; ,12; 0 ( = α

), considerando diversos valores

para o parâmetro não linear . O comportamento

das curvas para o parâmetro não-linear α indica o intervalo de valores que podem fornecer sólitons espaço-temporais.

Figura 3.1: Evolução da intensidade máxima do campo óptico u(0,z) em função da distância de propagação d

L

z=16 para α =(0,12;0,15;0,19;0,24;0,26;0,32;0,36).

Analisando o caso para α =0,12, a intensidade cresce até um máximo de 2,78 em 05

, 3

=

z , apresentando flutuações e um comportamento instável, chegando ao fim de sua propagação com uma intensidade de 1,67. Situação similar ocorre para α =0,15, ocorrendo alterações somente no que concerne às intensidades, exceto no final de sua propagação, quando sua intensidade também atinge 1,67. Com o crescimento dos valores de α , as curvas tendem a procurar uma maior estabilidade, o que no gráfico significa uma maior proximidade da linha de referência fixada em “1” e, nesta condição, observa-se um melhor comportamento para α =0,26, onde a intensidade do pulso óptico, durante a propagação, é mais estável com pequenas flutuações na intensidade em torno da linha de referência. Para maiores valores deα , no início das curvas ocorre um pequeno crescimento na intensidade seguido por uma redução da mesma. Esta diminuição na intensidade está relacionada com um alargamento do pulso durante a sua propagação, mas pode-se verificar que as mesmas tendem a se afastar da linha de estabilidade.

Para os mesmos valores de α , foi analisado a evolução da duração temporal normalizada (DTM) do pulso em função da distância de propagação z, como mostrado na Figura 3.2, e assim selecionar qual o melhor parâmetro α para a geração de um sóliton espaço-temporal estável.

Figura 3.2: Evolução da duração temporal normalizada τ =T/ T₀ do campo óptico em função da distância de propagação z=16L_dpara α =(0,12;0,15;0,19;0,24;0,26;0,32;0,36).

A duração temporal normalizada indicará em quais pontos o pulso mantém sua forma inicial, sofre compressões ou alargamentos. Tais comportamentos dependem do equilíbrio entre os efeitos de difração, dispersão e da não linearidade cúbico-quintica que tem dependência direta do parâmetro α , como pode ser visto na equação (3.1). Na Figura 3.2, os valores acima da linha de referência, fixada em 1, indicam que o pulso está alargando e os valores abaixo indicam que o pulso está comprimindo. Para α =0,12, o pulso apresenta flutuações e sofre compressão no tempo ao longo de toda sua propagação atingindo cerca de 40% de compressão em z=12L_d. Com o crescimento do parâmetro α , a compressão torna- se menos intensa, e com os pulsos tendendo a se aproximar da linha de referência. Para

26 , 0

=

considerado bom para nossas simulações. Para maiores valores do parâmetro α , (α =0,32eα =0,36), os pulsos apresentam uma compressão no inicio da propagação e para

d

L

z >4 os pulsos apresentam alargamento sendo que para α =0,32 o pulso volta a comprimir a partir de z =13,5L_de para α =0,36, o pulso mantêm-se alargado até o final de sua propagação.

Com base nestas informações, foi selecionado o parâmetro α =0,26 para se verificar a possibilidade de geração de sólitons ópticos espaço-temporais. A Figura 3.9.1a, apresenta uma visão tridimensional do perfil temporal da propagação dos pulsos para α =0,26, onde se observa um comportamento estável dos pulsos e que as formas tridimensionais retratam os mesmos comportamentos (alargamentos, compressões e flutuações) mostrados na Figuras 3.2. Selecionado α =0,26, deve-se agora proceder com o processo de colisão de dois pulsos ópticos de iguais amplitudes e que se propagam em sentidos contrários. Para este fim, será utilizado as equações (3.5a e 3.5b) com os campos acoplados por XPM e sendo

3 2

=

σ ,∆

τ

=270fs e V =0.35. Assim procedendo, pode-se verificar através da Figura 3.9.1b, que mostra o perfil temporal destas interações, sob as mesmas condições, que para

26 , 0

=

α os pulsos continuam bastante estáveis após o processo de colisão e, desta forma, pode-se admitir que o pulso gerado é um sóliton espaço-temporal.

Fixado α =0,26, agora será analisado numericamente a propagação, estabilidade e colisão de sólitons espaço-temporais em um guia planar com uma não-linearidade cúbico- quintica periodicamente modulada. As simulações numéricas agora enfocam a equação de propagação (3.3) com as condições de entrada apresentada nas equações (3.2 e 3.4) e posteriormente as equações (3.6a – 3.6b), relativas à colisão, com as condições de entrada apresentadas nas equações (3.7a – 3.7b) e sendo os resultados apresentados, conforme pode-se verificar, nas Figuras 3.3 a 3.9 e 3.9.2(a-b) a 3.9.4(a-b).

Os resultados numéricos relativos às Figuras 3.3 a 3.6 permitem selecionar quais as melhores combinações de ω_m /A_mque garantem uma melhor estabilidade para os sólitons espaço-temporais. Inicialmente, foi analisado a intensidade e a duração temporal normalizada variando a freqüência de modulação ω_m ,Figuras 3.3 e 3.4, considerando valores fixos para A . Em seguida, será feito o mesmo procedimento agora variando a amplitude de modulação

m

A e considerando valores fixos para ω_m ,Figuras 3.5 e 3.5, o que permitirá selecionar combinações para ω_m /A_mque possam também fornecer sólitons espaço-temporais. Para todos os casos, o parâmetro não linear está fixo em α =0,26.

A Figura 3.3, a seguir, mostra a intensidade do pulso em função da freqüência de modulação ω após propagação de dezesseis comprimentos de difração (z=16Lm d)

26 . 0 = α fixado o parâmetro não linear em para cinco possibilidades de amplitudes de modulação

0.50) 0.20; 0.10; 0.05; 0.02; (

A_m = . Analisando os casos para A_m =(0.02; 0.05), verifica-se que suas intensidades tendem a oscilar mais em torno da linha de referência fixada em “1”. Este comportamento está mais relacionado ao fato de que estas intensidades são pequenas quando comparadas com as demais utilizadas e muito próximas do caso sem amplitude de modulação, porém com o crescimento da freqüência de modulação ωm, suas curvas de intensidade apresentam uma variação em torno de 9% para A_m =0.02 e de 12% a 30% para

0.05

A_m = . Com os valores de A_m =(0.10; 0.20;0.50) todas as curvas, comparativamente às amplitudes anteriores, têm um crescimento em suas oscilações de intensidades e, quando

93 . 3

= m

ω , tem-se respectivamente para A_m =(0.02;0.05;0.10;0.20;0.50)as intensidade ) 35 . 2 1.83; 1.32; 1.2; 1.1;

( . A partir de ω_m =3.93, todas as curvas de intensidade decrescem até que em ωm ≈8.23todas as amplitudes são praticamente iguais e, a partir daí, apresentam queda nas intensidades principalmente, para A_m =(0.10;0.20;0.50). Os pontos onde as intensidades são crescentes indicam que os pulsos estão em processo de compressão temporal e, onde as intensidades são decrescentes, um processo de alargamento temporal. Dentre as amplitudes analisadas, as A_m =(0.02;0,05) são as que mais se mantêm próximo da linha de referência, mas no geral todas as demais tendem a se afastar.

Figura 3.3: Intensidade em função da freqüência de modulação ω_m após propagação de z=16L_dcom 26

. 0

=

α para as amplitudes de modulação Am =(0.02; 0.05; 0.10; 0.20;0.50)

Para as mesmas condições do caso anterior, foi analisado na Figura 3.4 a evolução da duração temporal normalizada (DTM) τ =T/ T0do pulso em função da freqüência de

modulação ω_m . Pode-se observar que durantes toda a propagação, os pulsos para 0.05)

0.02; (

A_m = são os que menos sofrem alargamentos e compressões, fato confirmado também no caso anterior (Figura 3.3), pois os mesmos oscilam mais próximos da linha de referência. Para maiores valores da amplitude de modulação A_m =(0.10; 0.20;0.50), os efeitos de compressão e alargamento são mais perceptíveis com o aumento de ω_m. Pode-se observar que com o aumento de ω_m as curvas apresentam compressão até ωm ≈7,4. Os pulsos no intervalo de ωm ≈[8,03;8,74]para Am =(0.02; 0.05; 0.10)estão praticamente na mesma

largura temporal do pulso incidente. O mesmo ocorre respectivamente para 0.50)

0.20; (

A_m = quando ω_m =(8,74; 8,01) e, após estes intervalos, todos os pulsos alargam, sendo este alargamento mais perceptível em A_m =(0.10; 0.20;0.50).

Figura 3.4: Duração temporal normalizada τ =T/ T0do pulso em função da freqüência de modulação ωm após propagação de 16Ld com α =0.26 para as amplitudes de modulação Am =(0.02; 0.05; 0,10; 0.20;0.50)

Com base nas Figuras 3.3 e 3.4, foram selecionados quatro freqüências de modulaçãoω_m =(4,1; 7,6; 8,4;13). Fixando estas freqüências e considerando as mesmas condições aplicadas anteriormente, será analisado agora a intensidade e a largura temporal normalizada em função da amplitude de modulação A . As Figuras 3.5 e 3.6 apresentam os _m resultados destas simulações.

Figura 3.5: Intensidade do pulso em função da amplitude de modulação (Am) após propagação de z=16Ldcom 26 , 0 = α para ωm =4,1; ωm =7,6;ωm =8,4eωm =13.

A Figura 3.5, acima, mostra a evolução da intensidade do pulso em função da amplitude de modulação (Am) após propagação de z=16Ld com α =0,26 para ωm =4,1;

6 . 7

= m

ω ;ω_m =8.,4eω_m =13. Para ω_m =8,4eω_m =13, com o aumento da amplitude de modulaçãoA , as intensidades das curvas apresentam um comportamento decrescente, _m principalmente para ω_m =13 que apresenta logo em A_m=0,2 uma queda de aproximadamente 80% em sua intensidade e chegando ao final da propagação praticamente sem intensidade (0,06), o que significa que o pulso alargou totalmente. O contrário acontece com ωm =4,1 que apresenta uma intensidade crescente com o aumento da amplitude de modulaçãoA e atingindo no final da propagação uma intensidade de 2,72 o que significa _m que o pulso comprimiu. Para ω_m=7,6 , o perfil da curva de intensidade é mais comportado ficando o mesmo em torno da linha de referência e mantendo ao longo de toda a propagação uma variação de 20%. Estas curvas de intensidade sugerem que, para as freqüências de modulação consideradas, as amplitudes de modulação A devem ser menores que A =0,4,

pois a partir deste valor, as intensidades para as freqüênciasω_m =(4,1; 8,4;13) tendem a manter seu comportamento de crescimento ou decrescimento.

Figura 3.6: Duração temporal normalizada τ=T/ T0 do pulso em função da amplitude de modulação (Am) após

propagação de 16Ld com α =0,26 para ωm =4,1; ωm =7,6;ωm =8,4eωm =13.

Na Figura 3.6, acima, tem-se a duração temporal normalizada do pulso em função da amplitude de modulação (Am ) 8,4 7,6; 4,1; ( ωm =

) para as mesmas condições do caso anterior. Observando a linha de referência fixada em “1”, verifica-se que as freqüências de modulação

são as que mais se aproximam desta linha o que significa que estas freqüências são as que podem fornecer uma maior probabilidade de gerar sólitons espaço-temporais mais estáveis. Estas freqüências são bem comportadas para ωm =4.1, e o pulso sofre uma compressão temporal máxima em torno de 38% e, para ωm =8,4, observa-se que o pulso sofre um alagamento temporal máximo em torno de 34%. Similarmente ao caso do estudo da intensidade, observa-se que ωm=7,6 apresenta-se mais próximo da linha de referência e sofrendo pequenas compressões ao longo de toda a propagação com uma compressão máxima em torno de 13%. Quando ω_m = , pode-se notar que o pulso afasta-se da linha de referência 13

intensidade a partir de A_m=0,2 , quando sofre uma queda de aproximadamente 80% em sua intensidade, o que não é interessante para a proposta em questão e, assim, será descartada esta freqüência. Como no estudo da intensidade, caso anterior, as curvas da duração temporal normalizada sugerem que para as freqüências de modulação consideradas as amplitudes de modulação A devem ser menores que _m A_m =0,4, pois a partir deste valor os alargamentos/compressões são menores.

Com base nos resultados obtidos e apresentados nas Figuras 3.1 a 3.6, foi selecionado para geração de sólitons ópticos espaço-temporais em um guia planar com uma não- linearidade cúbico-quintica periodicamente modulada, as seguintes condições: α =0,26 e

0.35 /A 1 . 4 ωm = m = ,ωm =7.6 /Am =0.35 e ωm =8.4 /Am =0.19.

Similarmente aos casos anteriores, será estudado para estas condições a propagação, a colisão dos pulsos, o comportamento de suas intensidades e a duração temporal normalizada ao longo de toda a propagação. Os resultados numéricos mais uma vez estão fundamentados nas equações (3.3), com as condições de entrada apresentadas nas equações (3.2 e 3.4), e nas equações (3.6a – 3.6b) com as condições de entrada apresentadas nas equações (3.7a – 3.7b), sendo os resultados apresentados, conforme pode-se verificar, nas Figuras 3.7 a 3.10.

As Figuras 3.7 e 3.8, a seguir, mostram respectivamente a intensidade e a largura temporal normalizada do dos pulsos em função da distância de propagaçãoz=16L_dcom

26 . 0

=

Figura 3.7: Intensidade do sóliton espaço-temporal em função da distância de propagaçãoz=16L_dcom 26 . 0 = α paraωm =4.1/Am=0.35;ωm =7.6/Am =0.35;ωm=8.4/Am=0.19.

Analisando as Figuras 3.7 e 3.8 , observa-se que todas as condições apresentaram aumento em suas intensidades e sofreram compressões ao longo da propagação em z=16L_d. Estes comportamentos são mais evidentes para ω_m =7.6/A_m =0.35 até z =10.33L_d onde, a partir de então, estes efeitos são mais comuns para ωm =4.1/Am =0.35, que adquire um perfil crescente atingindo no final da propagação 1,94 de intensidade, enquanto

35 . 0 / 6 . 7 = = m m A

ω e ω_m =8.4/A_m =0.19 decrescem atingindo ao final de z=16L_d a mesma intensidade (1,03), significando, também, que suas larguras temporais são idênticas, neste ponto. As compressões máximas sofridas pelos pulsos são da ordem de 25% a 31%, sendo que até z≈7,5Ld ωm =4.1/Am =0.35 e ωm =8.4/Am =0.19 têm as mesmas larguras temporais e o mesmo ocorre para ω_m =7.6/A_m =0.35 e ω_m =8.4/A_m =0.19 em z =16L_d. As Figuras 3.9.2a 3.9.4a mostram a evolução tridimensional dos pulsos em função da distância de propagação para estas condições e onde se observa um comportamento estável dos pulsos e que as formas tridimensionais retratam os mesmos comportamentos

casso para ω_m =0/A_m =0, os pulsos continuam bastante estáveis o que sugere que estes pulsos também são sólitons espaço-temporais, porém deve-se ainda realizar o testes colisão entre dois pulsos ópticos de iguais amplitudes e que se propagam em sentidos contrários.

Figura 3.8: Duração temporal normalizada τ =T/ T₀ do sóliton espaço-temporal em função da distância de propagação z=16L_d com α =0.26 para ωm =4.1/Am =0.35; ωm=7.6/Am =0.35; ωm =8.4/Am =0.19.

Seguindo as mesmas diretrizes adotadas para o caso sem modulação ω_m =0 /A_m =0, foi realizado a colisão de dois pulsos ópticos para ω_m =4.1 /A_m =0.35,ω_m =7.6 /A_m =0.35 e finalmente ω_m =8.4 /A_m =0.19. As Figuras 3.9.2b e 3.9.4b apresentam a visão tridimensional do perfil temporal da propagação dos pulsos para estas condições e onde se observa que após a colisão os pulsos mantêm um comportamento estável.

Figura 3.9: Evolução tridimensional do sóliton espaço-temporal em função da distância de propagação

(3.9.1a) Propagação com ωm =0 /Am =0 e (3.9.1b) Colisão com ωm =0 /Am =0 .

(3.9.2a) Propagação com ωm =4.1/Am =0.35 e (3.9.2b) Colisão com ωm =4.1/Am =0.35 . (3.9.3a) Propagação com ωm =7.6/Am=0.35 e (3.9.3b) Colisão com ωm =7.6/Am =0.35 . (3.9.4a) Propagação com ωm =8.4/Am =0.35 e (3.9.4b) Colisão com ωm =8.4/Am =0.35 .

Comparando as propagações e colisões sem modulação na não linearidade cúbico- quíntica, ω_m =0 /A_m =0, que serão usados como padrão de referência, com as propagações e colisões com não-linearidade cúbico quíntica periodicamente modulada,

0.35 /A 1 . 4 ωm = m = ,ωm =7.6 /Am =0.35 e ωm =8.4 /Am =0.19. Os resultados obtidos

indicam que para os quatro casos analisados, sólitons espaço-temporais estáveis puderam ser obtidos e que tanto nas propagações, Figuras 3.9.1a até 3.9.4a, quanto nas colisões, Figuras 3.9.1b até 3.9.4b, dos mesmos, não se verificou a presença significante de pulsos satélites, quebras nos pulsos, distorções ou oscilações indesejáveis que pudessem desestabilizar ou colapsar os sólitons ópticos espaço-temporais durante toda a sua propagação, assegurando assim aos sólitons obtidos um comportamento quase elástico o que contribui fortemente para sua estabilidade. As formas dos pulsos para as condições ω_m =7.6 /A_m =0.35 e

19 . 0 /A 4 . 8

ωm = m = apresentam-se mais próximas da condição de referência isto pelo fato

de que tanto no gráfico de intensidade quanto da largura temporal normalizada a partir de d

L

z ≈7,5 estas curvas têm um comportamento bem semelhantes. Já a condição para 0.35

/A 1 . 4

ωm = m = apresenta uma crescente compressão no pulso durante toda sua

propagação, mas isto em nada afeta a estabilidade do pulso.

A Figura 3.10, a seguir, compara os perfis temporais dos pulsos para os casos analisados considerando o pulso de entrada no início da propagaçãoz =0 e os pulsos de saída em z=16L_d. Os resultados mostraram que para ω_m =0 /A_m =0 os pulsos de entrada e saída são praticamente idênticos apresentando uma diferença de intensidade que varia no intervalo de ∆Intensidade 19 . 0 /A 4 . 8 ωm = m =

= [-0.1, 0.1]. Isto demonstra que, além da estabilidade, os sólitons ópticos espaço- temporais gerados por esta condição mantêm sua largura temporal durante toda a sua propagação. Considerando e ω_m =4.1 /A_m =0.35, a diferença de intensidade varia no intervalo de ∆Intensidade= [-0.15, 0.5] mas os resultados apresentados para esta combinação possibilita observar que os sólitons ópticos espaço-temporais aqui gerados apresentam iguais intensidades, larguras temporais e forma ao passo que para

0.35 /A

6 . 7

ωm = m = com ∆Intensidade = [-0.15, 0.6], onde todos estes concordam com os

apresentados principalmente nas Figuras 3.9(a-b) que mostram as formas tridimensionais dos pulsos.

Figura 3.10: Intensidade temporal dos sólitons ópticos espaço-temporais na entrada (z=0) e na saída após propagação de dezesseis comprimentos de difração (z=16L_d) paraα =0.26 com ωm =4.1/Am =0.35,

35 . 0 / 6 . 7 = = m m A

ω , ωm=8.4/Am =0.35e ωm =0/Am =0. No topo tem-se a diferença entre as intensidades: ∆Intensidade = Intensidade(SAÍDA) - Intensidade(ENTRADA).

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