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Etats, idéaux et axiomes de choix
Martine Barret
To cite this version:
Martine Barret. Etats, idéaux et axiomes de choix. Mathématiques générales [math.GM]. Université de la Réunion, 2017. Français. �NNT : 2017LARE0025�. �tel-01704523�
Thèse en vue de l’obtention du diplôme de Doctorat
Spécialité : Mathématiques
États, idéaux et axiomes de choix
States, ideals and axioms of choice
Martine BARRET
Université de la Réunion
UFR Sciences et Technologies
Soutenue le 27 Septembre 2017
Thèse dirigée par Marianne MORILLON
JURY
Isabelle CHALENDAR (Examinateur), Professeur à l’Université Paris-Est Marne-la-Vallée. Christian DELHOMME (Examinateur), Professeur à l’Université de la Réunion.
Alain ESCASSUT (Examinateur et Président du Jury), Professeur émérite à l’Université Blaise Pascal Clermont Auvergne. Paul HOWARD (Rapporteur), Professeur, Eastern Michigan University. Etienne MATHERON (Rapporteur), Professeur à l’Université d’Artois.
Marianne MORILLON (Directeur de Thèse), Professeur à l’Université de la Réunion. Dominique TOURNES (Examinateur), Professeur à l’Université de la Réunion.
Table des matières
1 Abstract 11
1.1 Starting point . . . 11
1.1.1 C∗-algebras and positive elements . . . 11
1.1.2 States on a unital C∗-algebra . . . 12
1.1.3 Starting problem . . . 13
1.2 Existence of states /pure states in some structures. . . 14
1.2.1 Existence of states in abelian ordered groups with a positive order unit, in ZF + HB . . . 15
1.2.2 Existence of pure states on Riesz groups with a positive order unit, in ZF + T2 . . . 16
1.2.3 Another proof in the case of real ordered vector spaces (Section 4.5.5) 16 1.2.4 The existence of pure states on every real ordered vector spaces with a positive order unit implies AC . . . 17
1.3 Pure states on unital C∗-algebras . . . 18
1.3.1 The real ordered vector space Asa is not a lattice vector space in general . . . 18
1.3.2 Restriction of pure state . . . 19
1.4 Link between pure states and maximal left ideals . . . 19
1.4.1 Characterisation of pure states, in ZF+DC . . . 19
1.4.1.1 Details on the implication E2.4(f ) ⇒ E1.0(f ), with MCω . 21 1.4.2 Left ideals. . . 22
1.4.2.1 Is it possible, in ZF, to extend the state ηL to A ? . . . 24
1.5 Maximal ideals, primitive ideals, prime ideals in a unital ring . . . 24
2 Résumé 27 2.1 Point de départ . . . 27
2.1.1 C∗-algèbres et éléments positifs . . . 27
2.1.2 États sur une C∗-algèbre unitaire. . . 28
2.1.3 Problématique . . . 29
2.2 Existence d’états / d’états extrémaux dans certaines structures . . . 31
2.2.1 Existence d’états dans les groupes ordonnés avec unité d’ordre, dans ZF + HB . . . 31
2.2.2 Existence d’états extrémaux dans les groupes de Riesz avec unité d’ordre, dans ZF + T2 . . . 32
2.2.3 Une autre preuve dans le cas des R-espaces vectoriels ordonnés (Section 4.5.5) . . . 33
2.2.4 L’existence d’états extrémaux dans les R-espaces vectoriels
ordon-nés avec unité d’ordre implique AC . . . 34
2.3 États extrémaux sur une C∗-algèbre . . . 35
2.3.1 Le R-espace vectoriel ordonné Asa n’est pas réticulé en général . . . 35
2.3.2 Restriction non extrémale d’un état extrémal . . . 35
2.4 Lien entre états extrémaux et idéaux à gauche maximaux . . . 36
2.4.1 Caractérisation d’un e-état extrémal, dans ZF+DC . . . 36
2.4.1.1 Détails sur l’implication E2.4(f ) ⇒ E1.0(f ), avec MCω . . 37
2.4.2 Étude des idéaux à gauche . . . 39
2.4.2.1 Le prolongement de ηL en un état sur A est-il possible dans ZF ? . . . 41
2.5 Idéaux maximaux, primitifs, premiers d’un anneau unitaire . . . 41
3 Différents niveaux d’Axiome du Choix 43 3.1 L’axiome du choix sous différentes formes . . . 43
3.1.1 L’Axiome du Choix . . . 43
3.1.2 Des énoncés équivalents à AC . . . 44
3.1.2.1 Le “lemme de Zorn” . . . 44
3.1.2.2 L’énoncé de Krull . . . 44
3.1.2.3 L’énoncé de Kelley . . . 45
3.2 Des formes strictement plus faibles que l’Axiome du Choix . . . 45
3.2.1 L’axiome des choix dépendants . . . 45
3.2.2 L’axiome du choix dénombrable . . . 45
3.2.3 L’énoncé de Tychonoff pour les compacts séparés . . . 46
3.2.3.1 Choix dans les compacts séparés . . . 47
3.2.4 Énoncé de Hahn-Banach . . . 48
3.2.4.1 Énoncé de Hahn-Banach dans les espaces de Hilbert . . . 49
3.2.5 Le théorème de Krein-Milman. . . 49
3.2.6 Schéma récapitulatif . . . 50
3.3 Des versions prouvables dans ZF . . . 50
3.3.1 Quelques rappels préalables . . . 50
3.3.1.1 Norme uniforme d’opérateurs . . . 50
3.3.1.2 Topologie initiale à une famille d’applications. . . 51
3.3.2 Banach-Alaoglu : cas séparable, dans ZF . . . 51
3.3.3 Théorème de Krein-Milman : version dénombrable, dans ZF . . . . 53
3.3.4 Théorème de Hahn-Banach : cas séparable, dans ZF . . . 55
3.3.4.1 L’énoncé CHB pour des espaces séparables. . . 55
3.3.4.2 Une version multiple. . . 55
4 Groupes et R-espaces vectoriels ordonnés avec unité d’ordre, états 57 4.1 Ensembles ordonnés . . . 57
4.1.1 Ensembles ordonnés, [27] . . . 57
4.1.2 Intervalles dans un ensemble ordonné . . . 58
4.1.3 Sous-ensembles o-convexes d’un ensemble ordonné . . . 58
4.1.4 Treillis . . . 58
4.2.1 Relation d’ordre . . . 60
4.2.2 Cône positif . . . 60
4.2.3 Sous-groupes o-convexes . . . 61
4.2.3.1 Structure de groupe ordonné sur un quotient . . . 61
4.2.4 Groupes perforés. . . 62
4.2.5 o-idéaux d’un groupe commutatif ordonné . . . 62
4.2.6 Groupes de Riesz . . . 63
4.2.6.1 Groupes de Riesz et perforation . . . 64
4.2.6.2 Sous-groupes de Riesz . . . 64
4.2.7 Unités d’ordre et états sur un groupe commutatif ordonné. . . 66
4.2.7.1 États extrémaux . . . 67
4.2.7.2 États hyper-extrémaux . . . 68
4.2.8 Groupes archimédiens, groupes intégralement clos. . . 69
4.2.8.1 Dans une structure réticulée . . . 70
4.3 Espaces vectoriels ordonnés. . . 70
4.3.1 Espaces vectoriels de Riesz. . . 71
4.3.2 o-idéaux d’un espace vectoriel ordonné . . . 72
4.3.2.1 o-idéaux engendrés dans un espace vectoriel de Riesz . . . 73
4.3.3 Espace vectoriel ordonné archimédien . . . 74
4.3.4 Unité d’ordre dans un R-espace vectoriel ordonné et semi-norme associée . . . 74
4.3.4.1 Topologie des unités d’ordre . . . 75
4.3.4.2 Unité d’ordre et quotient . . . 76
4.3.4.3 Unité d’ordre et caractère archimédien . . . 76
4.3.4.4 Propriétés des unités d’ordre . . . 78
4.3.5 Formes linéaires positives, états sur un R-espace vectoriel ordonné avec unité d’ordre . . . 79
4.3.5.1 États sur un R-espace vectoriel ordonné avec unité d’ordre 79 4.4 Existence d’états sur les groupes et R-espaces vectoriels ordonnés avec unité d’ordre . . . 81
4.4.1 Existence d’états dans les groupes ordonnés avec unité d’ordre, dans ZF+HB . . . 81
4.4.1.1 Cas dénombrable, dans ZF . . . 81
4.4.1.2 Cas général, avec HB . . . 83
4.4.2 Existence d’états sur les R-espaces vectoriels ordonnés avec unité d’ordre, dans ZF+HB : première preuve . . . 85
4.4.2.1 Cas séparable, dans ZF . . . 85
4.4.2.2 Cas général, avec HB . . . 87
4.4.3 Existence d’états extrémaux dans les groupes de Riesz avec unité d’ordre, dans ZF + T2 . . . 87
4.4.3.1 Cas dénombrable, dans ZF . . . 87
4.4.3.2 Cas général, avec T2 . . . 88
4.5 Sous-espaces o-convexes maximaux, o-idéaux maximaux . . . 90
4.5.1 Clôture d’une partie d’un R-espace vectoriel ordonné . . . 90
4.5.2.1 Semi-norme associée à une unité d’ordre dans les espaces
de Riesz . . . 91
4.5.2.2 Adhérence de o-idéaux dans un R-espace vectoriel de Riesz 91 4.5.3 Existence de sous-espaces vectoriels convexes maximaux, de o-idéaux maximaux : cas séparables . . . 92
4.5.4 Correspondance entre états et sous-espaces o-convexes maximaux ; formes de Riesz et o-idéaux maximaux, dans ZF . . . 94
4.5.4.1 Cas des groupes ordonnés : lien entre sous-groupe o-convexe maximal et état, dans ZF+HB . . . 95
4.5.5 Existence d’états (resp. d’états extrémaux) dans un R-espace vecto-riel ordonné (resp. de Riesz) avec unité d’ordre, séparable : deuxième preuve . . . 96
4.5.5.1 Existence d’e-états extrémaux dans un R-espace vectoriel ordonné avec unité d’ordre, séparable . . . 96
4.5.6 Existence d’e-états dans les R-espaces vectoriels ordonnés avec unité d’ordre, avec HB . . . 97
4.5.7 Existence de formes de Riesz unitaires dans les espaces de Riesz avec unité d’ordre, avec T2 . . . 97
4.5.7.1 Espace de Riesz engendré par une partie finie ou dénom-brable . . . 97
4.5.7.2 Existence de formes de Riesz dans les espaces de Riesz avec unité d’ordre, avec T2 . . . 98
5 C∗-algèbres, états, idéaux à gauche 101 5.1 Algèbres de Banach . . . 101
5.1.1 Algèbre de Banach . . . 101
5.1.2 Spectre d’un élément . . . 102
5.1.2.1 Propriétés du spectre dans les algèbres de Banach unitaires103 5.1.2.2 Conséquences sur les idéaux . . . 104
5.1.3 Rayon spectral . . . 105
5.1.3.1 Définition . . . 105
5.1.3.2 Lemme de Baire et Théorème de Banach-Steinhauss pour des espaces séparables . . . 105
5.1.3.3 Formule de Beurling . . . 106
5.1.4 Caractères . . . 108
5.1.4.1 Caractères . . . 108
5.1.4.2 Existence de caractères en commutatif, avec T2 . . . 109
5.1.4.3 Existence de caractères dans le cas séparable, dans ZF . . 110
5.1.4.4 Représentation de Gelfand pour les algèbres de Banach unitaires . . . 111
5.2 C∗-algèbres . . . 112
5.2.1 C∗-algèbres . . . 112
5.2.2 Représentation des C∗-algèbres unitaires commutatives (Théorème de Gelfand-Naimark), avec T2 . . . 113
5.2.3 Le calcul fonctionnel continu et ses conséquences . . . 114
5.2.4 Le R-espace vectoriel ordonné Asa, avec unité d’ordre . . . 116
5.3 Formes linéaires positives . . . 117
5.3.1 Caractérisation des formes linéaires positives . . . 117
5.3.2 États sur un ∗-sous-espace vectoriel unitaire d’une C∗-algèbre unitaire118 5.3.2.1 Existence d’états sur une C∗-algèbre unitaire, avec HB. . 119
5.4 États extrémaux sur une C∗-algèbre unitaire . . . 119
5.4.1 États extrémaux et restrictions : remarques . . . 120
5.4.2 Existence d’états extrémaux sur une C∗-algèbre unitaire séparable, dans ZF. . . 121
5.4.3 Asa n’est pas de Riesz . . . 122
5.4.4 L’existence d’états extrémaux sur un R-espace vectoriel ordonné avec unité d’ordre implique AC . . . 122
5.4.4.1 Le R-espace vectoriel ordonné avec unité d’ordre Aff(K) . 123 5.4.4.2 Résultantes d’un état sur Aff(K) . . . 123
5.4.4.3 États extrémaux sur Aff(K) . . . 124
5.4.4.4 L’énoncé Al4, équivalent à T2. . . 125
5.4.4.5 L’existence d’états extrémaux sur un R-espace vectoriel ordonné avec unité d’ordre implique AC. . . 125
5.5 Cône isotrope associé à une forme linéaire positive. . . 126
5.5.1 Les états vectoriels sur B(H) sont extrémaux : preuve directe . . . 127
5.5.1.1 Un état vectoriel sur B(H) n’est pas hyper-extrémal en général . . . 128
5.5.2 Une utilisation des cônes isotropes . . . 129
5.6 Représentations. . . 129
5.6.1 Représentation associée à une forme linéaire positive . . . 129
5.6.2 Représentation universelle, injectivité avec HB . . . 130
5.6.3 Représentations irréductibles et caractérisations . . . 131
5.7 Idéaux à gauche d’une C∗-algèbre unitaire. . . 133
5.7.1 Unité approchée . . . 133
5.7.2 Conséquences sur les idéaux à gauche fermés propres . . . 134
5.7.3 Idéaux à gauche fermés propre et boule unité stricte B(1A, 1). . . . 134
5.7.4 Construction d’un état associé à un idéal à gauche fermé propre d’une C∗-algèbre unitaire . . . 135
5.7.4.1 Formes linéaires positives intermédiaires . . . 135
5.7.4.2 La forme linéaire ηL∶VL → C est positive et continue de norme 1 . . . 136
5.7.4.3 Conséquences . . . 137
5.8 Théorème de Kaplanski et Théorème de Kadison. . . 137
5.8.1 Théorème de Kaplanski . . . 137
5.8.1.1 Topologie associée à des semi-normes ([20, p.256] et An-nexe B) . . . 137
5.8.1.2 B(H) muni de la topologie τSOT vérifie la propriété CHB dans ZF . . . 138
5.8.1.3 Le théorème de Kaplanski, dans ZF . . . 139
5.8.1.4 Un résultat sur le bicommutant et une caractérisation des représentations irréductibles . . . 140
5.8.2 Le Théorème de Kadison. . . 143
5.8.2.1 Théorème de Kadison, avec DC . . . 143
5.9 Sur la notion de complétude dans les R-espaces vectoriels normés. . . 144
5.9.1 Complétude d’un espace semi-métrique . . . 144
5.9.2 Complétude des R-espaces vectoriels normés . . . 145
5.9.2.1 Une caractérisation de la complétude des R-espaces vec-toriels normés, dans ZF. . . 145
5.9.2.2 Complétude et séquentielle complétude d’un R-espace vec-toriel normé . . . 146
5.9.3 Quotient d’un R-espace vectoriel normé complet par un sous-espace vectoriel fermé . . . 147
5.9.4 Application : somme de deux idéaux . . . 148
5.9.4.1 Somme des deux sous-espaces vectoriels fermés . . . 148
5.9.4.2 Application aux idéaux à gauche . . . 149
5.10 Énoncés sur les idéaux à gauche et cônes isotropes : implications . . . 150
5.10.1 Propriétés éventuelles d’un état, cônes isotropes . . . 150
5.10.1.1 Une conséquence : lemme d’excision . . . 154
5.10.2 Propriétés éventuelles d’un idéal à gauche . . . 155
5.10.2.1 Une implication supplémentaire sur les idéaux à gauche dans le cas séparable . . . 160
5.11 Correspondance entre o-idéaux et idéaux à gauche d’une C∗-algèbre . . . . 160
5.12 Liens entre les énoncés . . . 162
5.12.1 Énoncés . . . 162
5.12.2 Schéma . . . 163
5.12.3 Preuves . . . 165
6 Idéaux premiers d’un anneau unitaire 168 6.1 Idéaux d’un anneau unitaire . . . 168
6.1.1 Généralités ([11]) . . . 168
6.1.1.1 Opérations sur les idéaux . . . 169
6.1.2 Exemple : des idéaux à gauche de L(E). . . 170
6.1.2.1 Des idéaux à gauche principaux . . . 171
6.1.2.2 Opérateur de clôture . . . 171
6.1.2.3 Des idéaux à gauche maximaux . . . 172
6.2 Idéaux primitifs d’un anneau unitaire . . . 173
6.2.1 Définitions . . . 173
6.2.1.1 Une définition équivalente . . . 174
6.2.2 Idéaux maximaux et idéaux primitifs d’un anneau unitaire . . . 174
6.3 Idéaux premiers d’un anneau unitaire . . . 175
6.3.1 Exemples . . . 175
6.3.2 Remarques sur les énoncés DK et HB . . . 177
6.3.3 Trace d’un idéal premier . . . 177
6.3.3.1 Cas commutatif. . . 177
6.3.3.2 Cas non commutatif . . . 178
6.3.4 Topologie de Zariski sur le spectre d’un anneau . . . 178
6.4.1 Parties multiplicatives, m-systèmes . . . 180
6.4.2 Relation concourante . . . 180
6.4.3 Existence d’idéaux premiers dans le cas d’un anneau commutatif unitaire, avec T2, nouvelle preuve . . . 181
6.4.3.1 Conséquence : compacité du spectre d’un anneau commu-tatif unitaire, avec T2 . . . 183
6.5 Existence d’idéaux premiers dans le cas d’un anneau non commutatif unitaire183 6.5.1 Topologie sur l’ensemble des ultrafiltres d’une partie . . . 183
6.5.2 Provision d’ultrafiltres . . . 184
6.5.3 Existence d’idéaux premiers : cas non commutatif avec m-système, nouvelle preuve . . . 184
6.5.4 Compacité du spectre d’un anneau unitaire, avec T2 . . . 187
A Axiomes de ZF 188 A.1 Théorie des ensembles : ZF et ZFC . . . 188
A.1.1 Les axiomes de ZF . . . 188
A.1.2 Une conséquence du schéma de remplacement . . . 192
B Topologies 194 B.1 K-espaces vectoriels topologiques . . . 194
B.1.1 K-espaces vectoriels topologiques . . . 194
B.1.2 Espaces vectoriels topologiques localement convexes . . . 195
B.1.3 Topologie associée à une famille de semi-normes ([20]) . . . 195
B.1.4 Topologies d’espaces vectoriels topologiques T2 en dimension finie . 196 B.2 La topologie faible sur un K-espace vectoriel topologique E . . . 197
B.3 Topologies sur B(E) . . . 198
B.3.1 Généralités sur la topologie produit . . . 198
B.3.2 Topologie τU OT sur B(E) . . . 198
B.3.3 Topologie τSOT sur B(E) ([20, p.256]) . . . 199
B.3.3.1 Cas des espaces de Hilbert : τSOT ⊊τU OT . . . 200
B.3.4 Topologie τW OT sur B(E) ([20, p.256]) . . . 200
B.3.5 Conditions suffisantes pour que τSOT ⊊τU OT . . . 201
B.3.5.1 Implications . . . 201
B.3.5.2 Non implications . . . 207
B.4 Un exemple avec les idéaux à gauche . . . 208
B.5 Théorème de Kadison dans un espace séparable . . . 208
B.5.0.1 Version séparable du théorème de Kadison, dans ZF . . . 208
C Éléments sur la notion de complétude 214 C.1 Nets, filtres . . . 214
C.1.1 Nets convergents. . . 214
C.1.2 Filtres convergents . . . 215
C.1.3 Liens entre filtres et nets ([2, p.35]) . . . 215
C.2 Complétude au sens des filtres de Cauchy . . . 216
C.2.1 Complété d’un espace métrique . . . 217
C.2.3 Complété d’autres structures . . . 218
C.3 Complétude et séquentielle complétude . . . 218
C.3.1 Caractérisation dans les espaces semi-métriques . . . 218
C.3.2 Complétude et séquentielle complétude d’un espace semi-métrique séparable . . . 219
C.3.3 Quotient d’un R-espace vectoriel normé séparable complet par un sous-espace vectoriel fermé. . . 219
C.4 Construction d’un espace normé séquentiellement complet mais pas com-plet à partir du premier modèle de Cohen . . . 221
C.5 Théorème de projection sur un convexe fermé. . . 223
D Puissances réduites 226 D.1 Puissances réduites : [48] ou [32, p.442] . . . 226
D.1.1 Puissances réduites de structures . . . 226
D.1.2 L’espace L0(XI/F ) . . . 227
D.2 Convergence suivant ultrafiltre . . . 227
D.2.1 Filtre image . . . 227
D.2.2 Convergence suivant un filtre . . . 227
D.2.2.1 Filtres et compacité . . . 227
D.3 Relation concourante, [48] . . . 228
Remerciements
Si aujourd’hui ce travail de recherches aboutit c’est grâce à plusieurs personnes que je tiens à remercier.
En premier lieu je remercie ma directrice de thèse, Marianne Morillon. Depuis le début de ce travail elle a fait preuve de bienveillance et m’a consacré un temps précieux. Elle a toujours été disponible et de très bon conseil. J’estime avoir eu un encadrement de haute qualité et c’est en grande partie grâce à elle si cette thèse voit le jour.
Je remercie Paul Howard et Etienne Matheron d’avoir accepté d’être rapporteurs et jurys pour cette thèse, pour leurs remarques et suggestions pertinentes. Je remercie également les autres membres du jury : Isabelle Chalendar, Alain Escassut, Christian Delhommé et Dominique Tournès.
Je tiens également à souligner la disponibilité de Christian Delhommé pour sa parti-cipation à mes exposés lors de nos groupes de travail durant ce travail de recherche et je le remercie pour ses conseils avisés.
Enfin, je remercie ma famille, d’une part de m’avoir encouragée à me lancer dans cette aventure, d’autre part de m’avoir supportée et soutenue durant toute la durée de ce travail. Une pensée particulière à ma fille qui m’a apporté une motivation supplémentaire en pointant le bout de son nez au beau milieu de ces années de doctorat.
Chapters 1 and 2 are summaries of the thesis document, in English and in French, res-pectively. They emphasize, among others, the main results of this thesis.
Les chapitres 1 et 2 sont des résumés (guides de lecture) de la thèse, respectivement en Anglais et en Français. Ils soulignent, entre autres, les principaux résultats obtenus dans cette thèse.
Dans tout ce document, les résultats suivis d’une étoile (comme par exemple “Théorème∗”) désigneront des résultats qui figurent déjà dans la littérature. Les résultats sans étoile dé-signeront les contributions issues de cette thèse (résultat nouveau ou nouvelle preuve d’un résultat déjà connu).
Chapitre 1
Abstract
We denote by AC “the Axiom of choice” ([35], form 1) : “ Given a family (Xi)i∈I of
non-empty sets, the product ∏
i∈I
Xi is non-empty”.
We work in ZF : set-theory without axiom of choice.
1.1
Starting point
1.1.1
C
∗-algebras and positive elements
A normed C-algebra (A, ∣∣ ∣∣) is a C-algebra with a norm ∣∣ ∣∣ satisfying for all a, b ∈ A, ∣∣ab∣∣ ≤ ∣∣a∣∣.∣∣b∣∣. In a unital C-algebra A with unit 1A, the spectrum of an element a ∈ A is the set Sp(a) of all t ∈ C such that a − t.1A is not invertible in A.
A C∗-algebra ([51, p.36]) is a Banach C-algebra (A, ∣∣ ∣∣) (i.e. a normed C-algebra
which is complete in the sense of Cauchy nets : see Appendix C , page 216), with an application ∗ ∶ A → A satisfying for all a, b ∈ A and for all λ ∈ C the following conditions :
— (a + b)∗ =a∗+b∗ and (λa)∗=λa∗ (semi-linear ) — a∗∗=a (involutive)
— (ab)∗=b∗a∗
— ∣∣a∗a∣∣ = ∣∣a∣∣2 (thus ∣∣a∗∣∣ = ∣∣a∣∣)
In a C∗-algebra A with unit 1A then : 1∗A=1A(in fact : 1∗A=1∗A1A=1∗A1∗∗A = (1∗A1A)∗=
1∗∗A =1A).
Example 1.1.1.
— If X is a topological space, the set Cb(X, C) of all bounded continuous
complex-valued functions on X is a unital abelian C∗-algebra (the involution ∗ being the complex conjugation). For every f ∈ Cb(X, C), the spectrum Sp(f ) is the
topolo-gical closure of f [X] in C.
— If H is a Hilbert space on C, the set B(H) of all bounded (i.e. continuous) linear maps from H to itself (endowed with the uniform operator norm defined by : for every u ∈ B(H), ∣∣u∣∣ = sup
∣∣x∣∣≤1∣∣u(x)∣∣) is a unital C
∗-algebra, not abelian in general,
and the involution is ∗ ∶ u ∈ B(H) ↦ u∗, where u∗ is the adjoint of u i.e. the unique v ∈ B(H) such that for all x, y ∈ H, ⟨u(x), y⟩ = ⟨x, v(y)⟩. The existence
of this adjoint is legitimated by the projection theorem on a complete (for the cauchy nets) convex subset (see the projection theorem in Appendix C, Section
C.5 page 223, its proof is in ZF).
When A is a unital C∗-algebra, we denote by Asa ∶= {a ∈ A ∣ a∗ =a} the set of self
adjoint elements of A : it is a vector subspace of the R-vector space A and we denote by A+ the set A+∶= {a ∈ Asa ∣ Sp(a) ⊆ R+}.
One can show (Proposition 5.2.3, page 115) that A+ is a strict-cone of the R-vector space Asa, i.e. A++A+ ⊆ A+; R+.A+ ⊆ A+ and A+∩ (−A+) = {0}, thus, this strict-cone
defines a partial ordering ⪯A on the R-vector space Asa by setting for all a, b ∈ A, a ⪯Ab
if and only if b − a ∈ A+ (Section 5.2.4, page116) and this ordering is compatible with the vector space operations.
Example 1.1.2.
Given a topological space X, an element f of the C∗-algebra A = Cb(X, C) belongs to
Asa if and only if the conjugate function f of f and f are equal i.e. f [X] ⊆ R. Moreover,
f ∈ A+ if and only if f [X] ⊆ R+. It follows that the ordered vector space Asa is a Riesz
space i.e. every pair {f, g} of elements of Asa has an infimum (denoted by f ∧ g) and
{f, g} has also a supremum (denoted by f ∨ g).
Remark 1.1.1.
Notice that, if B is a unital C∗-subalgebra of a unital C∗-algebra A, then for all x ∈ B,
SpB(x) = SpA(x) (the inclusion SpA(x) ⊆ SpB(x) is immediate, for the other inclusion
see [51, Theorem 2.1.11 p.41]). Thus, B+=B ∩ A+ : an element x in B is positive in B if and only if it is positive in A.
1.1.2
States on a unital C
∗-algebra
Let A be a unital C∗-algebra.
A linear form f on A is positive if f [A+] ⊆ R+. We endow the algebraic dual A∗ of A with the ordering ⪯ associated to the strict-cone of positive linear forms on A (i.e. f ⪯ g if g − f is positive).
A state on a unital C∗-algebra A is a positive linear form f on A such that f (1A) =1 ;
a state f on A is said to be pure if f is an extreme point of the convex subset S of all states on A (equivalently f is pure if and only if for all positive linear form g on A such that g ⪯ f , there exists t ∈ [0, 1] such that g = t.f , see Proposition4.2.6, page67).
Example 1.1.3.
— If A is a unital abelian C∗-algebra, then the pure states on A are exactly the non-zero homomorphisms from A to C ([55, Theorem 1.1]).
— If H is a Hilbert space, and x ∈ H of norm one, then it is possible to show that the state ωx ∶ B(H) → C
u ↦ ⟨u(x), x⟩ is pure on B(H) (see [51, p.145] : example 5.1.1, with Theorems 5.1.7, 5.16 and 5.1.4). We will give a direct proof of this result in Proposition5.5.3, page 127.
1.1.3
Starting problem
Recall that we work in ZF (set-theory without axiom of choice). We will use the following weak forms of the axiom of choice :
— T2 (Tychonov’s axiom, [35], form 14J) : “The product of compact Haussdorf spaces is compact”.
— ACω (Countable axiom of choice, [35], form 5) : “Given a family (An)n∈N of
non-empty sets, the product ∏
n∈N
An is non-empty”.
The article [16] of Buskes and van Rooij announces a proof in ZF + T2 + ACω of the
following statement (usually proved in ZF + AC) :
(PS : “Pure State”)
Given a unital C∗-algebra A and an element a ∈ A+, there exists a pure state η on
A such that ∣∣a∣∣ = η(a).
Their proof is in two steps :
1. Given a lattice vector space E with positive order unit e (an element e ∈ E is an order unit if ∀x ∈ E ∃t ∈ R −te ≤ x ≤ te), they prove in T2 + ACω that there
exists unitary Riesz forms on E (i.e. linear forms f such that for all x, y ∈ E,
f (x ∧ y) = f (x) ∧ f (y) and f (e) = 1). We shall prove in ZF + T2 that every lattice group G with an order unit e > 0 has a Riesz group morphism f ∶ G → R such that f (e) = 1 (see Theorem 4.4.3, page 88) ; this implies that every lattice vector space with an order unit has a unitary Riesz form.
2. Secondly, they prove the existence of pure states on a unital C∗-algebra A : it seems that this step contains a flaw. For explanation, we sketch the proof. Given a unital
C∗-algebra A :
— Recall that Asa = {a ∈ A ∣ a∗ = a} is an ordered vector space (with the
orde-ring defined by the strict-cone A+), directed and archimedean : they consider a Dedekind completion E of Asa (see [6, p.312] for Dedekind completion).
— On E, they find, thanks to the first step, a unitary Riesz form f .
— They say (and here is the problem) that f∣Asa is a pure state. Their argument is the following :
Let g be a positive linear form on Asa such that 0 ⪯ g ⪯ f∣Asa and y ∈ Asa :
we want to prove that there exists t ∈ [0, 1] such that g(y) = tf∣Asa(y) and
g(1) = t.f∣Asa(1). Let B be the unital abelian C∗-algebra generated by 1A and
y. Buskes and van Rooij say that f∣Bsa is a Riesz form, but this point appears to be doubtful. In fact, Bsa is a lattice (because the separable C∗-algebra B is
abelian, thus it is of the form C(K) where K is a Haussdorf compact topological space), it is a Riesz space for the ordering induced from that of Asa (which is
also the ordering on Bsa, see Remark 1.1.1), but it is not a Riesz subspace of E
in general (i.e. if x, y ∈ Bsa, the supremum x ∨E y is not necessary in Bsa, see
Example 1.1.4.
To illustrate this problem, we consider a Riesz space E and a vector subspace which is a vector lattice, but not a Riesz subspace of E.
Consider the Riesz space E = C([0, 1]) of all continuous functions on [0, 1] endowed with the ordering induced from the product ordering on R[0,1] and F the vector subspace of all affine functions on [0, 1].
— F is a vector lattice for the ordering induced from that of E.
— However, F is not a Riesz subspace of E i.e. if x, y ∈ F , the supremum x ∨Ey is
not necessarily in F .
— Note that, in this case, the restriction of a Riesz form is not necessarily a Riesz form on the subspace. In fact, consider the Riesz form ϕ ∶ E → R
f ↦ f (12) . Its restriction to F is not a Riesz form :
In fact, with f ∶ x ↦ x and g ∶ x ↦ −x + 1, notice that f ∨F g ∶ x ↦ 1 but
ϕ∣F(f ∨F g) = 1 ≠ 12 =ϕ∣F(f ) ∨ ϕ∣F(g).
Remark 1.1.2.
In general, the restriction of a pure state on a C∗-algebra to a sub-C∗-algebra is not necessarily a pure state (see Section 5.4.1). However, the question remains in the particular case of the restriction to Asaof a pure state defined on the Dedekind completion
of a C∗-algebra A :
Question 1.
Let A be a unital C∗-algebra. Let f be a pure state on the Dedekind completion E of the archimedean ordered vector subspace Asa. The restriction of f to Asa is it pure ?
The starting point of this thesis was to look if we can prove the statement PS in
ZF + T2. We have obtained several results about states and extremal states (see the
next section) on various ordered structures (groups, real vector spaces, C∗-algebras, ∗-vector subspaces of C∗-algebras . . . ). However, the following question remains open in this thesis :
Question 2.
Does T2 + ACω imply PS in ZF ? It is known that T2 + ACω does not imply AC
(see [34]).
1.2
Existence of states /pure states in some
struc-tures
In this thesis, we will first study (in ZF) the existence of states and pure states in some structures as, for example, abelian ordered groups with an order unit :
Let (G, +) be an abelian ordered group (Section 4.2.1). A non-zero element e of G is an order unit of G if :
A e-state on an abelian ordered group G with a positive order unit e is a group morphism f ∶ (G, +) → (R, +) which is positive (equivalently increasing) satisfying f (e) = 1.
We denote by HB the Hahn-Banach axiom ([35], form 52) : Given a real vector space
E, a sublinear mapping p ∶ E → R (i.e. a subadditive mapping such that for all t ∈ R+ and for all x ∈ E, p(tx) = tp(x)), a vector subspace S of E and a linear mapping f ∶ S → R such that f ≤ p∣S, there exists a linear mapping ˜f ∶ E → R such that ˜f ≤ p.
We obtain the two followings results :
— In ZF + HB : existence of states in abelian ordered groups with a positive order unit (Theorem 4.4.1, page 83).
— In ZF + T2 : existence of pure states in lattice groups with a positive order unit (Theorem 4.4.3, page88).
1.2.1
Existence of states in abelian ordered groups with a
po-sitive order unit, in ZF + HB
Theorem (Theorem4.4.1, page83).
HB implies the following result :
Let G be an abelian ordered group with a positive order unit e and H a subgroup of G such that e ∈ H. Every e-state on H can be extended into a e-state on G.
Remark 1.2.1.
— We obtain this theorem proving it, first, in ZF, in the case of countable abelian ordered groups with positive order unit e.
— The proof in the case of non necessarily countable abelian ordered groups with a positive order unit e uses reduced products (proof page 83).
Using this theorem we deduce, in ZF + HB :
— the existence of e-states on real ordered vector spaces with order unit (Corollary
4.4.7, page 87). In fact, if E is a real ordered vector space with positive order unit
e, an e-state on E is defined by being a e-state on the group (E, +). An e-state on
a real ordered vector space will be necessarily linear (Proposition4.3.10, page 79). — the existence of states on unital C∗-algebras (Theorem 5.3.2, page 119). If A is a unital C∗-algebra, then 1A is an order-unit for the real ordered vector space
Asa and a state on A is a linear form such that the restriction f∣Asa to Asa is an
1A-state.
The existence of states on unital C∗-algebras (obtained with HB) allows us to deduce, with HB, that every unital C∗-algebra is isomorphic to a unital subalgebra of a C∗-algebra B(H) where H is a Hilbert space (Theorem 5.6.1, page 130). Conversely, the statement “ every unital C∗-algebra is isomorphic to a subalgebra of a C∗-algebra B(H)” implies the statement HB (see page163). Thus, the implication in the statement of the previous theorem is an equivalence.
1.2.2
Existence of pure states on Riesz groups with a positive
order unit, in ZF + T2
In Riesz groups with a positive order unit e, pure states are exactly Riesz states (i.e. unitary Riesz forms), see [27, p.203].
In ZF + T2 we obtain the following result :
Theorem (Theorem4.4.3, page88).
T2 implies the following result :
Let G be a Riesz group with a positive order unit e. There exists a Riesz state on G.
We first prove the result, in ZF, in the case of countable Riesz groups with positive order unit. We sketch the proof (see Theorem4.4.2, page87for details) : given a countable Riesz group H with positive order unit e, the previous section shows the existence, in ZF (Remark 1.2.1), of an e-state on the countable group H. To find an extreme point of the convex of all e-states on H (i.e. a pure state on H), we establish a countable version, in
ZF, of the Krein-Milman statement. This countable version is : Theorem (Theorem3.3.2, page53).
In ZF, a non-empty closed convex subset of [0, 1]N admits extreme points.
We generalize the theorem to Riesz groups with a positive order unit, not necessarily countable, using T2 (the proof uses reduced products, page88).
Remark 1.2.2.
Gardiner ([26]) showed that the statement “Every Riesz space with a positive order unit has a pure state” (form [14AU] in [35, p.24]) is equivalent to T2.
We obtained, in ZF + T2, the existence of pure states in Riesz groups with a positive order unit.
1.2.3
Another proof in the case of real ordered vector spaces
(Section
4.5.5
)
At the beginning, before having studied ordered groups, we already obtained, in
ZF + HB (resp. ZF + T2), the existence of e-states (resp. Riesz states) on real
orde-red vector spaces (resp. real Riesz vector spaces) with a positive order unit in a different way.
— Given a real ordered vector space E with a positive order unit e, we define a
o-convex vector subspace by a vector subspace F of E satisfying : ∀x, z ∈ F ∀y ∈ E (x ≤ y ≤ z ⇒ y ∈ F ). An o-ideal I of E is a o-convex vector subspace which is
directed i.e. for all x, y ∈ I, there exists z ∈ I such that x ≤ z and y ≤ z.
There is a bijective correspondence between maximal proper o-ideals of a real Riesz space E with positive order unit e and Riesz states on E ([49, p.155]) ; we generalize this result establishing a bijective correspondence between maximal o-convex vector subspaces of a real ordered vector space E with a positive order unit
— We construct (Theorem 4.5.1, page 93) maximal o-convex subspaces (resp. maxi-mal o-ideals) of E when E is a real ordered vector space (resp. a Riesz vector space) with a positive order unit e and separable for the topology induced by the semi-norm associated to the order unit (see Section4.3.4 for the semi-norm asso-ciated to an order unit). Thus, we obtain e-states (resp. Riesz states) thanks to the preceding bijective correspondance.
— Using HB, see Theorem4.5.5, page97(resp. using T2, see Theorem4.5.6, page98) we obtain the existence of e-states (resp. Riesz states) when the vector space is not necessarily separable.
Remark 1.2.3.
To construct maximal o-convex vector subspaces on real ordered vector spaces (resp. maximal o-ideals on Riesz vector spaces) with a positive order unit, we used the following theorem of ZF, which is in Appendix A (Proposition A.1.1, page 192) and which relies on the axiom schema of replacement. We denote by On the collection of ordinals :
Proposition (Proposition A.1.1, page192).
Let X be a set and (Iα)α∈On be an increasing collection of subsets of X i.e. for all
ordinals α ≤ β, Iα ⊆Iβ. This collection is eventually constant i.e. there exists an ordinal
α such that for all ordinal β :
α ≤ β ⇒ Iα=Iβ
1.2.4
The existence of pure states on every real ordered vector
spaces with a positive order unit implies AC
In ZF + T2 we proved the existence of pure states on Riesz groups with a positive order unit (and then, on Riesz vector spaces with a positive order unit). However, the existence of pure states on real ordered vector spaces with a positive order unit cannot be deduced from T2. Denote by E0 the following statement :
E0 : “ Every real ordered vector space with a positive order unit e admits pure states. We obtained the following theorem :
Theorem (Theorem5.4.2, page123).
E0 ⇔AC
Consider the following weak form of the axiom of choice :
(KM) Krein-Milman statement ([35], form 65) : Let K be a non-empty Haussdorf compact convex subset of a topological locally convex Haussdorf real vector space X. Then K has an extreme point.
We have : T2 + KM ⇒ AC ([4]). We will use this implication to prove the previous theorem and the proof is in several steps :
— First, we obtain E0⇒T2, because E0 implies the existence of pure states on every
unital abelian C∗-algebra, and this statement is equivalent to T2 (see Section
— Thus we also have E0⇒HB.
— Then, we show that E0 ⇒ KM. For this implication, given a topological locally
convex Haussdorf real vector space E and K a non-empty Haussdorf convex subset of E, consider the real ordered vector space Aff(K) (with a positive order unit) of all continuous maps f ∶ K → R which are affine i.e. satisfying the following property :
∀x, y ∈ K ∀α, β ∈ R+ (α + β = 1 ⇒ f (αx + βy) = αf (x) + βf (y))
We show (Theorem 5.4.3, page 124), with HB, that the pure states on Aff(K) correspond to the extreme points of K. With E0, we obtain pure states on Aff(K)
and thus, extreme points of K.
— Finally, since T2 + KM ⇒ AC, we have E0⇒AC.
1.3
Pure states on unital C
∗-algebras
Let A be a unital C∗-algebra, with unit 1A.1.3.1
The real ordered vector space A
sais not a lattice vector
space in general
Since Asa is a real ordered vector space with order unit 1A, the existence of states
on Asa (and thus on A) is obtained, in ZF + HB, from results of Section 1.2.1 on real
ordered vector spaces with order unit.
However, we cannot deduce the existence of pure states on A from the study of Riesz vector spaces with order unit. In fact, in general, Asa is not a lattice vector space, as the
following example shows :
In A = M2(C), the involution ∗ on A is ∗ ∶ M → t(M ). It is possible to show (see
page 122) that :
— A matrix M ∈ M2(C) is in Asa if and only if M = (
α λ
λ β)where α, β ∈ R and λ ∈ C.
— A matrix M ∈ M2(C) is in A+ if and only if M = (
α λ
λ β) where α, β ∈ R+, λ ∈ C
and αβ ≥ λλ (the eigen-values have to be positive). Consider the element S = (0 1
1 0) of Asa. It is possible to show that the pair {S, −S} has no supremum in Asa (see page 122, Remark 5.4.5), thus Asa is not a lattice vector
space.
1.3.2
Restriction of pure state
Let A be a unital C∗-algebra, with unit 1A.
Example 1.3.1.
Let H be a hilbert space, consider the unital C∗-algebra A = B(H).
Let F be a non-zero closed vector subspace of H and F ≠ H. Then H = F ⊕ F⊥. Consider un element a = a1+a2 ∈H such that 0 ≠ a1 ∈F and 0 ≠ a2 ∈F⊥. Suppose that
∣∣a∣∣ = 1.
Consider s ∈ B(H) the symmetry with respect to F , and B the sub-C∗-algebra of B(H) generated by s. Since s∗=s, B is abelian.
The state ωa associated to a is defined by :
ωa∶ B(H) → C
u ↦ ⟨u(a), a⟩
The state ωa is pure (see Proposition 5.5.3, page 127).
Let ϕ ∶= (ωa)∣B be the restriction of ωa to B. If the state ϕ were pure on B then, since
B is abelian, ϕ would be a character i.e. a homomorphism from the algebra B to C, and,
in particular ϕ(s2) =ϕ(s)2.
But : ϕ(s) = ⟨s(a), a⟩ = ∣∣a1∣∣2− ∣∣a2∣∣2 < ∣∣a∣∣2 =1 so ϕ(s)2 <1 whereas ϕ(s2) =ϕ(Id) =
∣∣a∣∣2=1.
To conclude : the restriction of the pure state ωa to the unital abelian sub-C∗-algebra
B is not pure.
We have another example in the Section 5.4.1, page 120.
1.4
Link between pure states and maximal left ideals
1.4.1
Characterisation of pure states, in ZF+DC
The statement PS consists in the existence of pure states on all unital C∗-algebras. We try to reformulate the concept of “pure states”, which led us to study maximal left ideals.
Given a state f on a unital C∗-algebra A, we denote by Nf ∶= {a ∈ A ∣ f (a∗a) = 0} the
isotropic cone associated to f . It is a proper closed left ideal of A and Nf +Nf∗ ⊆ker f
(see Section 5.5), where Nf +Nf∗ is the closure of Nf +Nf∗ in the normed space A.
One introduces the following weak form of AC (and DC ⇏ AC, [37]) :
DC (Principle of dependent choices, [35], forme 43) : given a binary relation R on a non-empty set E (i.e. a subset E × E), if for every x ∈ E there exists y ∈ E such that xRy (i.e. (x, y) ∈ R) then there exists a sequence (an)n∈N of E such that :
∀n ∈ N anRan+1
We have : DC ⇒ ACω. We also introduce the following weak form of AC :
MCω (Countable Multiple axiom of choice , [35], form 126) : “Given a family (Xn)n∈N
of non-empty subsets, there exists a family (Fn)n∈N of non-empty finite subsets such that
Note that MCω is not provable in ZF ([15]) and that MCω does not imply ACω
([60]).
Theorem (Theorem5.10.1, page 151).
Given a state f on a unital C∗-algebra A, we obtain, in ZF, the following (simplified)
diagram (diagram page 151) (and in ZF+DC, the statements are equivalent) :
E1.0(f ) ∶ ker f = Nf +Nf∗ E2.4(f ) ∶ ker f = Nf +Nf∗ (( uu +MCω OO E2.1(f ) ∶ Nf is maximal E2.0(f ) ∶ f is pure Remark 1.4.1. The implications E2.1(f ) +DC
⇒ E1.0(f ) and E2.0(f )+DC⇒ E1.0(f ) use DC, with Ka-dison’s Theorem (Theorem 5.8.5 page 143, consequence of DC). To prove Kadison’s Theorem, we first prove Kaplanski’s Theorem (Theorem 5.8.3, page 140). We show that Kaplanski’s Theorem, usually proved in ZF + HB, is provable in ZF (Section 5.8.1, page 137). To do this, given a Hilbert space H, endow B(H) with the topology τSOT
(“Strong Operator Toplogy”, [20, 256]) : τSOT is the topology on B(H) generated by the
balls B(u, r) ∶= {v ∈ B(H) ∣ ∣∣(v − u)(x)∣∣ < r}, where u ∈ B(H), r ∈ R∗+, x ∈ H ; note
that τSOT is also the topology associated to the family of semi-norms (Nx)x∈H where
Nx ∶u ∈ B(H) ↦ ∣∣u(x)∣∣ when x ∈ H. We consider the following statement (where CHB
is the continuous Hahn-Banach property, see Section 3.2.4) :
CHBB(H),τSOT : for every sublinear form p ∶ B(H) → R, which is continuous for the
topology τSOT, there exists a linear form f ∶ B(H) → R such that f ≤ p.
We prove this statement in ZF (Section 5.8.1).
Studying Kaplansky’s Theorem, we also gave sufficient conditions (see Appendix B) for the topology τSOT on B(H) (where H is a Hilbert space) to be strictly inclued in the
topology τU OT (“Uniform Operator Topology”) i.e. the topology on B(H) associated to
the uniform operator norm defined by : for all u ∈ B(H), ∣∣u∣∣ = sup
∣∣x∣∣≤1∣∣u(x)∣∣.
1.4.1.1 Details on the implication E2.4(f ) ⇒ E1.0(f ), with MCω
Let f be a state on a unital C∗-algebra A and let Nf be the isotropic cone associated
Recall that a semi-metric space (X, d) is complete if all Cauchy nets of (X, d) converge ; the semi-metric space (X, d) is sequentially complete if all Cauchy sequences converge (see AppendixC for nets and completeness).
Dixon gives an argument (see Proposition 5.9.1, page149) which proves, with MCω,
that the sum Nf+Nf∗ is closed in the unital C∗-algebra A (thus we obtain the implication
E2.4(f ) ⇒ E1.0(f ) with MCω).
In Dixon’s argument (Proposition 5.9.1, page 149), the axiom MCω is used to prove
that the quotient of a real complete normed vector space E (completeness for Cauchy nets) by a closed vector subspace F is complete (for Cauchy nets). To prove this result we obtained the following theorems :
Theorem (Theorem5.9.4, page147).
In ZF + MCω : if E is a sequentially complete real normed vector space, and if F
is a closed vector subspace of E, then the real normed vector space quotient E/F is also sequentially complete.
We also obtain, in ZF, the following characterisation :
Theorem (Theorem5.9.2, page146).
Let E be a real normed vector space.
E is complete for Cauchy nets if and only if every decreasing sequence (Cn)n∈N of
closed non-empty convex subsets of E such that diam(Cn) →
n→+∞0 has a non-empty
inter-section i.e. ⋂
n∈N
Cn≠ ∅.
Remark 1.4.2.
We obtain this result in ZF. Guttieres ([29, Theorem 5.2.7], or Theorem5.9.1) showed that, in ZF, a semi-metric space (X, d) is complete for Cauchy nets if and only if every decreasing sequence (Fn)n∈N of closed non-empty subsets of X such that diam(Fn) →
n→+∞0
has a non-empty intersection. The preceding Theorem 5.9.2 gives a version with convex subsets for real normed vector spaces.
Finally, thanks to the previous characterisation of real normed complete vector spaces, we prove the following theorem :
Theorem (Theorem5.9.3, page147).
Let E be a real normed vector space.
MCω implies the following result : if E is sequentially complete, then E is complete
for Cauchy nets. Remark 1.4.3.
In ZF + ACω : a sequentially complete semi-metric space (X, d) is complete for
Cau-chy nets ([29, Theorem 5.2.7], or Theorem 5.9.1, page 144).
Now, thanks to this three previous results, we sketch the proof that if E is a real normed vector space which is complete for Cauchy nets and given a closed vector subspace
F of E, then the real normed vector space quotient E/F is complete for Cauchy nets in
— Since the real vector space E is complete, it is also sequentially complete (see Theorem 5.9.1, page 144).
— With MCω and the Theorem 5.9.4, we deduce that the real normed vector space
quotient E/F is sequentially complete.
— Finally, with MCω, Theorem5.9.3 shows that the quotient is complete.
1.4.2
Left ideals
The diagram page 20 shows that, in ZF+DC, a state f on a unital C∗-algebra A is pure if and only if the closed left ideal Nf is maximal (recall that Nf ∶= {a ∈ A ∣ f (a∗a) =
0}).
So we study the closed left ideals of unital C∗-algebras.
A ∗-vector subspace V of a unital C∗-algebra A is a vector subspace of A such that the unit 1A∈V and for all x ∈ V, x∗∈V (see [53, p.18]). In this case V = Vsa+iVsa where
Vsa ∶= {z ∈ V ∣ z∗ = z} (because if x ∈ V then 12(x + x∗) and i12(x∗−x) are in Vsa). A
state on a unital ∗-vector subspace V is a linear form on V which restriction to the real
ordered vector space Vsa with order unit 1A is a state. Given a proper closed left ideal L
of a unital C∗-algebra A, the following result allows us to build a state on unital ∗-vector subspace VL of A (Section 5.7.4, page 135) :
Theorem (Theorem5.7.4, page136).
Let A be a unital C∗-algebra with unit 1A and L a proper closed left ideal of A. Then,
in ZF : 1A ∉ L + L∗ (Theorem 5.7.3, page 134) and there exists a unique state ηL on
VL∶= (L + L∗) ⊕ C1A, such that for all z ∈ L + L∗, ηL(z) = 0 (moreover, this state extends
to a unique state to (L + L∗) ⊕ C1A).
We say that a proper closed left ideal L of a unital C∗-algebra A is extensible if the preceding state ηL extends to a state on A. The left ideal L said to be isotropic if L is
the isotropic cone Nf associated to a state f on A.
Theorem (Theorem5.10.2, page 156).
We obtain the following (simplified) diagram (diagram page 156), where L is a proper closed left ideal of a unital C∗-algebra A :
M1.1(L) ∶ L is maximal and L + L∗ is hyperplane M2.0(L) ∶ L is maximal and L + L∗ is hyperplane +MCω OO {{ M2.1(L) ∶ L is isotropic and L + L∗ is hyperplane // oo M2.2(L) ∶ L is maximal and L is extensible +DC ?? M3.0(L) ∶ L is maximal +HB OO
The starting question of this thesis is thus (it is possible to prove PS in ZF + T2 + ACω?)
raises another question :
Question 3.
Given a unital C∗-algebra A, can we prove, in ZF + T2 + ACω (or in ZF + T2 + DC),
the existence of a maximal left ideal L of A ? Notice that T2 + DC ⇏ AC.
Remark 1.4.4.
Given a separable unital C∗-algebra A and a proper closed left ideal L of A, all the statements M3.0(L), M2.2(L), M2.0(L), M2.1(L) and M1.1(L) are equivalent in ZF (see
1.4.2.1 Is it possible, in ZF, to extend the state ηL to A ?
Let L be a maximal left ideal of a unital C∗-algebra A, thus we have a state ηL on
VL∶= (L + L∗) ⊕ C1A (Theorem 5.7.4, page136). Note that :
— with HB, L is extensible, and with DC we have VL =A (use the preceding
dia-gram) : thus ηL extends uniquely to A.
— in the case where the unital C∗-algebra A is abelian, if L is a maximal left ideal of
A then L is the kernel of a unitary morphsim of algebras f ∶ A → R (see Proposition
5.1.3 page 109) thus L ⊕ C1A=A.
Question (Question 7, page 160).
Given a maximal left ideal L of a unital C∗-algebra A, it is possible, in ZF, to extend
ηL∶ (L + L∗) ⊕ C1A→ C to a state on A (i.e. M3.0(L)
?
⇒M2.2(L)). Is it necessary to use HB ? Notice that if ηL is extensible to A, then, in ZF+DC, (L + L∗) ⊕ C1A=A, thus,
there exists at most one state on A extending ηL.
1.5
Maximal ideals, primitive ideals, prime ideals in
a unital ring
Let L be a left ideal of a unital ring A. The set {a ∈ A ∣ aA ⊆ L} is an ideal (left and right), it is the largest ideal contained in L. We say that I ∶= {a ∈ A ∣ aA ⊆ L} is the core of L.
An ideal I of a unital ring A is primitive if there exists a maximal left ideal L with core I (see [43]).
Example 1.5.1.
Let H be a Hilbert space. On the unital C∗-algebra B(H), the ideal {0} is a primitive ideal of B(H). In fact :
Let a ∈ H be a vector of norm one, consider the following state :
ωa∶ B(H) → C
u ↦ ⟨u(a), a⟩
Denote by Na∶= {u ∈ B(H) ∣ u(a) = 0} the isotropic cone associated to the state ωa.
The proof of the Proposition 5.5.3, page 127, which proves that ωa is pure, also proves
that Na+Na∗ is a hyperplane. Then, the diagram page19shows that Na is maximal. But
the kernel of the maximal left ideal Na is {v ∈ B(H) ∣ ∀u ∈ B(H) v ○ u(a) = 0} = {0}, thus
the ideal {0} is primitive.
Remark 1.5.1.
Ones proves in ZF+AC that every maximal ideal I of a unital ring A is primitive (see Remark 6.2.1, page 174).
Question (Question 10, page174).
Consider the following statement MP : “Given a unital ring A, every maximal ideal of A is primitive”.
What is the status of the statement MP in ZF ?
In a unital ring A (not necessarily abelian), we want to find maximal left ideals, and thus primitive ideals.
A proper ideal P of a unital ring A is prime if P satisfies the following property :
∀(x, y) ∈ A2 (xAy ⊆ P ⇒ x ∈ P or y ∈ P )
We show that a primitive ideal is prime ([28, p.60]). Thus, we start proving the existence of prime ideals of A :
Remark 1.5.2.
— The existence of prime ideals in abelian rings is equivalent to T2, this statement was proved by Scott ([62], 1954).
— The equivalence of T2 with the existence of prime ideals in all unital ring (abelian or not) is more recent (1993, [3]). We give a new proof.
Theorem (Theorem6.5.1, page184).
T2 implies the following result :
Let A be a non-zero ring and S a m-system ( i.e. a subset S of A such that for all
(a, b) ∈ S2, there exists r ∈ A such that arb ∈ S).
1. For every proper ideal I of A such that I ∩ S = ∅, there exists a prime ideal P of A containing I such that P ∩ S = ∅.
2. The unital ring A admits a prime ideal.
Chapitre 2
Résumé
On note AC l’axiome du choix ([35], forme 1) : “ Pour toute famille (Xi)i∈I
d’en-sembles non vides indexée par un ensemble I, le produit ∏
i∈I
Xi est non vide”.
On travaille dans ZF : théorie des ensembles sans axiome du choix.
2.1
Point de départ
2.1.1
C
∗-algèbres et éléments positifs
Une C-algèbre normée (A, ∣∣ ∣∣) est une C-algèbre munie d’une norme ∣∣ ∣∣ vérifiant pour tous a, b ∈ A, ∣∣ab∣∣ ≤ ∣∣a∣∣.∣∣b∣∣. Dans une C-algèbre unitaire A d’unité 1A, le spectre d’un
élément a ∈ A est l’ensemble Sp(a) formé des éléments t ∈ C tels que a − t.1A n’est pas
inversible dans A.
Une C∗-algèbre ([51, p.36]) est une C-algèbre normée (A, ∣∣ ∣∣), de Banach (i.e. complète
au sens des filtres de Cauchy : voir AnnexeC, page216), munie d’une application ∗ ∶ A →
A satisfaisant pour tous a, b ∈ A et pour tout λ ∈ C les conditions suivantes :
— (a + b)∗ =a∗+b∗ et (λa)∗=λa∗ (semi-linéaire) — a∗∗=a (involutive)
— (ab)∗=b∗a∗
— ∣∣a∗a∣∣ = ∣∣a∣∣2 (d’où ∣∣a∗∣∣ = ∣∣a∣∣)
Dans une C∗-algèbre unitaire A d’unité 1A, on a : 1∗A = 1A (en effet 1∗A = 1∗A1A =
1∗A1∗∗A = (1∗A1A)∗=1∗∗A =1A).
Exemple 2.1.1.
— Si X est un espace topologique, l’ensemble Cb(X, C) des fonctions continues
bor-nées sur X à valeurs complexes est une C∗-algèbre unitaire commutative (dont l’involution est la conjugaison). Pour tout f ∈ Cb(X, C), le spectre Sp(f ) est
l’adhé-rence de f [X] dans C.
— Si H est un espace de Hilbert sur C, l’ensemble B(H) des endomorphismes conti-nus de H (muni de la norme uniforme d’opérateurs définie par : pour tout u ∈ B(H), ∣∣u∣∣ = sup
∣∣x∣∣≤1∣∣u(x)∣∣) est une C
∗-algèbre unitaire, non commutative en
endomorphisme v de H tel que pour tous x, y ∈ H, ⟨u(x), y⟩ = ⟨x, v(y)⟩. L’existence de cet adjoint est légitime par le théorème de projection sur un convexe complet pour les filtres de Cauchy (voir AnnexeC, Section C.5 page223 pour le théorème de projection, qui se fait dans ZF).
Lorsque A est une C∗-algèbre unitaire, on désigne par Asa l’ensemble des éléments
auto-adjoints de A i.e. Asa ∶= {a ∈ A ∣ a∗ = a} (“self adjoint”) : c’est un sous-espace
vectoriel du R-espace vectoriel A et on désigne par A+l’ensemble A+∶= {a ∈ Asa ∣Sp(a) ⊆
R+}.
Il est possible de démontrer (Proposition5.2.3, page115) que A+est un cône-strict du R-espace vectoriel Asa, i.e. A++A+⊆A+; R+.A+⊆A+ et A+∩ (−A+) = {0}, ce cône-strict
définit donc une structure de R-espace vectoriel ordonné sur Asa pour la relation d’ordre
⪯Avérifiant pour tous a, b ∈ A, a ⪯Ab si et seulement si b−a ∈ A+(Section5.2.4, page116).
Exemple 2.1.2.
Soit X un espace topologique. Un élément f de la C∗-algèbre A = Cb(X, C) appartient
à Asa si et seulement si la fonction conjuguée de f et f sont égales i.e. f [X] ⊆ R. De
plus f ∈ A+ si et seulement si f [X] ⊆ R+. Le R-espace vectoriel ordonné Asa est donc
un espace de Riesz i.e. toute paire {f, g} d’éléments de Asa admet une borne inférieure
(notée f ∧ g) et la paire {f, g} admet aussi une borne supérieure (notée f ∨ g).
Remarque 2.1.1.
Notons que si B est une C∗-sous-algèbre unitaire d’une C∗-algèbre unitaire A alors pour tout élément x ∈ B, SpB(x) = SpA(x) (l’inclusion SpA(x) ⊆ SpB(x) est claire, pour
l’autre inclusion voir [51, Théorème 2.1.11 p.41]). De ce fait B+=B ∩ A+ : un élément x de B est positif dans B si et seulement si il l’est dans A.
2.1.2
États sur une C
∗-algèbre unitaire
Soit A une C∗-algèbre unitaire.
Une forme linéaire f sur A est positive si f [A+] ⊆ R+. On munit le dual algébrique
A∗ de A de l’ordre ⪯ associé au cône-strict constitué des formes linéaires positives sur A (i.e. f ⪯ g si g − f est positive).
Un état sur une C∗-algèbre unitaire A est une forme linéaire positive unitaire sur A ; un état f sur A est extrémal (ou pur ) si f est un point extrémal du convexe formé par les états sur A (ce qui revient à dire que pour toute forme linéaire positive g sur A telle que g ⪯ f , il existe t ∈ [0, 1] tel que g = t.f , voir Proposition 4.2.6, page 67).
Exemple 2.1.3.
— Si A est une C∗-algèbre commutative unitaire, alors les états extrémaux sur A correspondent aux morphismes d’algèbres unitaires de A dans C ([55, Théorème 1.1]).
— Si H est un espace de Hilbert, et x ∈ H est unitaire i.e. de norme 1, alors on démontre que l’état vectoriel ωx∶ B(H) → C
B(H) (voir [51, p.145] : exemple 5.1.1, basé sur les Théorèmes 5.1.7, 5.16 et 5.1.4). Nous donnerons une preuve directe de ce résultat à la Proposition5.5.3, page 127.
2.1.3
Problématique
On rappelle que l’on travaille dans ZF (théorie des ensembles sans axiome du choix). On considérera les énoncés suivants, conséquences de l’axiome du choix :
— T2 (axiome de Tychonov, [35], forme 14J) : “Tout produit de compacts séparés est compact”.
— ACω (axiome du choix dénombrable, [35], forme 5) : “Pour toute suite (An)n∈N
d’ensembles non vides, le produit ∏
n∈N
An est non vide”.
L’article [16] de Buskes et van Rooij annonce une preuve dans ZF + T2 + ACω du
résultat suivant (habituellement prouvé dans ZF + AC) :
(PS : “Pure State”)
Soient A une C∗-algèbre unitaire et a ∈ A+. Il existe un état extrémal η sur A tel que ∣∣a∣∣ = η(a).
On décompose leur preuve en deux étapes :
1. Étant donné un R-espace vectoriel ordonné E réticulé (i.e. dans lequel toute paire admet une borne supérieure et une borne inférieure) avec unité d’ordre positive e (un élément e d’un R-espace vectoriel ordonné E est unité d’ordre si ∀x ∈ E ∃t ∈ R −te ≤
x ≤ te), ils prouvent dans ZF + T2 + ACω l’existence de formes de Riesz unitaires
(i.e. une forme linéaire f telle que pour tous x, y ∈ E, f (x ∧ y) = f (x) ∧ f (y) et
f (e) = 1). Nous montrerons avec T2, l’existence de formes (morphismes de groupes à
valeurs dans R) de Riesz unitaires sur les groupes de Riesz avec unité d’ordre positive (Théorème4.4.3, page88), ce qui impliquera l’existence de formes de Riesz unitaires sur les R-espaces vectoriels ordonnés E réticulés avec unité d’ordre positive.
2. La seconde étape de leur preuve consiste à construire un état extrémal sur une
C∗-algèbre unitaire A : il nous semble que cette étape comporte un défaut. Pour explication on ébauche le raisonnement. Étant donnée une C∗-algèbre A unitaire : — Ils considèrent Asa= {a ∈ A, a∗=a} : R-espace vectoriel ordonné (par la relation
d’ordre définie par le cône-strict A+) dirigé archimédien, puis une complétion de Dedekind E de Asa (voir [6, p.312] pour la complétion de Dedekind).
— Sur E, ils trouvent grâce à la première étape une forme de Riesz unitaire f . — Ils affirment ensuite (et c’est ici que se trouve le problème) que f∣Asa est un état
extrémal. Leur raisonnement est le suivant :
Soient g une forme linéaire positive sur Asa telle que 0 ⪯ g ⪯ f∣Asa et y ∈ Asa :
on veut prouver qu’il existe t ∈ [0, 1] tel que g(y) = tf∣Asa(y) et g(1) = t.f∣Asa(1). Soit B la C∗-algèbre commutative engendrée par 1A et y. Buskes et van Rooij
affirment que f∣Bsa est une forme de Riesz, mais ce point paraît douteux. L’ambi-guïté vient du fait que Bsaest effectivement réticulé (car la C∗-algèbre séparable
B est commutative et donc est de la forme C(K) où K est un espace
