points par longueur d’onde de √2. La deuxième solution est préférable car le pas de temps n’est pas changé. Le nombre de points nécessaire par longueur d’onde augmente donc pour conserver la même dispersion numérique, passant de 10 pour un stencil de différences finies en quinconce sans rotation des axes des dérivées (Virieux, 1986) à 10 ∗√2 = 14 points pour le stencil de Saenger et al. (2000).
Comparaison avec d’autres stencils de différences finies
La comparaison de ce stencil avec celui de Virieux (1986) et avec la solution analytique de Garvin (1956) sera présentée dans la section 2.4.3 pour le cas d’un milieu avec une surface libre, interface mettant en contact des milieux très contrastés. Saenger et al. (2000), Bohlen & Saenger (2003) et Saenger & Bohlen (2004) ont validé ce stencil.
D’autres auteurs (Jo et al., 1996; Stekl & Pratt, 1998) utilisent une combinaison linéaire des dérivées calculées selon un stencil tourné et un stencil non tourné. Des coefficients de pondération permettent de minimiser la dispersion numérique et de n’utiliser que 4 points par longueur d’onde pour le calcul des dérivées. L’inconvénient majeur de cette méthode réside dans sa dépendance au coefficient de Poisson (Jo et al., 1996). Ainsi, au passage d’une interface liquide-solide, le stencil non tourné devient instable et il ne faut conserver que le calcul des dérivées selon les axes tournés. Ceci pose un problème pour l’inversion, puisque notre but est de déterminer les paramètres du milieu a priori inconnus.
Hustedt et al. (2004) ont comparé le stencil de Jo et al. (1996); Stekl & Pratt (1998) et celui de Le- vander (1988). Les précisions et dispersions numériques obtenues sont du même ordre de grandeur. Néanmoins, le stencil de Levander (1988) fait intervenir des points plus éloignés spatialement. Ceci entraîne un coût numérique plus élevé, comme nous le verrons par la suite, puisque la bande de coefficients non nuls dans la matrice d’impédance devient plus large.
Min et al. (2000) se sont intéressé à un stencil comportant 25 points, permettant de diminuer en- core le nombre de points par longueur d’onde. Seuls 3, 3 points par longueur d’onde de cisaillement deviennent nécessaires pour assurer une dispersion numérique faible.
Nous avons donc présenté le stencil de Saenger et al. (2000). Les équations discrètes complètes du système 2.21 seront exposées dans la section 2.5.1, lorsque les conditions aux bords du modèle auront été introduites. Le stencil de Saenger et al. (2000) permet d’implémenter facilement la surface libre, comme nous allons maintenant le voir.
2.4
Modélisation de la surface libre
2.4.1 Différentes manières de modéliser la surface libre
Physiquement, les conditions à la surface libre sont : σxz = σzz = 0, correspondant à la nullité
de la traction à la surface libre. Les modélisations de la surface libre et de la topographie sont souvent sources de difficultés dans les méthodes numériques. Plusieurs auteurs se sont penchés sur la question et ont résolu le problème de différentes façons. Avec les différences finies, le principal problème rencontré pour une topographie quelconque réside dans l’obligation de la discrétiser en marches d’escaliers. Le nombre de points par longueur d’onde est généralement fort pour limiter cet effet.
Avec la grille de différences finies en quinconce de Virieux (1986) présentée sur la figure 2.8, les conditions à la surface libre sont exprimées par la nullité d’une contrainte (σzz par exemple pour
Graves (1996)), et la nullité de σzz est obtenue par la méthode des images (Graves, 1996). Dans
celle-ci, une couche numérique virtuelle est ajoutée au-dessus de la surface libre. Les valeurs de σzz y sont opposées à celles de σzz juste en-dessous de la surface libre, de manière à annuler les
Robertsson (1996) a étendu cette méthode à la méthode des images généralisées. Il décrit les conditions aux limites liées à la surface libre pour une maille par 7 combinaisons typiques, la contrainte cisaillante étant nulle à la surface libre. Ceci lui permet de généraliser les conditions de surface libre, il n’y a pas de limitation sur la forme du relief sauf pour de forts changements de topographie et la nécessité d’un nombre de points minimal pour certaines formes du relief. Cette technique demande des grilles numériques comportant 15 points par longueur d’onde (Robertsson, 1996). Ainsi, certaines parties du modèle sont suréchantillonnées. L’augmentation du nombre de points par longueur d’onde améliore la précision numérique pour des structures ayant une pente arbitraire.
D’autres auteurs ont préféré un maillage déformable près de la topographie : la grille de dif- férences finies est ainsi modifiée pour épouser exactement la forme de la surface libre (Tessmer et al., 1992; Hestholm & Ruud, 1994). Cette méthode se révèle efficace quand la topographie est très marquée, mais reste cependant très coûteuse pour des topographies plus lisses.
Une possibilité serait de modifier le stencil à proximité de la surface libre (Kristek et al., 2002; Carpenter et al., 1999), ce qui augmente le nombre d’opérations à effectuer et le coût de calcul. Il est également possible de mélanger la méthode des différences finies et celle des éléments finis près de la surface libre (Jianfeng & Tielin, 1999; Moczo et al., 1997). Mais le coût de calcul se révèle ici aussi élevé.
La topographie peut être également modélisée en utilisant le multigrille local (Hayashi et al., 2001). Pour les zones proches de la surface ou les zones à moindre vitesse, la grille est raffinée trois fois (le pas de la grille est trois fois plus petit). Ceci correspond à une méthode de grille discontinue qui prend en compte les effets de la topographie très efficacement. Dans la maille plus lâche, les différences finies d’ordre 4 en espace sont appliquées. Pour les zones où la maille est plus fine, l’ordre 2 est utilisé. Les champs de la grille grossière et de la grille fine sont calculés par interpolation linéaire.
Enfin, il est également possible d’étudier le multigrille total (Hustedt et al., 2003) à l’aide de transformées en ondelettes, permettant de modéliser la propagation des ondes à des échelles différentes. Les grilles lâches et fines sont interpolées bilinéairement. Cette méthode fournit de très bons résultats. Cependant, elle s’avère très coûteuse numériquement.
2.4.2 Implémentation de la surface libre
Dans notre approche, la topographie est modélisée à partir des valeurs des vitesses et de la densité, exprimant ainsi une condition aux limites implicite (Kelly et al., 1976) par la méthode du vide (selon Hayashi et al. (2001); Graves (1996); Ohminato & Chouet (1997)). La masse volumique ρ est quasiment nulle dans l’air et souvent considéré comme nulle par rapport à celle du sol. Mais numériquement, ce paramètre ne doit pas être nul car il apparaît au dénominateur dans les équations du mouvement. De même, si ρ était nul, Vp et Vs seraient infinis.
Par ailleurs, les vitesses dans l’air sont considérées comme nulles, en raison du contraste entre les vitesses de propagation des ondes P et S dans le milieu et dans l’air. Ceci permet d’implémenter numériquement la surface libre (Hayashi et al., 2001; Graves, 1996; Ohminato & Chouet, 1997) et d’annuler les contraintes dans l’air (les conditions initiales sont des vitesses et des contraintes nulles partout, i.e. l’équilibre du milieu). Cette condition constitue cependant un abus, puisque les conditions de surface libre stipulent que les tractions sont continues à la surface libre, donc que σxz
et σzz sont nulles. Aucune condition sur σxx n’existe normalement. Néanmoins, en raison du terme
en 1/ρ, ∂σxz/∂x peut être négligé dans la première équation des systèmes 2.21 et 2.26.
Saenger et al. (2000) et Ohminato & Chouet (1997) ont validé cette méthode numériquement. D’après Saenger & Bohlen (2004); Graves (1996), cette méthode de modélisation de la surface libre est valable uniquement avec un stencil d’ordre 2 en espace. Notons que Kneib & Leykam (2004) utilisent également le stencil de Saenger et al. (2000) pour modéliser la propagation des ondes à
2.4 Modélisation de la surface libre 65
Fig. 2.9:Comparaison de sismogrammes obtenus à partir du stencil de différences finies de Saenger et al. (2000) et des éléments spectraux (Komatitsch, 1997)
proximité d’un tunnel, sans introduire de vitesse nulle. Dans ce cas, le contraste de vitesses entre l’air (Vp = 331, 3m/s et Vs= 0.1m/s) et dans le milieu (Vp= 5300m/s et Vs= 2950m/s) assurent
un coefficient de réflexion proche de 1 au niveau de la surface libre. Cependant, la nullité des contraintes σxz et σzz n’est pas respectée strictement.
Pour correctement modéliser la surface libre avec le stencil de Saenger et al. (2000), Bohlen & Saenger (2003) et Saenger & Bohlen (2004) préconisent l’utilisation de 25 à 30 points par longueur d’onde. Ceci permet de correctement modéliser la surface libre et les ondes de surface, quelle que soit la profondeur de la source (figure 2.10).
2.4.3 Validation de l’implémentation de la surface libre
Afin de valider l’implémentation numérique de la surface libre, nous avons effectué une com- paraison avec la méthode numérique des éléments spectraux (Komatitsch, 1997; Festa & Vilotte, 2004) et la méthode analytique de Garvin (1956) pour des sources explosives.
Les figures 2.9 et 2.10 montrent un très bon ajustement entre les sismogrammes calculés à partir du stencil de différences finies de Saenger et al. (2000) et la méthode des éléments spectraux d’une part, et la solution analytique de Garvin (1956) d’autre part.
Fig.2.10:Comparaison de sismogrammes obtenus à partir du stencil de différences finies de Saenger et al. (2000), de Virieux (1986) et de la méthode analytique de Garvin (1956)
De plus, la figure 2.10 montre les difficultés rencontrées avec des sources superficielles (0.5m de profondeur) et le stencil de Virieux (1986). En effet, la comparaison entre les sismogrammes calculés avec cette méthode et ceux obtenus avec la solution analytique de Garvin (1956) montre un décalage temporel avec le stencil de Virieux (1986), inexistant avec le stencil de Saenger et al. (2000) pour une discrétisation spatiale des milieux identique. Ceci valide le stencil que nous avons choisi pour l’étude de la propagation des ondes en subsurface avec des sources localisées près de la surface libre. La propagation des ondes de surface est particulièrement bien modélisée avec le stencil de différences finies de Saenger et al. (2000) à condition d’inclure un nombre adéquat de points par longueur d’onde. Dans nos simulations, nous avons respecté le nombre de 25 à 30 points par longueur d’onde indiqué par Saenger et al. (2000), Bohlen & Saenger (2003) et Saenger & Bohlen (2004).