maximaux
2.4.1 Caractérisation d’un e-état extrémal, dans ZF+DC
L’énoncé PS consiste en l’existence d’un état extrémal sur toute C∗-algèbre unitaire.
Les difficultés rencontrées dans la construction d’un tel état nous ont conduit à essayer reformuler la notion “d’état extrémal”, travail qui nous a mené à l’étude des idéaux à gauche maximaux.
Étant donné un état f sur une C∗-algèbre unitaire A, on note Nf ∶= {a ∈ A ∣ f (a∗a) = 0}
le cône isotrope associé à f . C’est un idéal à gauche fermé propre de A et Nf+N∗
f ⊆ker f (voir Section5.5), où Nf+N∗
f désigne l’adhérence de Nf+N∗
f dans A. On introduit l’énoncé suivant (conséquence de AC, et DC ⇏ AC, [37]) :
DC (Axiome des choix dépendants, [35], forme 43) : si R est une relation binaire sur un ensemble non vide E (i.e. une partie de E × E), et si pour tout x ∈ E il existe y ∈ E tel que xRy (i.e. (x, y) ∈ R) alors il existe une suite (an)n∈N de E telle que :
∀n ∈ N anRan+1
Noter que DC ⇒ ACω.
On énonce également la conséquence suivante de ACω :
MCω (axiome du choix multiple dénombrable, [35], forme 126) : “Pour toute famille (Xn)n∈N d’ensembles non vides, il existe une famille (Fn)n∈N d’ensembles finis non vides
telle que pour tout n ∈ N, Fn⊆Xn”.
Noter que MCω n’est pas conséquence de ZF ([15]) et que MCω n’implique pas ACω ([60]).
Théorème (Théorème5.10.1, page 151).
Si f est un état sur une C∗-algèbre unitaire A, on obtient, dans ZF, le schéma
E1.0(f ) ∶ ker f = Nf+N∗ f E2.4(f ) ∶ ker f = Nf+N∗ f )) uu +MCω OO
E2.1(f ) ∶ Nf est maximal E2.0(f ) ∶ f est extrémal
Remarque 2.4.1.
Les implications E2.1(f )+DC
⇒ E1.0(f ) et E2.0(f )+DC
⇒ E1.0(f ) utilisent DC via le
Théo-rème de Kadison (ThéoThéo-rème 5.8.5 page 143). Pour prouver le théorème de Kadison, on prouve d’abord le Théorème de Kaplanski (Théorème 5.8.3, page 140). Habituellement prouvé dans ZF + HB, on démontre que le théorème de Kaplanski est en fait prouvable dans ZF (Section 5.8.1, page 137). Pour cela, étant donné un espace de Hilbert H, on munit B(H) de la topologie τSOT (“Strong Operator Toplogy”, [20, 256]) : τSOT est la topologie sur B(H) engendrée par les boules B(u, r) ∶= {v ∈ B(H) ∣ ∣∣(v − u)(x)∣∣ < r}, où
u ∈ B(H), r ∈ R∗+, x ∈ H ; notons qu’il s’agit aussi de la topologie associée à la famille de
semi-normes (Nx)x∈H où Nx ∶ u ∈ B(H) ↦ ∣∣u(x)∣∣ lorsque x ∈ H. On considère l’énoncé
suivant :
CHBB(H),τSOT : pour toute forme sous-linéaire p ∶ B(H) → R continue pour la topo-logie τSOT, il existe une forme linéaire f ∶ B(H) → R telle que f ≤ p.
On démontre que cet énoncé se prouve dans ZF (Section 5.8.1).
L’étude du théorème de Kaplanski nous a conduit à un travail sur les topologies (Annexe B), travail qui peut paraître éloigné de la question de départ, mais qui a permis de mettre en évidence quelques remarques intéressantes, notamment des condi-tions suffisantes pour que la topologie τSOT sur B(H) (où H est un espace de Hilbert) soit strictement incluse dans la topologie τU OT (“Uniform Operator Topology”) i.e. la topologie sur B(H) issue de la norme uniforme d’opérateurs définie par : pour tout
u ∈ B(H), ∣∣u∣∣ = sup
∣∣x∣∣≤1∣∣u(x)∣∣.
2.4.1.1 Détails sur l’implication E2.4(f ) ⇒ E1.0(f ), avec MCω
Avec les notations de la section précédente, f désigne un état sur une C∗-algèbre
unitaire A et Nf désigne le cône isotrope associé à f .
Rappelons qu’un espace semi-métrique (X, d) est dit complet si tout net de Cauchy (de façon équivalente tout filtre de Cauchy) de (X, d) converge ; on dira qu’il est
séquen-tiellement complet si toute suite de Cauchy converge (voir AnnexeCpour plus de détails sur les nets et la complétude).
Un argument de Dixon (voir Proposition 5.9.1, page 149) permet de prouver, avec
MCω, que la somme des deux idéaux Nf +N∗
f est fermée dans la C∗-algèbre unitaire A
(on obtient donc l’implication E2.4(f ) ⇒ E1.0(f ) avec MCω).
Dans l’argument de Dixon (Proposition 5.9.1, page 149), l’axiome MCω est utilisé pour prouver que le quotient d’un R-espace vectoriel normé complet E (au sens des filtres de Cauchy) par un sous-espace vectoriel fermé F est complet (pour les filtres de Cauchy). Dans le but de prouver ce résultat, nous avons obtenu les théorèmes suivants :
Théorème (Théorème5.9.4, page147).
Dans ZF + MCω : si E est un R-espace vectoriel normé séquentiellement complet ( i.e. dans lequel toute suite de Cauchy converge), et si F est un sous-espace vectoriel fermé de E, alors le R-espace vectoriel normé quotient E/F est encore séquentiellement complet.
On obtient aussi, cette fois ci dans ZF, la caractérisation suivante :
Théorème (Théorème5.9.2, page146).
Soit E un R-espace vectoriel normé.
E est complet au sens des filtres de Cauchy si et seulement si toute suite décroissante
(Cn)n∈N de convexes fermés non vides de E telle que diam(Cn) →
n→+∞0 est d’intersection
⋂
n∈NCn non vide.
Remarque 2.4.2.
Ce résultat s’obtient dans ZF. Guttieres ([29, Théorème 5.2.7], ou Théorème 5.9.1) a montré que, dans ZF, un espace semi-métrique (X, d) est complet pour les filtres de Cauchy si et seulement si toute suite décroissante (Fn)n∈N de fermés non vides de X telle
que diam(Fn) →
n→+∞ 0 a une intersection non vide. Le Théorème 5.9.2 ci-dessus donne
donc une version avec des convexes pour les R-espaces vectoriels normés.
Enfin, grâce à la caractérisation des espaces vectoriels normés complets donnée ci-dessus, on prouve le théorème suivant :
Théorème (Théorème5.9.3, page147).
Soit E un R-espace vectoriel normé.
MCω implique le résultat suivant : Si E est séquentiellement complet, alors E est complet.
Remarque 2.4.3.
Dans ZF + ACω : un espace semi-métrique (X, d) séquentiellement complet est com-plet au sens des filtres de Cauchy ([29, Théorème 5.2.7], ou Théorème5.9.1, page 144).
Nous pouvons maintenant, grâce à ces trois résultats, ébaucher le raisonnement pour prouver que si E est un R-espace vectoriel normé complet (au sens des filtres de Cauchy) et F un sous-espace vectoriel fermé de E, alors le R-espace vectoriel normé quotient E/F est complet dans ZF + MCω (utilisé dans l’argument de Dixon) :
— Comme le R-espace vectoriel E est complet, il est aussi séquentiellement complet (voir Théorème 5.9.1, page144).
— Avec MCω et le Théorème 5.9.4 cité ci-dessus, on en déduit que le R-espace vec-toriel normé quotient E/F est séquentiellement complet.
— Enfin, toujours avec MCω, le Théorème 5.9.3 cité ci-dessus appliqué au R-espace vectoriel normé quotient E/F , assure que E/F est complet.
2.4.2 Étude des idéaux à gauche
Le schéma page36permet de dire, avec DC, qu’un état f sur une C∗-algèbre unitaire
A est extrémal si et seulement si l’idéal à gauche fermé propre Nf est maximal (on rappelle que Nf ∶= {a ∈ A ∣ f (a∗a) = 0}).
On se tourne donc vers l’étude des idéaux à gauche fermés propres d’une C∗-algèbre
unitaire.
On définit un ∗-sous-espace vectoriel V d’une C∗-algèbre unitaire A comme un
sous-espace vectoriel de A contenant l’unité 1A de A et stable par ∗. Notons que dans ce cas
V = Vsa+iVsaoù Vsa∶= {z ∈ V ∣ z∗ =z} (puisque si x ∈ V alors 1
2(x + x∗)et i1
2(x∗−x) sont
dans Vsa). On peut alors définir un état sur un ∗-sous-espace vectoriel V unitaire comme une forme linéaire unitaire dont la restriction au R-espace vectoriel ordonné unitaire Vsa
est un état. Le résultat qui suit permet de construire, à partir d’un idéal à gauche fermé propre L d’une C∗-algèbre unitaire A, un état sur un ∗-sous-espace vectoriel VL unitaire
de A (Section 5.7.4, page 135) :
Théorème (Théorème5.7.4, page136).
Soit A une C∗-algèbre unitaire d’unité 1A et L un idéal à gauche fermé propre de A.
Alors dans ZF : 1A ∉L + L∗ (Théorème 5.7.3, page 134) et il existe un unique état ηL
sur VL∶= (L + L∗) ⊕ C1A, nul sur L + L∗ (de plus cet état se prolonge de manière unique
à (L + L∗) ⊕ C1A).
On dira qu’un idéal à gauche fermé propre L d’une C∗-algèbre unitaire A est
prolon-geable si l’état ηL construit grâce au théorème précédent se prolonge en un état sur A. On dira que l’idéal L est isotrope si L est le cône isotrope Nf associé à un état f sur A.
Théorème (Théorème5.10.2, page 156).
On obtient alors le schéma (simplifié) suivant (schéma page 156), où L désigne un idéal à gauche fermé propre d’une C∗-algèbre unitaire A :
M1.1(L) ∶ L est maximal et L + L∗ est un hyperplan M2.0(L) ∶ L est maximal et L + L∗ est un hyperplan +MCω OO {{ M2.1(L) ∶ L est isotrope et L + L∗ est un hyperplan // oo M2.2(L) ∶ L est maximal et L est prolongeable +DC >> M3.0(L) ∶ L est maximal +HB OO
La question de départ de la thèse (à savoir s’il est possible de prouver PS dans
ZF + T2 + ACω) soulève donc une autre question (non résolue pour l’instant) :
Question 3.
Étant donnée une C∗-algèbre unitaire A, peut-on construire, dans ZF + T2 + ACω
(voire dans ZF + T2 + DC), un idéal à gauche propre maximal L de A ? Notons que
T2 + DC ⇏ AC.
Remarque 2.4.4.
Si la C∗ algèbre unitaire A est séparable et si L est un idéal à gauche fermé propre
de A, les énoncés M3.0(L), M2.2(L), M2.0(L), M2.1(L) et M1.1(L) sont équivalents dans
2.4.2.1 Le prolongement de ηL en un état sur A est-il possible dans ZF ?
Soit L un idéal à gauche fermé propre maximal d’une C∗-algèbre unitaire A, on dispose
alors d’un état ηL sur VL ∶= (L + L∗) ⊕ C1A (Théorème 5.7.4, page 136). On remarque
que :
— avec HB, L est prolongeable et avec DC on a VL =A (d’après le schéma
précé-dent) : le prolongement de ηL à A est donc unique.
— dans le cas où la C∗-algèbre unitaire A est commutative, si L est un idéal propre
maximal alors L est le noyau d’un morphisme d’algèbre unitaire f ∶ A → R (voir Proposition5.1.3 page 109) donc L est un hyperplan.
Question (Question 7, page 160).
Soit L un idéal à gauche fermé propre maximal d’une C∗-algèbre unitaire A. Est-il
pos-sible, dans ZF, de prolonger ηLen un état sur A (i.e. M3.0(L)⇒? M2.2(L)). L’utilisation
de HB est-elle indispensable ?