Dans ce qui suit, des simulations numériques de propagation des ondes dans le domaine fréquen- tiel sont présentées. Les paramètres du milieu que nous avons considéré sont issus d’une expérience de détection de cavités souterraines, à proximité immédiate d’une voie de chemin de fer, à côté de Chaulnes (Picardie, France) (Leparoux & Abraham, 2002; Leparoux et al., 2002a). Ils ont été établis par Demand (2002) et sont présentés dans le tableau 2.1.
La source explosive est un Ricker de fréquence centrale 88 Hz (figure 2.14). L’énergie est prin- cipalement concentrée entre 10 et 200 Hz. Nous avons donc choisi de simuler la propagation des ondes pour des fréquences entre 10 et 200 Hz, soit pour des pulsations ω comprises entre 10 ∗ 2 ∗ π = 62, 83Hz et 200 ∗ 2 ∗ π = 1256, 64Hz. Cette bande de fréquence est réaliste, d’autant que les géophones utilisés enregistrent les ondes pour des fréquences supérieures à 14 Hz.
Le pas d’échantillonnage spatial est de 0.1m dans les directions horizontales et verticales. Ceci permet de satisfaire la condition de 30 points par longueur d’onde recommandée par Bohlen & Saenger (2003); Saenger & Bohlen (2004) pour modéliser correctement la surface libre. Les milieux de propagation contiennent 301 points dans les directions horizontales et verticales, donc simulent un milieu large et profond de 30 m. Les couches PML contiennent 20 points et sont donc épaisses de 2 m. Festa & Nielsen (2003) ont montré que, même si l’épaisseur des PML est inférieure à la longueur d’onde, ces dernières assurent néanmoins une atténuation du champ efficace, pour les ondes de volume et les ondes de Rayleigh.
L’échantillonnage temporel choisi à l’aide de la relation de dispersion vaut dt = 5.10−5s. Nous
2.8 Exemples numériques de résolution de l’équation matricielle 83
Fig. 2.14: Ricker temporel (gauche) et contenu fréquentiel (droite)
Fig. 2.15: Carte en fréquence pour la partie réelle de Vx (gauche) et Vz pour une fréquence de 147 Hz (milieu) et Vz pour une fréquence de 195 Hz (droite)
soit dωnyq = 2π/(ntf∗ dt) = 61, 34Hz (section 2.2.3). Pour couvrir l’intervalle de fréquences choisi,
il faut donc simuler 20 composantes fréquentielles, espacées de l’intervalle de fréquence dfnyq.
Nous avons tout d’abord considéré un milieu sans surface libre, de manière à illustrer les résultats obtenus (les cartes en fréquence) sur un cas de référence. Puis nous avons introduit la surface libre grâce à la méthode décrite dans la section 2.4. Nous y avons considéré une source profonde, ne générant pas d’onde de surface, puis une source superficielle, donnant lieu à des ondes de surface de Rayleigh. Nous avons également introduit une cavité pleine d’air, ainsi qu’une zone de décompaction du sol. Dans ces deux cas, nous mettons en évidence la dispersion des ondes et les interactions entre cavité, surface libre et zone de décompaction. Enfin, nous avons simulé une surface topographique non plane, de manière à illustrer la complexité de la propagation des ondes de surface dans ce cas. Milieu sans surface libre
Nous simulons tout d’abord un milieu complètement homogène, dont les propriétés sont celles du milieu 1 dans le tableau 2.1. La figure 2.15 est une carte en fréquence montrant la partie réelle de la composante verticale et de la composante horizontale du champ de vitesse en chaque point du milieu pour une fréquence de 147Hz. Cette dernière a été choisie de manière à montrer la propagation de plusieurs longueurs d’onde dans le milieu.
Le système d’équations 2.55 et 2.56 est résolu en chaque point du milieu. Concrètement, nous avons extrait du vecteur X (équation 2.63) les composantes verticales puis horizontales, pour une source explosive située au centre du milieu.
Fig. 2.16: Position de la source et paramètres du milieu utlisés pour la simulation avec surface libre
et noires constituent des oscillations de l’onde et traduisent la propagation spatiale d’une compo- sante sinusoïdale des champs Vx et Vz. Lorsque la fréquence augmente, la longueur d’onde diminue
et les franges se rapprochent (figure 2.15).
La carte en fréquence de Vx montre une symétrie du champ selon l’axe Oz, passant par la source.
De même, la carte en fréquence de Vzmontre une symétrie du champ selon l’axe Ox, passant par la
source. Ceci est dû à l’isotropie de la source explosive et du milieu. De plus, ceci illustre l’efficacité des PML puisqu’aucune onde réfléchie venant des PML n’apparaît.
Milieu avec surface libre et source profonde
Nous avons ensuite implémenté la surface libre 2.4 et placé une source explosive au centre du milieu (figure 2.16). Les cartes en fréquence obtenues sont présentées sur la figure 2.17. Par rapport à la figure 2.15, des phénomènes de superposition et d’interférence des ondes apparaissent. Ainsi, la réflexion à la surface libre est clairement visible et se superpose au champ direct. Les cartes en fréquence contiennent toutes les ondes, qu’elles soient réfléchies, directes, converties, réfractées, qui existent dans le milieu à une fréquence donnée. Aucune onde de surface n’apparaît à la surface libre car la source est trop profonde. Notons que la signature de la surface libre est différente selon la composante du champ considérée.
La superposition de toutes les composantes fréquentielles en un point, à l’aide de la transfor- mée de Fourier inverse (section 2.2.1), donne la vitesse de déplacement horizontal et vertical pour chaque point du milieu. Les figures 2.18 et 2.19 illustrent l’équivalence entre les sismogrammes temporels (carte en temps) et les sismogrammes issus de la sommation des contributions de toutes les fréquences. Les récepteurs se situent dans ce cas à 3m en-dessous de la source (figure 2.16). Ils sont espacés régulièrement de 1m et sont placés sur toute la largeur du modèle. Dans ce qui suit, nous montrerons donc les cartes en fréquence et les sismogrammes, afin de bien comprendre les phénomènes physiques sous-jacents.
2.8 Exemples numériques de résolution de l’équation matricielle 85
Fig. 2.17: Cartes en fréquence des parties réelles de Vx (gauche) et Vz (droite) pour une fréquence de 147Hz et une source profonde S2 (figure 2.16) et les récepteurs au-dessous
Fig. 2.18: Sismogrammes horizontaux et verticaux obtenus à partir de simulations fréquentielles pour une source localisée en S2 et les récepteurs au-dessous (figure 2.16)
Fig. 2.19: Sismogrammes horizontaux et verticaux obtenus à partir de simulations temporelles pour une source localisée en S2 et les récepteurs au-dessous (figure 2.16)
Milieu avec surface libre et source superficielle
Si la source est superficielle (figure 2.16), la superposition entre ondes directes et ondes réfléchies est différente en profondeur par rapport au cas précédent. Ondes directes et réfléchies se mélangent en fréquence pour donner des franges dont l’épaisseur varie latéralement en raison des angles d’in- cidence et de réflexion différents à la surface libre. Près de la surface libre, des ondes de surface sont générées (figure 2.20, source en S1), elles résultent d’interférences constructives entre ondes P
réfléchies et S réfléchies converties à la surface libre. Leur profondeur augmente lors de leur pro- pagation en s’éloignant de la source, ce qui traduit leur construction latérale progressive. Ensuite, elles se propagent dans une épaisseur de sol constante, dépendant de leur fréquence. L’espacement entre leurs franges est plus faible que pour les ondes de volume car ces ondes se propagent plus lentement (voir section 2.1.3). Ceci est également visible sur les sismogrammes (figure 2.21). Il n’y a pas d’onde S car la source est explosive.
Milieu avec surface libre, source superficielle et cavité
Introduisons maintenant une cavité pleine d’air (figure 2.22). Des ondes supplémentaires ap- paraissent, alors que d’autres sont modifiées ou atténuées par rapport au cas précédent. Afin de quantifier précisément l’influence de la surface libre, les cartes en fréquence avec et sans cavité sont soustraites l’une de l’autre (figures 2.23 et 2.20). La figure 2.24 montre les ondes modifiées entre ces deux cas. A l’aide des simulations temporelles, une interprétation des différentes ondes est proposée (figure 2.24). Notons que les ondes modifiées se réfléchissent également à la surface libre, augmentant ainsi la complexité des phénomènes puisque deux surfaces libres interviennent (celle du sol et celle de la cavité).
Lorsque la fréquence change, l’interaction entre l’onde et la cavité est différente (figure 2.25) puisque le rapport entre taille de la cavité et longueur d’onde change.
Les sismogrammes (figure 2.26) illustrent également la complexité des phénomènes physiques : apparition d’une onde réfléchie au toit de la cavité, perturbation des ondes de volume P directes et des ondes de Rayleigh directes.
2.8 Exemples numériques de résolution de l’équation matricielle 87
Fig. 2.20: Cartes en fréquence des parties réelles de Vx (gauche) et Vz (droite) pour une fréquence de 147Hz et une source superficielle S1 (figure 2.16)
Fig. 2.21: Sismogrammes horizontaux et verticaux obtenus à partir de simulations temporelles pour une source localisée en S1 et les récepteurs à la surface libre (figure 2.16)
Fig. 2.22: Position de la source et paramètres du milieu utilisés pour la simulation avec surface libre
Fig. 2.23: Cartes en fréquence des parties réelles de Vx (gauche) et Vz (droite) pour une fréquence de 147Hz, une source superficielle et une cavité (figure 2.22)
2.8 Exemples numériques de résolution de l’équation matricielle 89
Fig.2.24:Mise en évidence de l’influence de la cavité par la soustraction des cartes en fréquence des parties réelles de Vx (gauche) et Vz (droite) avec une cavité (figure 2.23) et sans cavité (figure 2.20). A droite :
Onde 1 : réfléchie de l’onde de volume ; onde 2 : réfléchie de l’onde de surface ; onde 3 : onde retardée par le passage de la cavité ; onde 4 : onde réfléchie sur la cavité puis sur la surface libre ; onde 5 : autre réfléchie de l’onde de volume. Onde 6 : onde réfléchie sur le toit de la cavité et onde réfléchie sur le toit de la cavité puis à la surface libre. A gauche : Onde 1 : réfléchie de l’onde de volume ; onde 2 : réfléchie de l’onde de surface ; onde 3 : onde retardée par le passage de la cavité. Onde 4 : onde réfléchie sur le toit de la cavité. Onde 5 : onde réfléchie sur le toit de la cavité puis sur la surface libre
Fig. 2.25: Cartes en fréquence des parties réelles de Vx (gauche) et Vz (droite) pour une fréquence de 195Hz, une source superficielle et une cavité (figure 2.22)
Fig. 2.26: Sismogrammes horizontaux et verticaux obtenus à partir de simulations temporelles pour une source localisée en S et les récepteurs à la surface libre (figure 2.22)
Le fait que la cavité atténue globalement les ondes après leur passage est utilisé dans la méthode mise au point par le BRGM avec les ondes de surface (Leparoux et al., 2000). En effet, la cavité modifie les ondes de volume et de surface directe. Ces ondes sont réfléchies et diffractées sur la cavité et sur la surface libre proche. Juste à droite de la cavité, le signal est perturbé et il y a une lacune d’énergie, une sorte de zone d’ombre, révélatrice de la présence de la cavité. Plus loin, les ondes réfléchies à la surface libre et/ou sur le toit de la cavité se recombinent pour donner à nouveau une onde de surface (onde 6 sur Vx, ondes 4 et 5 sur Vz sur la figure 2.29).
Milieu avec surface libre, source superficielle, cavité et zone de décompaction au-dessus de la cavité
Simulons maintenant la présence d’une zone décompactée à l’aplomb de la cavité, comme c’est le cas dans les milieux réels. La figure 2.27 montre la forme et les paramètres physiques du cône d’altération que nous avons simulé. La figure 2.28 montre que le cône d’altération piège de l’énergie juste au-dessus de la cavité, en raison de ses vitesses sismiques plus faibles. La figure 2.29 présente des cartes en fréquence contenant uniquement le champ dû au cône d’altération. Ici encore, une interprétation des différentes ondes modifiées par la présence du cône d’altération est proposée. Néanmoins, les phénomènes tendent à se complexifier fortement en raison des nombreux réflexions (surface libre, cavité) et du ralentissement et du piégeage des ondes dans le cône d’altération.
Les sismogrammes (figure 2.30) illustrent la complexité des phénomènes physiques et le piégeage des ondes dans la zone altérée. Ce phénomène domine les sismogrammes : l’empreinte de la cavité est peu visible. Sur le terrain, ceci signifie que des zones à plus faible vitesse sont préférentiellement détectées. Ceci est très utile en pratique puisque les cavités qui nous intéressent, susceptibles de s’effondrer, présentent toujours une zone de décompaction juste au-dessus. Ainsi, les zones poten- tiellement dangereuses sont tout d’abord détectées. Il faut ensuite déterminer la présence ou non de la cavité.
2.8 Exemples numériques de résolution de l’équation matricielle 91
Fig. 2.27: Position de la source et paramètres du milieu utlisés pour la simulation avec surface libre
Fig. 2.28: Cartes en fréquence des parties réelles de Vx (gauche) et Vz (droite) pour une fréquence de 147Hz, une source superficielle, une cavité et un cône d’altération (figure 2.27)
Fig. 2.29: Mise en évidence de l’influence de la cavité par la soustraction des cartes en fréquence des parties réelles de Vx (gauche) et Vz (droite) avec une cavité (figure 2.23) et sans cavité (figure 2.20). A
droite : Onde 1 : onde réfléchie par le point A sur la surface libre ; onde 2 : onde de volume réfléchie sur le segment AB ; onde 3 : réfléchie de l’onde de surface sur le segment AB, onde diffractée par B ; onde 4 : onde diffractée par C ; onde 5 : onde diffractée par le cône d’altération (D) et la surface libre. A gauche : Onde 1 : onde de surface réfléchie par la cône d’altération (A) ; onde 2 : onde de volume directe réfléchie par la cône d’altération ; réfléchie de l’onde de surface par AB, onde diffractée par la cône d’altération (B) ; onde 4 : onde diffractée par C ; onde 5 : onde de surface diffractée par D.
Fig. 2.30: Sismogrammes horizontaux et verticaux obtenus à partir de simulations temporelles pour une source localisée en S et les récepteurs à la surface libre (figure 2.22)