Caractères

5.1.4.1 Caractères

Soit A une K-algèbre de Banach unitaire.

Une forme linéaire f ∶ A → K est un caractère si f est non nulle et multiplicative i.e. que pour tous x, y ∈ A on a f (xy) = f (x)f (y). On note Ω_A l’ensemble des caractères sur

A. Un caractère sur A est clairement unitaire. Remarque 5.1.8.

On remarquera que dans une K-algèbre de Banach unitaire A, pour tout a ∈ A on a l’inclusion suivante dans ZF :

{f (a) ∣ f ∈ Ω_A} ⊆Sp(a)

Cette inclusion assure qu’un caractère sur une C-algèbre de Banach unitaire A est continu de norme 1.

Exemple 5.1.4.

Soit K un espace compact. On considère l’algèbre de Banach A ∶= C(K) des fonctions continues de K dans C. Pour tout x ∈ K, l’application évaluation en x : ^{x ∶ C(K) →˜} _f ^C

↦ f (x)

est un caractère sur C(K).

Réciproquement, si f est un caractère sur C(K) alors f est de la forme ˜x avec x ∈ K

([51, p.44]).

Les caractères sur C(K) sont donc exactement les ˜x, où x ∈ K.

Notons aussi que si A est une C-algèbre de Banach unitaire, ΩA est un fermé de la boule unité fermée du dual continu A′ _{de A muni de la topologie ∗-faible et séparé ([38,}

p.53]). Ainsi l’énoncé de Banach Alaoglu (équivalent à T2) implique que Ω_A est compact pour la topologie induite par la topologie ∗-faible de A′ _{(qui est aussi la topologie induite}

par la topologie produit de CA).

Remarque 5.1.9.

Si f est un caractère sur une K-algèbre unitaire A, alors l’hyperplan ker f est un idéal bilatère (maximal) de A.

Réciproquement, tout idéal bilatère de A qui est un hyperplan H de A est le noyau d’un unique caractère X sur A.

5.1.4.2 Existence de caractères en commutatif, avec T2

L’ensemble Ω_Ades caractères sur une C-algèbre de Banach unitaire non commutative peut être vide :

Exemple 5.1.5.

Par exemple sur A = M_{2(C) (ou sur B(H) où H est un Hilbert de dimension supérieure} ou égale à 2), on vérifie aisément que la seule forme linéaire multiplicative sur A est la forme nulle. En effet, le seul idéal bilatère propre de M_{n(C) est l’idéal nul (voir Exemple}

6.1.1, page168) donc pour n ≥ 2, aucun idéal bilatère de M_{n(C) n’est un hyperplan, donc} il n’existe pas de caractère sur M_n(C).

Dans les C-algèbres de Banach unitaires commutatives, on dispose d’une correspon-dance bijective entre l’ensemble des caractères et celui des idéaux bilatères maximaux :

Proposition* 5.1.3. [51, p.14]

Soient A une C-algèbre de Banach commutative unitaire et I un idéal bilatère propre de A. Alors :

— L’idéal I est maximal si et seulement si I est un hyperplan ( i.e. A = I ⊕ C1A). — L’application :

Ω_A → Max_A f ↦ ker f

est une bijection de l’ensemble Ω_A des caractères sur l’ensemble Max_A des idéaux bilatères maximaux de A.

Preuve :

— Comme A est une C-algèbre de Banach unitaire et que I est maximal alors I est fermé (Proposition 5.1.2), ce qui fait de A/I une C-algèbre normée unitaire. Comme I est maximal et A commutatif, le quotient A/I est un corps.

Soit z ∈ A.

— Si z ∈ I alors la classe z + I de z dans le quotient A/I est nulle : z + I = 0. — Sinon, z + I est inversible. Soit λ ∈ Sp(z + I) (ce spectre est non vide d’après la

Proposition5.1.1). Comme z − λ + I est non inversible dans le corps A/I, il est donc nul : il existe donc i ∈ I tel que z = i + λ1_A.

On a donc prouvé que A = I ⊕ C1A : l’idéal I est un hyperplan. — L’injectivité est claire.

Pour la surjectivité : si I ∈ Max_A, alors on vient de démontrer que A = I ⊕ C1A. Il est clair que I = ker f où f est le caractère défini par : f ∶ A = I ⊕ C1A → C

x + t1A ↦ t ^.

Théorème* 5.1.5.

1. Les énoncés suivants sont équivalents : — T2

— Pour toute C-algèbre de Banach commutative unitaire A, ΩA est un compact

(séparé) non vide du dual topologique A′ _{de A.}

— Pour toute C-algèbre de Banach commutative unitaire A, pour tout a ∈ A,

{f (a) ∣ f ∈ Ω_A} =Sp(a).

2. Si A est une C-algèbre de Banach commutative unitaire séparable, alors ΩA est

compact et non vide dans ZF (grâce à la version séparable du théorème de Banach Alaoglu, Théorème 3.3.1) ; et de plus pour tout a ∈ A, {f (a) ∣ f ∈ Ω_A} =Sp(a).

Preuve :

— Avec la forme 14BZ de [35] (section 3.2.3), équivalente à T2, il existe dans A un idéal maximal. On en déduit l’existence d’un caractère grâce à la correspondance précédente. De plus Ω_A est ∗-faiblement compact en tant que fermé ∗-faible de la boule unité fermée du dual continu A′_{, compact d’après le théorème de Banach}

— Soit λ ∈ Sp(a), l’idéal I ∶= (a−λ)A est propre donc avec la forme 14BZ (équivalente à T2), il existe un idéal maximal incluant I ; cet idéal maximal est de la forme ker g où g ∈ Ω_Ad’après la correspondance précédente. Donc λ = g(a). Ainsi Sp(a) ⊆ {f (a) ∣ f ∈ Ω_A}. L’autre inclusion est immédiate et valable dans ZF.

— Réciproquement : si dans toute C-algèbre de Banach commutative unitaire A , tout a ∈ A vérifie Sp(a) = {f (a) ∣ f ∈ Ω_A}, alors on peut prouver 14BZ. En effet si

A est une C-algèbre normée commutative unitaire, on considère ˜A son complété :

c’est une C-algèbre de Banach. Si a ∈ ˜A, comme Sp(a) ≠ ∅ il existe λ ∈ Sp(a) donc

il existe f ∈ Ω_A˜ tel que f (a) = λ. Sa restriction à A est un caractère sur A, dont le noyau est un idéal maximal de A.

5.1.4.3 Existence de caractères dans le cas séparable, dans ZF

Le Théorème 5.1.5 assure, avec T2, l’existence de caractères et donc d’idéaux maxi-maux dans une C-algèbre de Banach commutative unitaire. Dans cette section, nous verrons que si l’on se place sur une C-algèbre de Banach unitaire séparable, l’existence d’idéaux bilatères maximaux se prouve dans ZF. Pour cela on énonce le théorème suivant, qui se prouve dans ZF (voir annexe C, théorème C.3.1, page 220) :

Théorème (ThéorèmeC.3.1, page 220).

Soit E est un K-espace vectoriel normé complet et séparable. Soit F un sous-espace vectoriel fermé de E. Alors le quotient E/F est complet.

Il en découle la construction, dans ZF, d’idéaux maximaux sur une C-algèbre de Banach séparable unitaire :

Théorème 5.1.6.

Si A est une K-algèbre de Banach unitaire séparable alors, dans ZF, tout idéal propre bilatère est inclus dans un idéal bilatère maximal.

Preuve :

Supposons que I soit un idéal bilatère propre de A, et D = {d_n ∣ n ∈ N} une partie

dénombrable dense dans A. Notons que l’adhérence J de I est encore un idéal bilatère propre de A (Proposition 5.1.2).

On construit par récurrence une suite croissante d’idéaux bilatères fermés propres telle que I₀ =J . Soit n ∈ N.

— Si I_n est maximal, on pose I_n+1=I_n

— Sinon, A/I_n est une C-algèbre normée séparable (cann[D] est dense dans A/I_n où can_n∶A → A/I_n est la surjection canonique). On notera aⁿ∶=a + I_n la classe d’un élément a ∈ A dans le quotient modulo I_n.

Notons aussi que, dans ZF, le K-espace vectoriel quotient A/In est de Banach puisque A est séparable et I_n fermé (d’après le Théorème ci-dessus).

On remarque que K1A n

est un sous-espace de dimension finie de A/I_n, il est donc fermé. Ainsi A/I_{n∖ K1A}ⁿ est ouvert.

Comme can_n(D) est dense dans A/I_n, soit k_{n∈ N le premier entier tel que dkn} ∉ K1A

n

.

Donc pour tout λ ∈ R, l’idéal Kλ engendré par I_n et λ1_A−d_kn inclut strictement

I_n.

On sait que Sp(d_knⁿ) est un fermé non vide de C, borné donc on peut choisir

λ_kn∈Sp(d_knⁿ)(notons qu’une famille de fermés bornés non vides de K2, ou même de Kn, admet une fonction choix). Ainsi I_n⊊K_λkn ⊊A (puisque λ_kn∈Sp(d_knⁿ)). On pose alors I_n+1 ^{l’adhérence de l’idéal K}λ_kn (I_n+1 ^{est propre).}

Enfin on pose M = ⋃

n∈N^In.

Si (I_n)_nstationne, M est maximal. Sinon, la suite (I_n)_n est strictement croissante, soit j le premier entier tel que d_j^M _{∉ K1A}^M. Comme d_j^M _{∉ K1A}^M il est clair que ∀n ∈ N, dj

n

∉ K1A n

, donc ∀n ∈ N, j > kn (puisque k_n est le premier entier tel que

d_{kn ∉ K1A}ⁿ) : contradiction. Donc M est maximal.

5.1.4.4 Représentation de Gelfand pour les algèbres de Banach unitaires

Si a est un élément d’une K-algèbre de Banach unitaire A, on note ˜a l’application

évaluation en a : ^{˜a ∶ ΩA → C}

f ↦ f (a) ^{. Il est clair que ˜a est continue (pour la topologie}

∗-faible) (˜a est la restriction à Ω_A de la projection canonique p_{a∶ C}A

→ C).

Théorème* 5.1.7. [51, p.15]

Soit A une C-algèbre de Banach unitaire. L’application ^{F ∶ A → C(Ω}_a ^A)

↦ ˜a ^{est un}

morphisme d’algèbres.

L’application F est contractante i.e. pour tout a ∈ A, ∣∣F (a)∣∣ = ∣∣˜a∣∣∞≤ ∣∣a∣∣. Si Ω_A est non vide, l’application F est unitaire.

Preuve :

Pour montrer que F est contractante, on utilise l’inclusion {f (a) ∣ f ∈ Ω(A)} ⊆ Sp(a), qui se fait dans ZF (Remarque5.1.8).

Remarque 5.1.10.

En particulier, si A est commutative alors T2 implique que Ω(A) ≠ ∅ et donc F est unitaire.

5.2 C

-algèbres