NOM : Date : 19-23 septembre 2011 .
PRENOM : Groupe : .
Math´ematiques Appliqu´ees `a la Biologie : Feuille-r´eponses du TD 2 Distribution stationnaire d’une chaine de Markov
On r´epondra aux questions pos´ees aussi clairement que possible dans les espaces pr´evus et on remettra cette feuille-r´eponses en fin de s´eance `a l’enseignant charg´e du Cours/TD.
Exercice 1. :
1. Soit une chaine de Markov `a 2 ´etats de matrice de transition P telle que p11 = 0.9 etp21 = 0.4.
Calculer l’imageπ1 par la chaine de Markov de la distribution initiale π0= (0.2 0.8).
2. Calculer le nombreαtel que π0∗ = (α (1−α)) soit une distribution stationnaire. En d´eduire que λ= 1 est une valeur propre `a gauche de la matriceP; expliquez.
3. Calculer le carr´eP2, puis les deux produitsπ0P2 etπ1P. Que constatez-vous ? Expliquez.
1
Exercice 2. :
1. Soit la matriceP=
0 0 1 1 0 0 0 1 0
. CalculerP2et P3. En d´eduire les valeurs deP4,P5, ....
2. Est-il possible que l’une des puissance de P, Pk pour un k ≥ 1, soit une matrice dont tous les coefficients sont strictement positifs, c’est-`a-dire est-il possible que la matricePsoit primitive ?
3. Pourπ0= (α β γ), calculer les images successivesπ1=π0P,π2=π1P, ... Qu’observez-vous ?
4. Trouver un vecteur propre `a gauche dePde valeur propreλ= 1.
2
