Théorème de Kaplanski

5.8.1.1 Topologie associée à des semi-normes ([20, p.256] et Annexe B)

Soit E un K-espace vectoriel (K = R ou C).

Si (N_t)_t∈T ^{est une famille de semi-normes sur E, la topologie associée aux semi-normes}

N_t est la topologie engendrée par toutes les semi-boules possibles associées à toutes ces semi-normes :

B_Nt(a, r) ∶= {x ∈ E ∣ N_t(x − a) < r}, t ∈ T, a ∈ E, r ∈ R^∗₊

Chacune des semi-normes N_t est continue pour cette topologie.

Remarque 5.8.1.

Étant donnés un ensemble X et B une famille de partie de X, on précise que la topo-logie engendrée par la famille B est constituée des réunions quelconques d’intersections finies d’éléments de B.

Exemple 5.8.1.

Si E est un K-espace vectoriel normé (K = R ou C), alors l’espace B(E) des opérateurs continus de E dans E peut-être muni de :

— la topologie τ_{U OT}, qui est la topologie associée à la norme uniforme d’opérateurs sur B(E), qui, on le rappelle, est définie pour tout u ∈ B(E) par ∣∣u∣∣ = sup

∣∣x∣∣≤1^{∣∣u(x)∣∣.}

— la topologie τSOT, qui est la topologie associée aux semi-normes Nx ∶u ↦ ∣∣u(x)∣∣

lorsque x décrit E.

— la topologie τ_{W OT}, qui est la topologie associée la famille de semi-normes N_x,f ∶

u ↦ f (u(x)) lorsque x décrit E et f décrit E′ _(E′_{désignant le dual continu de E).}

On démontre que τ_{W OT} ⊆τ_SOT ⊆τ_{U OT} (Annexe B).

5.8.1.2 B(H) muni de la topologie τ_SOT vérifie la propriété CHB dans ZF

K désigne R ou C.

On énonce un résultat sur les formes sous-linéaires continues pour une topologie asso-ciée à une famille de semi-normes. On reprend pour cela un résultat de [51, p.267], qu’on adapte aisément aux formes sous-linéaires :

Soit E un K-espace vectoriel muni de la topologie τ engendrée par une famille de semi-normes (N_t)_t∈T sur E. Soit p ∶ E → R une forme sous-linéaire. Alors p est τ -continue si et seulement si il existe M ≥ 0, k ∈ N^∗ et t₁, . . . , t_k∈T tels que :

∀x ∈ E ∣p(x)∣ ≤ M sup

i∈{1,...,k}^Nti(x)

Remarque 5.8.2.

— On note N∞la norme sur Rkdéfinie pour tout (a₁, . . . , a_{k) ∈ R}kpar : N∞(a₁, . . . , a_k) = sup

i∈{1,...,k}^∣ai∣.

Soit x ∈ E : on remarque alors que sup

i∈{1,...,k}^{Nti(x) = N∞(Nt1(x), . . . , Ntk(x)). Toutes}

les normes de Rk étant équivalentes : si N est une norme quelconque sur Rk, il existe C ∈ R tel que N∞≤CN .

La proposition précédente se généralise donc : il existe k ∈ N^∗, t₁, . . . , t_k∈T tel que

quelque soit la norme N sur Rk on puisse trouver un réel M ≥ 0 vérifiant : ∀x ∈ E ∣p(x)∣ ≤ M × N (N_t1(x), . . . , N_tk(x))

— Soit E un K-espace vectoriel normé. On munit le K-espace vectoriel normé B(E) des applications linéaires continues de E dans E de la topologie τ_SOT. Étant donnée une forme sous-linéaire τ_SOT-continue sur B(E), la Proposition 5.8.1 assure qu’il existe k ∈ N^∗, x₁, . . . , x_k∈E et M ≥ 0 tels que

∀u ∈ B(E) ∣p(u)∣ ≤ M × N (∣∣u(x₁)∣∣, . . . , ∣∣u(x₁)∣∣) où N est la norme hilbertienne de Rk.

Étant donné un R-espace vectoriel topologique E dont la topologie est notée τ , on rappelle la propriété CHB_E :

CHB_E : pour toute forme sous-linéaire p ∶ E → R τ -continue il existe une forme linéaire f ∶ E → R telle que f ≤ p.

Théorème 5.8.1.

Soit H un espace de Hilbert. On munit le R-espace vectoriel B(H) des opérateurs continus de H dans H de la topologie τ_SOT. Alors, dans ZF, B(H) muni de cette topologie τ_SOT satisfait la propriété CHB.

Preuve :

Soit p ∶ B(H) → R une forme sous-linéaire τSOT-continue. Comme B(H) est muni de la topologie associée à une famille de semi-normes Nx ∶u ↦ ∣∣u(x)∣∣ lorsque x décrit H,

on en déduit, grâce à la Remarque 5.8.2, qu’il existe k ∈ N^∗, x₁, . . . , x_k∈H et M ≥ 0 tels

que :

∀u ∈ B(H) ∣p(u)∣ ≤ M × N (∣∣u(x₁)∣∣, . . . , ∣∣u(x₁)∣∣) où N est la norme hilbertienne de Rk.

On considère une forme bilinéaire symétrique positive sur B(H), notée ⟨., .⟩, définie pour tous u, v ∈ B(H) par :

⟨u, v⟩ ∶=

k

∑

i=1

⟨u(xi), v(xi)⟩

Muni de ce semi-produit scalaire, B(H) est un espace semi-préhilbertien : la remarque

3.2.3 assure alors que, dans ZF, B(H) vérifie CHB pour la topologie de la semi-norme associée à ce semi-produit scalaire ⟨, ⟩. Comme p est τ_SOT-continue, l’inégalité précédente assure qu’elle est également continue pour la topologie de la semi-norme associée à ce semi-produit scalaire : il existe donc une forme linéaire f ∶ B(H) → R telle que f ≤ p.

Remarque 5.8.3.

Le R-espace vectoriel B(H) muni de la topologie τSOT est un R-espace vectoriel to-pologique localement convexe qui vérifie la propriété CHB et donc GHB (voir Section

3.2.4) : si C est un convexe fermé non vide de B(H) et K un convexe compact non vide de B(H) disjoint de C, alors il existe une forme R-linéaire f sur E telle que supKf < infCf .

5.8.1.3 Le théorème de Kaplanski, dans ZF

Le théorème de Kaplanski (Théorème 5.8.3) repose sur le résultat suivant (qui se fait dans ZF, d’après le Théorème 5.8.1) :

Théorème* 5.8.2. [51, p.128]

Soient H un espace de Hilbert et C un convexe de B(H). Alors C est τ_SOT-fermé si et seulement si C est τ_{W OT}-fermé.

Preuve :

La preuve de [51, p.128] repose sur le fait que B(H) muni de la topologie τ_SOT vérifie

CHB, ce qui, d’après le Théorème 5.8.1, se prouve dans ZF.

Théorème* 5.8.3 (Théorème de Kaplanski). [51, p.131]

Soient H un espace de Hilbert et A une C∗_{-sous algèbre unitaire de B(H). En notant}

X^S l’adhérence pour la topologie τ_SOT d’une partie X de B(H) on a : 1. A_sa est τ_SOT-dense dans (A^S)_sa i.e. :

A_sa^S = (A^S)_sa

2. La boule unité fermée de A_sa est τ_SOT-dense dans la boule unité fermée de (A^S)_sa.

Preuve :

On esquisse la preuve du premier point (voir [51, p.131]). — Montrons que (A^S)_sa⊆A_sa^S.

Soit u ∈ (A^S)_sa : il existe un net (u_i)_i∈I ^{d’éléments de A qui converge vers u pour}

L’involution étant continue pour la topologie τ_{W OT} ( [51, p.126]), et comme u hermitien, il vient (u∗

i)_i∈I ^{converge vers u pour la topologie τ}W OT, puis (Re(u_i))_i∈I

converge vers u pour la topologie τ_{W OT}. Ainsi u ∈ (A_sa)

W

. Or A_sa étant convexe, le Théorème5.8.2 assure que u ∈ (A_sa)

S

= (A_sa)

W

. — Montrons que A_sa^S⊆ (A^S)_sa

Si u est limite d’un net (ui)_i∈I ^{d’éléments de A}sa pour la topologie τSOT, et donc pour la topologie τ_{W OT}, alors comme u∗

i =u_i et que l’involution est continue pour la topologie τ_{W OT}, il vient que u = u∗ _{donc u est hermitien. De plus u ∈ A}^S_{, ce qui}

achève la preuve.

5.8.1.4 Un résultat sur le bicommutant et une caractérisation des représen-tations irréductibles

Dans le but d’obtenir une caractérisation des représentations irréductibles (Théorème

5.8.4, page 142), on énonce quelques résultats sur les commutants :

On rappelle que si A est un anneau et C une partie de A, le commutant de C est l’ensemble C′ _{des éléments de A qui commutent avec les éléments de C. On remarque}

que C′ _{est lui même un anneau.}

Le bicommutant de C, noté C′′ _{est (C}′₎′_.

Proposition* 5.8.2. [20, p.280]

Soient H un espace de Hilbert et A une partie de B(H). Le commutant A′ _{de A est}

fermé pour la topologie τ_{W OT} et donc pour la topologie τ_SOT.

Preuve :

Soit u un élément de l’adhérence de A′ _{pour la topologie τW OT : il existe un net (vi)i∈I}

d’éléments de A′ _{qui converge vers u pour la topologie τW OT i.e.}

∀x, y ∈ H, ⟨v_i(x), y⟩ →

i∈I^{⟨u(x), y⟩}

. Soit a ∈ A, montrons que au = ua.

Soient x, y ∈ H, on sait que ⟨av_i(x), y⟩ = ⟨v_i(x), a∗_{y⟩ converge vers ⟨u(x), a}∗_{y⟩ =}

⟨au(x), y⟩. Donc le net (av_i)_i∈I ^{converge vers au pour la topologie τ}W OT.

Or comme ∀i ∈ I, v_i ∈A′_{, le net (via)i∈I converge vers au pour la topologie τW OT. Ce}

net converge aussi vers ua donc comme la topologie τ_{W OT} est séparée on obtient au = ua. Ainsi, l’élément u appartient à A′_.

Par conséquent A′ _{est τW OT-fermé donc τSOT-fermé.}

Lemme* 5.8.1. [51, p.115]

Soient H un espace de Hilbert et n ∈ N^∗. On peut identifier M_n(B(H)) à B(Hn)grâce aux applications suivantes, isomorphismes réciproques l’une de l’autre :

ϕ ∶ M_n(B(H)) → B(Hn) U ↦ ϕ(U ) ∶ Hn → Hn X ↦ U X et ^{ψ ∶ B(H} n) → M_n(B(H)) f ↦ (p_i○f ○ can_j)_i,j où :

— Pour tout i ∈ {1, . . . , n} on note p_i l’application suivante :

p_i ∶ Hn → Hn

(x₁, . . . , x_n) ↦ x_i

— Pour tout j ∈ {1, . . . , n} on note can_j l’application suivante :

can_j ∶ H → Hn

x ↦ (0, . . . , x

jeme, 0, . . . , 0) Remarque 5.8.4.

— Si u ∈ B(H), on rappelle que l’on note u∗ _{son opérateur adjoint.}

— Tout élément U = (u_ij)_i,j de M_n(B(H)) admet pour adjoint U∗_{= (u}∗

ji)_i,j.

— L’espace Hn est un espace de Hilbert pour le produit scalaire défini pour tout ⎛ ⎜ ⎝ x₁ . . . x_n ⎞ ⎟ ⎠ , ⎛ ⎜ ⎝ y₁ . . . y_n ⎞ ⎟ ⎠ ∈Hn par : ⟨ ⎛ ⎜ ⎝ x₁ . . . x_n ⎞ ⎟ ⎠ , ⎛ ⎜ ⎝ y₁ . . . y_n ⎞ ⎟ ⎠ ⟩ = n ∑ k=1^{⟨xk, yk⟩.}

Tout élément f de B(Hn) admet donc un opérateur adjoint f∗_{. C’est l’unique}

opérateur de Hn dans Hn vérifiant :

∀X, Y ∈ Hⁿ ⟨f (X), Y ⟩ = ⟨X, f∗_{(Y )⟩}

Or, il existe un unique U ∈ Mn(B(H)) tel que f = ϕ(U ) et on vérifie aisément

que :

∀X, Y ∈ Hⁿ ⟨f (X), Y ⟩ = ⟨X, ϕ(U∗_{)Y ⟩}

Donc f∗_{= (ϕ(U )}∗_{) =ϕ(U}∗_{) : ϕ est donc un ∗-isomorphisme.}

Remarque 5.8.5.

— si u ∈ B(H), on pose ˜u ∈ B(Hn)défini pour tout (x₁, ..., x_n) ∈Hnpar ˜u(x₁, ..., x_n) = (u(x₁), ..., u(x_n)). Dans ce cas, ψ(˜u) = u.̃Id_H =u.I_n où I_n est la matrice identité de M_n(B(H)).

— Si A est une ∗-sous algèbre de B(H), on pose ˜A = {˜a ∣ a ∈ A} et dans ce cas, ˜A est

isomorphe à {aI_n ∣ a ∈ A} donc ˜A′ _{est isomorphe à (AIn)}′_=Mn(A′_).

Proposition* 5.8.3. [51, p.115]

Soient H un espace de Hilbert et A une ∗-sous algèbre de B(H) tel que Id ∈ A. Alors A est dense dans A′′ _{pour la topologie τSOT i.e. A}^S _=A′′ _{(où A}^S _{désigne l’adhérence de}

A pour la topologie τ_SOT).

— La Proposition5.8.2assure que A′′_{est fermée pour la topologie τSOT donc A}^S_⊆A′′_.

— Pour l’autre inclusion, nous évitons l’utilisation de l’axiome du choix. En effet, la preuve proposée dans [51, p.115] utilise le critère séquentiel suivant (qui nécessite de l’axiome du choix) : “Soient X un espace métrique X et A une partie de X, un élément x est dans l’adhérence de A si et seulement si x est limite d’une suite d’éléments de A”. Afin de ne pas utiliser ce critère, nous procédons en deux étapes : — ÉTAPE 1 :

Soient u ∈ A′′_{, ε > 0 et x ∈ H. Posons K = {v(x), v ∈ A} (adhérence de {v(x), v ∈}

A} pour la topologie de la norme sur H). Comme K est un sous-espace vectoriel

fermé de H, on peut considérer la projection orthogonale P_K sur K.

On remarque que K est stable par A. Soit a ∈ A : on a a[K] ⊆ K et comme

a∗ _{∈A, on a aussi a}∗_{[K] ⊆ K. Ainsi K est stable par a et a}∗ _{donc pKa = apK.}

Donc p_K ∈A′ _{et comme u ∈ A}′′_{, upK=pKu.}

Comme x = Id(x) ∈ K il vient up_K(x) = u(x) = p_Ku(x) donc u(x) ∈ K. Il existe

donc v ∈ A tel que ∣∣v(x) − u(x)∣∣ < ε — ÉTAPE 2 :

Soient u ∈ A′′_{, (x1, ..., xn) ∈H}n, ε > 0 et V ∶= {v ∈ B(H) ∣ ∀i ∈ {1, ..., n}, ∣∣u(x_i) −

v(x_i)∣∣ <ε}. Montrons que ce voisinage (pour la topologie τ_SOT) de u rencontre

A.

On pose ˜u ∈ B(Hn) défini pour tout (y₁, . . . , y_n)) ∈ Hn par ˜u(y₁, . . . , y_n) = (u(y₁), . . . , u(y_n)), et ˜A = {˜a, a ∈ A}.

L’application ˜u ∈ B(Hn) peut être identifiée à la matrice uI_n de M_n(B(H))

(grâce au Lemme 5.8.1). Soit M ∈ M_n(A′_{) alors comme u ∈ A}′′_{, uIn commute}

avec M donc uI_n∈M_n(A′₎′_{. Ainsi comme Mn(A}′_{) est isomorphe à ˜A}′ _{il vient}

que ˜u ∈ ˜A′′_{donc en appliquant l’ÉTAPE 1 à ˜A, ˜u, (x1, ..., xn)et H}n, il existe ˜v ∈

˜

A tel que ∣∣˜v(x₁, ...x_n) −u(x˜ ₁, ..., x_n)∣∣∞<ε i.e. ∀i ∈ {1, ..., n}, ∣∣v(x_i) −u(x_i)∣∣ <ε.

On en déduit que V rencontre A donc A est dense dans A′′ _{pour la topologie}

τSOT.

On peut maintenant énoncer la caractérisation suivante :

Théorème* 5.8.4. [51, p.120]

Soit A une C∗_{-sous algèbre de B(H). On considère l’injection canonique π ∶ A →}

B(H) : (π, H) est une représentation de la C∗_{-algèbre A. La représentation (π, H) est}

topologiquement irréductible si et seulement si A est τ_SOT-dense dans B(H).

Preuve :

Si la représentation (π, H) est irréductible, alors le commutant A′ _{de A est A}′_{= C Id}

(Théorème 5.6.2) donc le commutant A′′ _{de A}′ _{est A}′′ _{= (C Id)}′ _{= B(H). Comme A est}

τ_SOT-dense dans A′′ _{(Proposition 5.8.3) on a le résultat.}

Voir [51, p.120] pour la réciproque.

Dans le document Etats, idéaux et axiomes de choix (Page 140-145)