Th´eorie des ensembles TD 1 M2 LMFI - automne 2019
TD 1 – Axiomes de ZF, ordinaux
1. Des collections suivantes lesquelles sont des ensembles : (a) {R:R est une relation d’´equivalence};
(b) les ordinaux limites ;
(c) {x:a∈x} pour un ensemble afix´e ; (d) {x:x est d´enombrable}?
2. Unplongement d’un ensemble ordonn´e (X, <) dans un autre (Y, <) est une application (injective) f:X→Y telle que f(x)< f(x0) ssi x < x0 pour toutx, x0∈X.
(a) Montrer que tout bon ordre d´enombrable se plonge dans (Q, <).
(b) Quels sont les bons ordres qui admettent un plongement dans (R, <) ?
(c) On suppose que (X, <) est un bon ordre et que (X, >) est ´egalement un bon ordre. Montrer queX est fini.
3. Pourn∈ω, on noteVn l’ensemble P(P(....P
| {z }
n
(∅)...).
(a) Montrer que pour toutn∈ω,Vn⊆Vn+1; (b) Justifier l’existence deVω = S
n∈ω
Vn. Les ensembles dans Vω s’appellent h´er´editairement finis.
(c) Montrer queVω est un ensemble transitif ; (d) Montrer que (Vω,∈) est un mod`ele de ZF−Inf ;
(e) Pour chaque entiern, montrer que n∈Vω. Quel est le plus petit m∈ω tel quen∈Vm? (f) Montrer que (Vω,∈) ne satisfait pas l’axiome de l’infini.
4. Soit θ:On→ Onune relation fonctionnelle strictement croissante et continue (siλest un ordinal limite, on dit que θest continue enλsi elle v´erifieθ(λ) = sup{θ(γ) :γ < λ}).
(a) Soitα un ordinal. Expliquez pourquoi{θn(α) :n∈ω} est bien un ensemble.
(b) Soit β= sup{θn(α) :n∈ω}. Montrer que pour tout ordinalγ < β on aθ(γ)< β.
(c) V´erifier que siθ(α)6=αalors la suite (θn(α))n∈ω est strictement croissante etβ est un ordinal limite.
(d) Montrer queθa un point fixe : il existe un ordinalγ tel queθ(γ) =γ. Montrer que la collection des points fixes deθ n’est pas un ensemble.
(e) Montrer que l’on peut d´efinir une fonction de On dans On qui `a tout ordinal α associe le α-i`eme ordinal limite. Quel est le premier point fixe de cette fonction ?
5. On rappelle qu’un ensembletest transitif s’il v´erifie∀x(x∈t→x⊆t).
(a) Soittun ensemble transitif. Montrer qu’il v´erifie∀x(x⊆t→ ∪x⊆t).
(b) Soit aun ensemble fix´e. On d´efinit par r´ecurrence πn(a) pourn∈ω par :
— π0(a) =a;
— pourn∈ω,πn+1(a) =S
πn(a) =π(πn(a)).
Justifier qu’il existe un ensemblebdont les ´el´ements sont lesπn(a) pourn∈ω(afix´e). Montrer que la clˆoture transitive de a, ct(a) =S
b est un ensemble transitif et que c’est le plus petit ensemble transitif contenanta.
Universit´e Paris Diderot 1 UFR de math´ematiques
