5.12 Liens entre les énoncés
6.1.2 Exemple : des idéaux à gauche de L(E)
Soient K un corps commutatif et E un K-espace vectoriel. On note L(E) l’ensemble des applications linéaires de E dans E.
— Les seuls idéaux bilatères de l’anneau Mn(K) des matrices de taille n × n à coeffi-cients dans K sont l’idéal nul et Mn(K) ([43, p.32], ou Remarque6.1.3, page 170). Ainsi, si E est un K-espace vectoriel de dimension finie, les seuls idéaux bilatères de L(E) sont les idéaux triviaux.
— Si E est un K-espace vectoriel, l’ensemble des endomorphismes de E de rang fini est un idéal bilatère de L(E).
— Soit F un sous-espace vectoriel d’un K-espace vectoriel E :
— L’ensemble LF ∶= {u ∈ L(E) ∣ F ⊆ ker u} est un idéal à gauche de L(E). C’est
l’ensemble des endomorphismes de E nuls sur F .
— L’ensemble RF ∶= {u ∈ L(E) ∣ Im(u) ⊆ F } est un idéal à droite de L(E). C’est
l’ensemble des endomorphismes de E à valeurs dans F .
Remarque 6.1.2.
Notons que L{0}=L(E) et LE = {0} : en particulier ces deux idéaux à gauche sont principaux.
Proposition* 6.1.1.
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie. Les idéaux à gauche de L(E) sont du type LF où F est un sous-espace vectoriel de E.
Preuve :
Soit J un idéal à gauche de L(E).
On considère le sous-espace vectoriel VJ ∶= {x ∈ E ∣ ∀u ∈ J u(x) = 0}. Montrons que J = LV (il est clair que J ⊆ LV).
Soit u ∈ LV i.e. u est nul sur V . Montrons que u ∈ J .
Comme E est de dimension finie, L(E) l’est aussi. Comme J est un sous-espace vectoriel de L(E), soit (u1, . . . , up)une base de J .
On considère l’application linéaire h ∶ E → E
p
x ↦ (u1(x), . . . , up(x)) .
Le sous-espace vectoriel J a pour base (u1, . . . , up) donc si x est un élément de ker h alors u1(x) = ⋅ ⋅ ⋅ = up(x) = 0 donc tout élément de J est nul en x et par conséquent x ∈ V
et donc comme u ∈ LV, il vient u(x) = 0. D’où ker h ⊆ ker u : il existe donc une application linéaire f ∶ Ep →E telle que u = f ○ h (en effet si y ∈ Im(h), on pose f (y) = u(y), puis on
pose par exemple f nulle sur un supplémentaire de Im(h) puisque l’on est en dimension finie).
Pour tout i ∈ {1, . . . , p}, on note qi ∶ E → Ep l’application linéaire définie pour tout
a ∈ E, qi(a) = (0, . . . , a
ieme, 0, . . . , 0).
Avec ces notations il vient, pour tout (x1, . . . , xp) ∈Ep, f (x1, . . . , xp) =
p ∑ i=1f ○ qi(xi). Soit x ∈ E : u(x) = f ○ h(x) = f (u1(x), . . . , up(x)) = p ∑
i=1f ○ qi○ui(x). Comme pour tout
i ∈ {1, . . . , n}, ui∈J , f ○ qi∈L(E) et que J est un idéal à gauche de L(E), il vient u ∈ J . Remarque 6.1.3.
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie. La Proposition 6.1.1 assure que les idéaux à gauche de L(E) sont du type LF où F est un sous-espace vectoriel de E. Les idéaux bilatères de L(E) sont donc du type {u ∈ L(E) ∣ F ⊆ ker u} où F est un sous-espace vectoriel de E vérifiant pour tous u, v ∈ L(E), si u est nul sur F alors u ○ v est nul sur F , donc F = {0} ou E. Ce qui prouve que les seuls idéaux bilatères de L(E) sont {0} ou L(E).
6.1.2.1 Des idéaux à gauche principaux Proposition 6.1.2.
Si un sous-espace vectoriel F d’un K-espace vectoriel E admet un supplémentaire G (ce qui est le cas si E est de dimension finie ou si F est un fermé d’un espace de Hilbert E), alors l’idéal à gauche LF ∶= {u ∈ L(E) ∣ F ⊆ ker u} est principal, engendré par le projecteur pG sur G parallèlement à F .
Preuve :
En effet, le projecteur pG sur G parallèlement à F est clairement un élément de LF. Il engendre même LF : en effet, si u ∈ LF, on peut définir une application linéaire v de E dans E quelconque sur F (par exemple nulle) et qui coïncide avec u sur G, d’où u = v ○pG.
Proposition 6.1.3.
Soit E un K-espace vectoriel. Si f ∈ L(E) et si Imf admet un supplémentaire G dans E, alors l’idéal à gauche engendré par f est de la forme :
(f )g =L(E)f = {u ∈ L(E) ∣ ker f ⊆ ker u} = Lker f
Preuve :
Il est clair que (f )g=L(E)f ⊆ {u ∈ L(E) ∣ ker f ⊆ ker u}.
Réciproquement, soit u ∈ L(E) tel que ker f ⊆ ker u :
— Si y ∈ Im(f ), il existe x ∈ E tel que y = f (x) et on pose v(y) ∶= u(x) (bien défini puisque si x1 et x2 sont deux antécédents de y par f alors x1−x2 ∈ker f ⊆ ker u). — On définit v quelconque sur G (par exemple v nul sur G).
On obtient v ○ f = u donc u ∈ L(E)f .
6.1.2.2 Opérateur de clôture
Soit E un K-espace vectoriel. On définit une application f de l’ensemble LI(L(E)) des idéaux à gauche de L(E) dans l’ensemble Sev(E) des sous-espaces vectoriels de E en posant pour tout idéal à gauche J de L(E) :
f (J ) ∶= ⋂
u∈Jker u
On définit également une application g de l’ensemble Sev(E) des sous-espaces vecto-riels de E dans l’ensemble LI(L(E)) des idéaux à gauche de L(E) en posant pour tout sous-espace vectoriel V de E :
Remarque 6.1.4.
— f ({0}) = E et f (L(E)) = {0}. — g({0}) = L(E) et g(E) = {0}.
— f et g sont décroissantes et vérifient pour tous J ∈ LI(L(E)) et tout V ∈ Sev(E) on a (V ⊆ f (J ) ⇔ J ⊆ g(V )). Dans ce cas c ∶= g ○ f (mais aussi c′∶= f ○ g) est un
opérateur de clôture i.e. c possède les trois propriétés suivantes :
— c est croissant.
— c est expansif i.e. si J est un idéal à gauche de L(E) alors J ⊆ c(J ). — c est idempotent i.e. c ○ c = c.
Remarque 6.1.5.
La Proposition 6.1.1 se reformule avec l’opérateur de clôture c = g ○ f : Si E est un K-espace vectoriel de dimension finie alors g ○ f = IdLI(L(E))
Proposition* 6.1.4.
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie. Alors f ○ g = IdSev(E).
Preuve :
Soit V un sous-espace vectoriel de E. Soit e1, . . . , ep une base de V , que l’on complète avec ep+1, . . . , en en une base de E.
On sait déjà que V ⊆ f ○ g(V ).
Soit x ∈ f ○ g(V ). Montrons que x ∈ V . Comme x ∈ E, x s’écrit x ∶= ∑n
i=1λiei où pour
tout i ∈ {1, . . . , n}, λi ∈ K.
Pour tout i ∈ {p + 1, . . . , n}, le projecteur pi ∶ E → E sur Kei est nul sur V , donc
pi∈g(V ) et comme x ∈ f ○ g(V ), il vient pi(x) = 0, ce qui prouve que x ∈ V . Remarque 6.1.6.
Si E est un K-espace vectoriel de dimension finie, les applications f et g définies plus haut sont donc bijections réciproques l’une de l’autre.
6.1.2.3 Des idéaux à gauche maximaux
On considère l’énoncé suivant :
D1,K : Pour tout K-espace vectoriel E, toute droite vectorielle de E admet au moins un supplémentaire.
Notons que D1,K équivaut à l’énoncé D2,K :“Pour tout K-espace vectoriel E, et tout
a ∈ E ∖ {0}, il existe une forme linéaire f ∶ E → K telle que f (a) = 1”.
On désignera par DK l’un ou l’autre de ces énoncés.
Proposition 6.1.5.
DK implique le résultat suivant :
Soit E un K-espace vectoriel. Si D une droite vectorielle de E, alors l’idéal à gauche LD ∶= {u ∈ L(E) ∣ D ⊆ ker u} est maximal.
Preuve :
Il est clair que l’idéal à gauche LD est propre dans L(E) (Id ∉ LD).
Soit u ∈ L(E) tel que u ∉ LD. Montrons que l’idéal à gauche engendré par LD et u est égal à L(E).
En considérant un élément non nul a de D, il vient u(a) ≠ 0. Avec DK, soit G un supplémentaire de la droite vectorielle dirigée par u(a).
On pose v une application linéaire de E dans E telle que : — v(u(a)) = a
— v quelconque sur G (par exemple nulle) Comme Id = (Id −v ○ u)
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
∈LD
+ (v ○ u), alors Id est dans l’idéal à gauche engendré par LD
et u. Donc l’idéal à gauche LD est maximal.
Réciproquement, en dimension finie on a le résultat suivant :
Proposition 6.1.6.
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie. Tout idéal à gauche maximal L de L(E) est du type LD où D est une droite vectorielle.
Preuve :
Soit L un idéal à gauche maximal de L(E). On note c l’opérateur de clôture c construit à la section 6.1.2.2.
Comme c est expansif, c(L) est un idéal à gauche qui inclut L donc par maximalité
c(L) = L ou c(L) = L(E). Comme L est maximal et que f est décroissante et bijective
(puisque E est de dimension finie, voir Remarque6.1.6), f (L) est donc minimal non nul : c’est une droite vectorielle D. Donc L ⊆ c(L) = g(D), or g(D) est propre (Id ∉ g(D)), donc g(D) = L.