Fig. 2.12: Structure du vecteur X contenant les champs Vxet Vz et correspondance avec la discrétisation du milieu
2.7
Temps ou fréquence ?
Les équations de propagation des ondes élastiques ont donc été discrétisées à l’aide du stencil de différences finies de Saenger et al. (2000), dans le domaine temporel (équations 2.47 et 2.48) et fréquentiel (équations 2.55 et 2.56). L’implémentation numérique de la surface libre a été détaillée dans la section 2.4, ainsi que les conditions aux bords absorbantes dans la section 2.5. Le terme source a été explicité dans la section 2.6. Résolvons maintenant les systèmes précédents.
2.7.1 Ecriture matricielle des champs
Dans ce qui suit, nous allons écrire les équations elliptiques précédentes sous forme matricielle, afin de les résoudre simplement. Pour cela, les champs de vitesses et de contraintes (ou leurs sous- champs) sont placés dans un vecteur X. Illustrons la structure de ce vecteur pour l’exemple des deux champs Vx et Vz, présents dans le système elliptique en fréquence. Les champs Vx et Vz sont
placés dans un vecteur X contenant 2∗nxe∗nze termes, où nxe est le nombre de points numériques dans la direction horizontale et nze est le nombre de points numériques dans la direction verticale. La structure de ce vecteur est présentée sur la figure 2.12. Pour une abscisse donnée, le milieu est parcouru selon les profondeurs croissantes et les deux champs Vx et Vz sont placés consécutivement
dans le vecteur X. Puis, l’abscisse augmente et tous les points de cette abscisse sont parcourus.
2.7.2 Résolution numérique des équations dans le domaine temporel
Le système hyperbolique d’ordre 1, composé des équations 2.47 et 2.48 relie de manière causale les valeurs d’un champ donné en un point et à un instant donnés avec les valeurs des autres champs à des temps antérieurs et en des points voisins. Il est donc possible de définir des opérateurs locaux de différences finies faisant intervenir instants antérieurs et points voisins. Ce système peut s’écrire sous forme matricielle et les six sous-champs de contraintes et les quatre sous-champs de vitesses sont placés dans un vecteur X de taille 10 ∗ nxe ∗ nze puisque dix sous-champs sont considérés en tout. La matrice construite A est de dimensions (10 ∗ nxe ∗ nze)2, puisque 10 sous-champs sont
sous la forme :
X(t) = (I − dt τP M L)X(t − dt) + AdtX(t − dt/2) + dtf (2.61)
où la matrice A contient les dérivées partielles premières des champs. Ici τP M L est un vecteur
contenant le coefficient d’atténuation générique lié aux PML, I est la matrice identité et f est un vecteur contenant les forces appliquées pour chaque sous-champ. A est une matrice creuse, dont les coefficients non nuls sont situés près de la diagonale.
Si le système précédent est transformé en système elliptique contenant les vitesses, le nombre de champs est réduit (seuls Vxx et Vxz, Vzxet Vzz interviennent) et le système s’écrit à l’aide d’une
matrice B de taille (4 ∗ nxe ∗ nze)2 :
X(t) = 2ηP M L1 X(t − dt) − η2P M LX(t − 2dt) + Bdt2X(t − dt) (2.62) où la matrice B contient les dérivées partielles secondes des champs. Les vecteurs η1
P M L et ηP M L2
s’expriment en fonction des coefficients PML appliqués aux champs et de dt. B est une matrice creuse, dont les coefficients non nuls sont également situés près de la diagonale.
Les matrices construites A et B sont de taille conséquente mais creuses et ne sont jamais construites dans la pratique pour cette raison. Pour un temps t donné, les équations 2.47 et 2.48 sont résolues en stockant les valeurs des 10 champs à chaque incrémentation en temps de dt/2 : les champs calculés en t − dt sont stockés en mémoire, ainsi que les autres champs permettant d’écrire les dérivées spatiales calculées à t − dt/2. Nous allons voir que ce n’est pas le cas en fréquence.
2.7.3 Résolution numérique des équations dans le domaine fréquentiel
Grâce à la simplicité de l’implémentation numérique des PML en fréquence, le système composé des équations 2.55 et 2.56 peut être exprimé sous la forme d’un système du type (Marfurt, 1984; Pratt et al., 1998) :
W X = S (2.63)
où W est une matrice de taille (2 ∗ nze ∗ nxe)2. Elle dépend des paramètres physiques du milieu
comme les paramètres de Lamé et la masse volumique par exemple, de la fréquence considérée et des coefficients PML. X est un vecteur de taille 2 ∗ nze ∗ nxe (figure 2.13) et contient les champs recherchés Vx etVz. S est un vecteur de taille 2 ∗ nze ∗ nxe contenant les sources. nxe et nze étant
le nombre de points du milieu dans les directions x et z. La structure de la matrice d’impédance est présentée sur la figure 2.13.
En raison du choix du stencil de Saenger et al. (2000), chaque ligne de la matrice d’impédance contient 18 coefficients non nuls (voir section 2.5.3). C’est donc une matrice creuse. Le nombre de coefficients non nuls est lié directement au choix du stencil de différences finies et à l’ordre des opérateurs. Afin de résoudre numériquement l’équation matricielle 2.63, la largeur de la bande de coefficients non nuls doit être minimisée. Ainsi, un schéma numérique à l’ordre 4 requiert un temps de calcul plus long qu’un schéma numérique à l’ordre 2. Ceci constitue également un argument en faveur du stencil de Saenger et al. (2000). Stekl & Pratt (1998) construisent également une matrice d’impédance, basée sur le stencil de Jo et al. (1996) dans lequel les dérivées spatiales sont calculées à partir d’une combinaison linéaire d’un stencil tourné et non tourné.
Si la source S est une force ponctuelle agissant dans une direction donnée, nous pouvons écrire : W W−1 = I, où I est la matrice identité. Ceci indique que les colonnes de W−1 contiennent les fonctions de Green du type Gij(x, ω, r) définies dans la section 2.6.1, selon (Pratt et al., 1996; Pratt,
1999; Pratt et al., 1998; Stekl & Pratt, 1998). D’après le principe de réciprocité (Aki & Richards, 2002), Gij(x, ω, r) = Gji(r, ω, x). Ceci signifie que les colonnes de W−1 sont égales à ses lignes,
et donc que W−1 est symétrique. W est donc également symétrique. Ceci est valable uniquement
2.7 Temps ou fréquence ? 81
Milieu considéré Vp (m/s) Vs (m/s) ρ(103kg/m3)
Milieu 1 888 431 1, 6
Milieu 2 1350 606 1, 9
Air (surface libre et cavité) 0 0 10−6
Zone altérée 444 200 1, 2
Tab. 2.1: Valeur des paramètres du milieu
2.7.4 Résolution de l’équation matricielle en fréquence
Ce système est résolu par une décomposition LU de la matrice W , où L est une matrice triangulaire inférieure et U une matrice triangulaire supérieure. Pour cela, nous avons utilisé le logiciel MUMPS écrit par Amestoy et al. (2000, 2001). Le schéma numérique est le suivant. Après avoir décomposé W en LU, le système W X = S équivaut à (LU) X = S ou L (UX) = S. Soit Y = U X. Nous résolvons Y = L−1S par une méthode de substitution, puis X = U−1Y par la même méthode.
Le choix de cette méthode de résolution directe est basée sur plusieurs arguments. Tout d’abord, une décomposition directe du système est effectuée, en opposition à une décomposition itérative (avec des méthodes du type LSQR (Paige & Saunders, 1982)), en raison du grand nombre de sources dans les acquisitions sismiques (Stekl & Pratt, 1998). Ensuite, en raison de la présence des PML, la matrice W n’est pas symétrique. Il n’est donc pas possible d’utiliser des méthodes basées sur l’utilisation de la symétrie de la matrice pour accélérer la convergence.
Les acquisitions multisources et multirécepteurs sont ainsi modélisées efficacement, par sub- stitutions successives de la matrice S et résolutions successives du système. En effet, le coût de calcul de la décomposition LU demande 80% du temps total de calcul, alors que les substitutions successives n’en requièrent que 20%. Avec une méthode itétative, le coût de calcul aurait été trop important pour des acquisitions multisources et multirécepteurs.