Si l’idéal bilatère ∑
t∈TFit ≠A alors le Théorème6.4.1assure qu’il existe un idéal premier
P tel que ∑
t∈TFit ⊆P (absurde vu que Ft∑∈TFit = ∅). Donc ∑
t∈TFit = A, donc il existe une
sous famille finie FIt1, . . . , FItn telle que ∑n
k=1FItk =A donc n ⋂ k=1FItk =F∑n k=1Fik =FA= ∅.
6.5 Existence d’idéaux premiers dans le cas d’un
an-neau non commutatif unitaire
6.5.1 Topologie sur l’ensemble des ultrafiltres d’une partie
Soit X un ensemble. L’ensemble P(X) des parties de X est un anneau commutatif unitaire lorsqu’on le muni des lois ∆ ∶ (A, B) ∈ P(X)2↦ (A ∪ B) ∖ (A ∩ B) et ∩ ∶ (A, B) ∈
P (X)2↦A ∩ B. C’est même un anneau booléen i.e. : pour tout A ∈ P(X), A ∩ A = A.
L’ensemble U (X) des ultrafiltres sur X est en bijection avec l’ensemble S(X) des idéaux premiers de l’anneau commutatif unitaire P(X) via la bijection suivante :
ϕ ∶ U (X) → S(X)
U ↦ {X ∖ Z ∣ Z ∈ U }
En effet on vérifie aisément que :
— si U est un ultrafiltre sur X, alors {X ∖ Z ∣ Z ∈ U } est un idéal premier de P(X). — réciproquement, si I est un idéal premier de P(X) alors {Zc ∣ Z ∈ I} est un
ultrafiltre sur X.
L’ensemble S(X) peut être muni de la topologie de Zariski, et on transporte cette topologie sur l’ensemble U (X) des ultrafiltres sur X par la bijection précédente : une base
d’ouverts de U (X) est donc formée des ensembles du type OA∶= {U ∈ U (X) ∣ A ∈ U }, où A ∈ P(X).
Avec T2, le Théorème 6.4.2 assure que U (X) est compact pour cette topologie, et séparé (puisque P(X) est un anneau commutatif unitaire booléen, voir Proposition
6.3.6).
Remarque 6.5.1.
Si F est un filtre sur un ensemble X, avec T2, l’ensemble UF des ultrafiltres sur X
incluant F est un fermé de U (X), donc est compact (non vide avec UFT, équivalent à
T2).
6.5.2 Provision d’ultrafiltres
Rappelons le Théorème 3.2.1, page 47 : avec T2, dans un espace topologique, tout produit de compacts séparés non vides est non vide.
Soient A un anneau unitaire et S une partie multiplicative non vide de A. Si K est un idéal bilatère de A qui ne rencontre pas S on note :
— TK : l’ensemble des idéaux de A incluant K qui ne rencontrent pas S. — FK : un filtre sur TK.
— UFK : l’ensemble des ultrafiltres sur TK qui incluent le filtre FK. On rappelle qu’avec T2, UFK est un compact non vide (Remarque 6.5.1).
Remarque 6.5.2.
Avec T2 on sait que, dans un espace topologique, un produit de compacts non vides est non vide (Théorème 3.2.1, page 47) donc le produit ∏
K
UFK est non vide. On peut donc choisir un élément f de ce produit, qui donnera une provision d’ultrafiltres pour la suite.
6.5.3 Existence d’idéaux premiers : cas non commutatif avec
m-système, nouvelle preuve
L’existence, avec T2, d’idéaux premiers dans tout anneau unitaire (commutatif ou non) est relativement récente (1993, [3]). On propose une nouvelle preuve :
Théorème 6.5.1.
Soit A un anneau unitaire admettant un m-système S non vide.
T2 implique les résultats suivants :
1. Si I est un idéal bilatère de A ne rencontrant pas S, alors il existe un idéal premier de A incluant I qui ne rencontre pas S.
2. L’anneau unitaire A admet un idéal premier.
Preuve :
Soit I un idéal bilatère de A ne rencontrant pas S. On désigne par Pf(A) l’ensemble
1. Relation concourante : section 6.4.2
On reprend la relation binaire concourante RIsur Pf(A)×Idl(A) définie à la section
6.4.2 par : si F ∈ Pf(A) et J un idéal bilatère de A :
RI(F, J ) si et seulement si ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ I ⊆ J J ∩ S = ∅ ∀(a, b) ∈ F2 (aAb ⊆ J ⇒ (a ∈ J ou b ∈ J )) 2. Filtre engendré
On note FI le filtre engendré par les RI(F ) sur l’ensemble TI des idéaux de A incluant I qui ne rencontrent pas S.
Avec UTF (équivalent à T2), soit GI un ultrafiltre sur TI incluant FI (avec la Remarque6.5.2, on peut prendre GI =f (I) où f est l’application définie
précédem-ment).
3. Produit réduit : (Annexe D).
On dispose d’une relation binaire QI sur ATI définie par :
∀a = (at)t∈TI, b = (bt)t∈TI ∈ATI aQIb ⇔ {t ∈ TI ∣at=bt∈ GI}
Le produit réduit ATI/GI désigne l’ensemble des classes pour la relation QI pré-cédente. Le produit réduit ATI/GI a une structure d’anneau unitaire. On notera (at)t∈TI la classe d’un élément (at)t∈TI de ATI.
4. Conclusion intermédiaire :
On définit l’idéal Z suivant de l’anneau unitaire ATI/GI :
Z = {(at)t∈TI ∈ATI/GI ∣ {t ∈ I ∣ at∈t} ∈ GI} = {at∈ATI/GI ∣p.p.tGI, at∈t}
Puis on considère sa trace PGI
I sur A :
PGI
I = {a ∈ A ∣ {t ∈ TI ∣ a ∈ t} ∈ GI}
PGI
I est un idéal bilatère de A.
Soit a, b ∈ A tels que aAb ⊆ I. Posons F = {a, b}.
— On sait que RI(F ) ∈ GI i.e. {t ∈ TI ∣ ∀(x, y) ∈ F2 (xAy ⊆ t ⇒ x ∈ t ou y ∈ t)} ∈
GI.
— Pour tout t ∈ TI, comme I ⊆ t et aAb ⊆ I il vient aAb ⊆ t d’où TI= {t ∈ TI ∣aAb ⊆ t}.
— Donc RI(F ) ⊆ {t ∈ TI∣a ∈ t ou b ∈ t} donc {t ∈ TI, a ∈ t ou b ∈ t} ∈ GI. — Comme GI est un ultrafiltre, il vient {t ∈ TI, a ∈ t} ∈ GI ou {t ∈ TI, b ∈ t} ∈ GI.
On obtient la conclusion intermédiaire suivante :
CI∶ ∀(a, b) ∈ A2 (aAb ⊆ I ⇒ (a ∈ PGI
I ou b ∈ PGI
5. Montrons que PGI
I ne rencontre pas S :
Par l’absurde, supposons qu’il existe s ∈ PGI
I ∩S : alors s ∈ S et {t ∈ TI ∣ s ∈ t} ∈ FI. C’est absurde puisque {t ∈ TI ∣s ∈ t} = ∅ et un filtre ne contient pas l’ensemble vide.
6. Itération du raisonnement :
Pour tout idéal J de A qui ne rencontre pas S on définit FJ comme le filtre engendré par les RJ(F ) (F décrivant les parties finies de A) sur l’ensemble TJ des idéaux de
A incluant J qui ne rencontrent pas S. On définit également Pf(FJ)
J ∶= {a ∈ A, {t ∈
TJ, a ∈ t} ∈ FJ}, où f est donné par la Remarque 6.5.2.
On note On la collection des ordinaux, et ω le premier ordinal infini. Posons I0 =I, puis I1 =Pf(I0) I0 , puis I2 =Pf(I1) I1 , . . . , Iω = ⋃ n∈ωIn, Iω+1=P f(Iω) Iω , . . . On construit ainsi une collection croissante (Iα)α∈On d’idéaux de A qui ne
ren-contrent pas S telle que : — It+1=Pf(It)
It
— Iα= ⋃
t<αIt si α est un ordinal limite.
D’après la Proposition A.1.1 (conséquence du schéma de remplacement), il existe
α ∈ On tel que Iα=Iα+1, donc :
Iα+1=PGIα
Iα =Iα
Donc la conclusion CIα assure que pour tous a, b ∈ A :
aAb ⊆ Iα⇒ (a ∈ Iα ou b ∈ Iα)) L’idéal Iα est donc premier.
Remarque 6.5.3.
Ces résultats sont valables si S est une partie multiplicative puisque comme l’anneau
A est unitaire, une partie multiplicative est un m-système.
Proposition 6.5.1.
Soit I un idéal premier d’un anneau unitaire A.
Si I est maximal alors le singleton {I} est fermé dans Spec(A). Avec T2 la réciproque est vraie.
Preuve :
On rappelle que l’adhérence du singleton {I} (pour la topologie de Zariski) est le fermé FI= {Q ∈ Spec(A) ∣ I ⊆ Q} (Proposition6.3.5).
— Si I est maximal alors le seul idéal premier incluant I est I donc FI = {I} donc
{I} est fermé.
— Supposons maintenant {I} fermé : FI = {I}. Soit J un idéal propre tel que I ⊆ J ,
avec T2 (via le Théorème6.5.1), il existe un idéal premier J′incluant J i.e. J′∈FJ
6.5.4 Compacité du spectre d’un anneau unitaire, avec T2
Proposition 6.5.2.
T2 implique le résultat suivant :
Soit A un anneau unitaire. Alors Spec(A) est un espace topologique compact.
Preuve :
On reprend la preuve du Théorème6.4.2, mais on utilise le Théorème 6.5.1(existence d’idéaux premiers dans un anneau unitaire) au lieu du Théorème6.4.1(existence d’idéaux premiers dans un anneau commutatif unitaire).
Proposition 6.5.3.
T2 implique le résultat suivant :
Pour toute famille (Ai)i∈I d’anneaux non commutatifs unitaires, pour toute famille
d’idéaux propres (Ji)i∈I telle que pour tout i ∈ I, Ji est un idéal propre de Ai, il existe une famille (Pi)i∈I d’idéaux premiers telle que pour tout i ∈ I, Pi est un idéal premier de Ai qui inclue Ji.
Preuve :
T2 implique qu’un produit de compacts non vides est non vide (Théorème 3.2.1) : on applique ce résultat à ∏