Gradient et contenu en nombre d’onde

Sirgue & Pratt (2001) utilise une approximation en onde plane et un milieu homogène à une dimension (vitesse variant avec la profondeur) pour établir les fréquences à inverser (figure 4.52). Il faut garder en tête que cette estimation donne un échantillonnage minimal des fréquences. Pour des milieux complexes comme la subsurface, il est souvent nécessaire d’augmenter le nombre de fréquences inversées. Sirgue & Pratt (2001) examinent la contribution d’un couple source-récepteur et d’une composante fréquentielle. Procédons de la même manière pour le cas élastique. Nous ne considérons ici que les ondes de volume. Comme Sirgue (2003), nous négligeons les effets d’am- plitude, nous supposons que le milieu de référence est homogène avec une vitesse générique c0.

Cette dernière représente Vp ou Vs selon le cas considéré, et les fonctions de Green sont des ondes

P ou S. Nous nous situons en champ lointain, de telle sorte que les fonctions de Green peuvent être remplacées par des approximations en onde plane. Ces hypothèses paraissent restrictives mais d’après Sirgue (2003), aucune d’entre elles n’est strictement requise dans les cas réels.

Par définition, une fonction de Green G0

ij(x, ω, s) correspond à la vitesse de déplacement en-

registrée selon la direction i et émise selon la direction j. L’onde plane en question est une onde P ou une onde S. Par définition, une onde plane peut être décrite sous la forme : exp(ik0~s · x)

dans le domaine des nombres d’onde. Nous décomposons donc les vecteurs ~s et ~r correspondant aux vecteurs unitaires allant de la source au point diffractant ou du récepteur au point diffractant (figure 4.52), de manière à respecter ces définitions, selon :

G0_ij(x, ω, s) = exp(ik0s~j· xix~i) (4.86)

G0_kl(x, ω, r) = exp(ik0r~l· xkx~k)

où k0= ω/c0 est le nombre d’onde dans le milieu de référence homogène. ~xi et ~xk sont les vecteurs

unitaires le long des axes i et k du repère cartésien. c0 est la vitesse de référence, correspondant à

Vp ou Vs selon qu’une onde plane P ou S est étudiée. La formulation par ondes planes entraîne que

les fonctions de Green G0

ij(x, ω, s) telles que i 6= j valent 1.

Les dérivées des fonctions de Green apparaissent dans le calcul des dérivées de Fréchet, que ce soit avec l’approximation de Born ou de Rytov. La dérivation spatiale équivaut à une multiplication par ik0 pour une fonction de Green G0ij(x, ω, s) telle que i 6= j.

Approximation de Born

Commençons par le cas des dérivées de Fréchet calculées avec l’approximation de Born. L’opé- rateur adjoint élastique contient des coefficients ∂Kpq(r, x, s, ω)/∂Vp, s’exprimant sous la forme de

produits de dérivées spatiales selon x et z de fonctions de Green. Afin de prendre en compte tous les types d’onde, les fonctions de Green des expressions suivantes peuvent être des ondes P ou des ondes S. Le nombre d’onde considéré k0 et la vitesse du milieu c0 seront donc écrits comme ks0 et

cs

0 pour le cas de l’onde (P ou S) provenant de la source et k0r et cr0 pour le cas de l’onde (P ou S)

∂Kxx(r, x, s, ω) ∂Vp = −2V 0 p(x){ ∂G0_xx(x, ω, r) ∂x + ∂G0_zx(x, ω, r) ∂z } (4.87) {∂G 0 xx(x, ω, s) ∂x + ∂G0_zx(x, ω, s) ∂z } = −2Vp0(x) ∂G0_xx(x, ω, r) ∂x ∂G0_xx(x, ω, s) ∂x = 2V_p0(x)ks₀k₀rG0_xx(x, ω, r)G0_xx(x, ω, s) = 2V_p0(x)ks₀k₀rexp(i(ks₀s~x· x ~xx+ k0rr~x· x ~xx))

En suivant le même raisonnement, ∂Kxz(r, x, s, ω) ∂Vp = 2V_p0(x)kr₀ks₀exp(i(ks₀s~zz ~xz+ k0rr~x· x ~xx)) (4.88) ∂Kzx(r, x, s, ω) ∂Vp = 2V_p0(x)kr₀ks₀exp(i(ks₀s~xx ~xx+ kr0r~z· z ~xz)) ∂Kzz(r, x, s, ω) ∂Vp = 2V_p0(x)kr₀ks₀exp(i(ks₀s~z· z ~xz+ kr0r~z· z ~xz))

Les coefficients de l’opérateur adjoint élastique par rapport au paramètre Vss’écrivant ∂Kpq(r, x, s, ω)/∂Vs

se comportent différemment. En effet, dans l’approximation en onde plane, tous les termes du type ∂G0pq(x,ω,s)

∂r où r et p sont différents s’annulent puisque dans ce cas, la direction de dériva-

tion est perpendiculaire à la direction d’enregistrement. Restent donc les contributions des coeffi- cients ∂Kxz(r, x, s, ω)/∂Vs et ∂Kzx(r, x, s, ω)/∂Vs, et plus particulièrement des termes suivants :

∂G0 zz(x,ω,s) ∂z ∂G0 xx(x,ω,r) ∂x et ∂G0 xx(x,ω,s) ∂x ∂G0 zz(x,ω,r)

∂z . Ainsi, nous obtenons les égalités suivantes :

∂Kxz(r, x, s, ω) ∂Vs = −4V 0 s(x) ∂G0 xx(x, ω, r) ∂x ∂G0 zz(x, ω, s) ∂z (4.89) = 4V_s0(x)k₀rk₀sG0_xx(x, ω, r)G0_zz(x, ω, s) = 4V_s0(x)k₀rk₀sexp(i(ks₀s~z· z ~xz+ kr0r~x· x ~xx)) et ∂Kzx(r, x, s, ω) ∂Vs = −4V 0 s(x) ∂G0_zz(x, ω, r) ∂z ∂G0_zz(x, ω, s) ∂x (4.90) = 4V_s0(x)k₀rk₀sG0_zz(x, ω, r)G0_xx(x, ω, s) = 4V_s0(x)k₀rk₀sexp(i(ks₀s~x· x ~xx+ k0rr~z· z ~xz))

Ces équations montrent les contributions des différents coefficients en terme d’imagerie des nombres d’onde. Les figures 4.53, 4.54, 4.55 et 4.56 montrent la contribution de chaque terme dans le plan (kx, kz). Les figures 4.53 et 4.55 constituent des cas particuliers où les ondes issues de la

source et du récepteur sont de même nature. Les figures 4.54 et 4.56 traitent le cas plus général d’ondes de nature différente.

En terme d’imagerie, les résultats sont inchangés que la nature des ondes soit la même ou non. En effet, le calcul du coefficient de réflexion au point de réflexion sur la couche inférieure pour des angles quelconques (figure 4.52) permet d’établir que (Aki & Richards, 2002) :

4.7 Imagerie, spectre de nombre d’onde et choix des fréquences inversées 189

Fig. 4.52: _{Schéma de base de la diffraction 1D. L’onde incidente est diffractée par une couche fine à} une dimension au centre entre la source et le récepteur. Dans le cas à une dimension pour deux ondes quelconques, les angles des rais sont notés β et −α et ne sont pas égaux. Dans le cas particulier d’ondes de même nature, les angles θ et −θ sont égaux. Modifié d’après Sirgue (2003)

Fig. 4.53: _{Contribution de chaque coefficient du noyau de Born dans le spectre de nombre d’onde total} pour le paramètre Vp. Pour une acquisition de surface et un milieu à une dimension, les composantes

horizontales s’annulent par la contribution des différents termes. Seules restent les composantes verticales du nombre d’onde

Donc les normes des contributions en nombre d’onde horizontal sur la figure 4.54 sont égales et le vecteur final a une direction verticale.

Ainsi, pour une configuration telle que sources et récepteurs se situent à la surface et pour un milieu à une dimension (figure 4.52), les contributions horizontales des différents termes s’annulent quel que soit les types d’onde directe ou rétro-propagée. Nous retrouvons les mêmes résultats qu’en acoustique (Sirgue, 2003; Ravaut, 2003) et les mêmes résultats s’appliquent pour déterminer les fréquences à imager.

Approximation de Rytov

Avec l’approximation de Rytov, les résultats sont différents et le noyau par rapport à Vp s’écrit :

∂K_xxr (r, x, s, ω) ∂Vp

Fig.4.54:_{Contribution de chaque coefficient du noyau de Born dans le spectre de nombre d’onde total pour} le paramètre Vp et des ondes directes et rétropropagées de nature différente. Pour une acquisition de surface

et un milieu à une dimension, les composantes horizontales s’annulent par la contribution des différents termes. Seules restent les composantes verticales du nombre d’onde

Fig. 4.55: _{Contribution de chaque coefficient du noyau de Born dans le spectre de nombre d’onde total} pour le paramètre Vs. Pour une acquisition de surface et un milieu à une dimension, les composantes

horizontales s’annulent par la contribution des différents termes. Seules restent les composantes verticales du nombre d’onde

4.7 Imagerie, spectre de nombre d’onde et choix des fréquences inversées 191

Fig.4.56:_{Contribution de chaque coefficient du noyau de Born dans le spectre de nombre d’onde total pour} le paramètre Vs des ondes directes et rétropropagées de nature différente. Pour une acquisition de surface

et un milieu à une dimension, les composantes horizontales s’annulent par la contribution des différents termes. Seules restent les composantes verticales du nombre d’onde

∂Kr xz(r, x, s, ω) ∂Vp = 2V_p0(x)k₀rks₀exp(i(k₀ss~z· z ~xz+ k0rr~x· x ~xx− ks0s~z· rxr~x)) ∂K_zxr (r, x, s, ω) ∂Vp = 2V_p0(x)k₀rks₀exp(i(k₀ss~x· x ~xx+ kr0r~z· z ~xz− k0ss~x· rzr~z)) ∂K_zzr (r, x, s, ω) ∂Vp = 2V_p0(x)k₀rks₀exp(i(k₀ss~z· z ~xz+ k0rr~z· z ~xz− k0ss~z· rzr~z))

Les grandeurs rxet rzdésignent les distances horizontales et verticales entre source et récepteur.

Les termes ~sxrzr~z et ~szrxr~x s’annulent en raison de l’orthogonalité des vecteurs. De plus, si source

et récepteur sont situés à la surface, rz = 0. La seule contribution supplémentaire est donc celle

de ~sxrxr~x pour ∂K

r

xx(r,x,s,ω)

∂Vp . Ainsi, l’approximation de Rytov comporte également une contribution

dans le domaine des nombres d’onde horizontaux. Calculons maintenant Kr xz(r, x, s, ω)/∂Vs et Kxzr (r, x, s, ω)/∂Vs. ∂Kxz(r, x, s, ω) ∂Vs = 4V_s0(x)k2₀exp(ik0( ~sz· z ~xz+ ~rx· xxx~x− ~sz· x ~rx)) (4.93) ∂Kzx(r, x, s, ω) ∂Vs = 4V_s0(x)k2₀exp(ik0( ~sx· x ~xx+ ~rz· z ~xz− ~sx· z ~rz))

Les produits scalaires ~szx ~rx et ~szx ~rx sont nuls. Donc en terme de contribution dans le spectre des

nombres d’onde, il n’y a pas de changement par rapport à l’approximation de Born.

Ainsi, par rapport à l’approximation de Born, l’approximation de Rytov contient une contri- bution des nombres d’onde horizontaux pour Vp. Le terme exp(ik0s(− ~sxrxr~x)) = exp(ik0srx) peut

également s’écrire comme exp(iks

0d), où d est le déport ou distance horizontale entre la source et le

récepteur. Ceci est un élément permettant de comprendre les différences entre les approximations de Born et de Rytov pour le calcul des dérivées de Fréchet. Avec l’approximation de Rytov, le déphasage de l’onde par rapport au champ propagé direct en un point donné est pris en compte dans l’imagerie de Vp.

La contribution de tous les termes (figures 4.54 et 4.56) avec l’approximation de Born revient à la contribution d’un terme en exp(i(ks

0~s+k0r~r)·x pour le calcul du noyau en Vp et exp(i(k0s~s+kr0~r)·x

pour le terme Vp, contenant une contribution à l’image des nombres d’onde horizontaux. Cependant,

le contenu des nombres d’onde verticaux est inchangé et nous pouvons nous baser sur le même contenu en nombre d’onde vertical pour le choix des fréquences à inverser. L’effet du terme en nombre d’onde horizontal augmente simplement la redondance dans l’espace des nombres d’onde, puisqu’une fréquence inversée couvre un spectre en nombre d’onde plus large.

Nous étudions donc le cas d’une onde plane exp(i(ks

0~s+k0r~r)·x, correspondant au cas générique.

De plus, comme nous avons vu qu’en terme d’imagerie, le vecteur nombre d’onde résultant est vertical pour l’approximation de Born et pour la restriction de Rytov correspondante, nous pouvons nous situer dans le cas particulier où β = α (figure 4.52) sans perdre de généralité.