Fig. 4.1: Phénomène d’ambiguïté de phase illustré pour une sinusoïde (une composante fréquentielle) en temps pour les données calculées et observées. La différence des temps de trajet est inférieure à une demi- période (à gauche) et supérieure à une demi-période (à droite). Les méthodes de gradient interprètent les différences entre données observées et calculées selon la manière de gauche. Si l’ambiguïté de phase se produit, l’inversion ajuste les données avec le mauvais cycle, ce qui augmente l’erreur des temps de trajet. D’après Sirgue (2003)
des temps de trajet permet donc de détecter des anomalies de taille caractéristique allant de 17 à 35 mètres, alors que l’inversion des formes d’onde permet d’imager des objets de taille caractéristique allant de 5 à 10 mètres. L’inversion des formes d’onde élastique augmente ainsi la résolution spatiale. Il est néanmoins nécessaire que le macromodèle reproduise correctement les composantes basses fréquences des modèles (Gauthier et al., 1986; Pratt, 1990; Pratt et al., 1996, 1998). En pratique, cela signifie que les temps des principales arrivées doivent être reproduits avec une erreur inférieure à une demi longueur d’onde (Pratt et al., 1998; Ravaut, 2003) pour éviter tout phénomène d’ambi- guïté de phase (ou cycle-skipping) et appliquer l’inversion des formes d’onde élastique. L’ambiguïté de phase (figure 4.1) est en effet un phénomène dans lequel la différence en temps entre les données observées et calculées est supérieure à une demi-période. Dans ce cas, l’inversion cherche à minimi- ser des écarts qui ne correspondent pas aux phénomènes physiques, puisqu’un saut de cycle n’est pas pris en compte, et la direction du gradient est fausse.
4.2
Différences entre Born et Rytov : éléments de la bibliographie
Nous avons vu dans la partie 3.1.2 que l’opérateur adjoint linéaire B†
0 est lié aux dérivées de
Fréchet. Dans l’inversion linéarisée de Tarantola (1987), une linéarisation est effectuée pour cal- culer les dérivées de Fréchet, et les perturbations des paramètres sont linéairement reliées aux perturbations du champ. Nous insistons sur le fait que cette linéarisation n’intervient que dans le calcul des dérivées de Fréchet. De plus, les paramètres du milieu et les champs sont calculés à chaque itération au moyen d’un problème direct résolu avec les différences finies (donc les ondes multi-diffractées sont modélisées), ce qui permet de prendre en compte la non linéarité du problème. L’approximation de Born permet de linéariser la relation entre perturbations du champ et per- turbations des paramètres du milieu, alors que celle de Rytov établit une relation linéaire entre perturbations de la phase complexe du champ et perturbations du milieu. Les domaines de validité respectifs de ces deux approximations et leur possible équivalence ont fait l’objet de nombreuses
de ces deux approximations. Leurs observations permettent de tirer certaines conclusions sur les situations dans lesquelles la linéarisation donne de bons résultats pour le calcul des dérivées de Fréchet. Dans cette partie nous distinguons rétrodiffusion et diffraction avant, qui sont chacune une partie du champ diffracté, respectivement dans la direction opposée à la propagation ou dans la direction de propagation. Ici le terme de diffusion est improprement employé au lieu du terme de diffraction. La synthèse de la bibliographie effectuée ici s’appuie sur des cas acoustiques. Nous n’avons pas trouvé dans la littérature, le développement de l’approximation de Rytov pour le cas élastique. Ce dernier figure donc dans l’annexe B du papier présenté dans la section 4.3. Comme les phénomènes physiques sous-jacents restent les mêmes, les considérations relatées ici sont également valables pour le cas élastique.
L’approximation de Rytov a été utilisée par Devaney (1981) pour la tomographie en diffraction. Un objet est illuminé par une configuration en transmission à l’aide d’une onde plane. Ce dispositif effectue une rotation autour de l’objet, éclairant ainsi l’objet selon tous les angles possibles. Le contraste de vitesses de l’objet est reconstruit à l’aide de la rétropropagation, basée sur la somme d’images filtrées dans le domaine des nombres d’onde. Selon Nahamoo et al. (1984), l’approximation de Rytov donne de meilleurs résultats mais elle est plus sensible au bruit contenu dans les données pour la tomographie en diffraction. Rühl & Hubral (1996) a développé la méthode de Devaney (1982) dans une formulation espace-temps au lieu de la formulation espace-nombre d’onde originale. Beydoun & Tarantola (1988) montrent que, dans le cas acoustique à une dimension, l’approxi- mation de Rytov au premier ordre donne de meilleurs résultats pour modéliser le champ transmis ou le champ direct, alors que l’approximation de Born au premier ordre est plus performante pour étudier la première onde réfléchie ou le champ rétrodiffusé. Ceci est repris par Beylkin & Oristaglio (1985) qui affirment que le champ transmis est mieux reconstruit avec l’approximation de Rytov. Woodwards (1992) considère également que l’approximation de Rytov est plus performante pour les configurations en transmission.
Rajan & Frisk (1989) trouvent que l’approximation de Rytov en une dimension en réflexion permet de mieux reconstruire les contrastes de vitesse que l’approximation de Born. En revanche, ces deux approximations conduisent à des erreurs comparables pour détecter la position des réflecteurs. L’approximation de Rytov serait moins sensible au choix de la vitesse de référence, mais moins performante avec des zones à moindre vitesse. Druzhinin et al. (2000) appliquent les approximations de Born et de Rytov pour une migration avant sommation de données bruitées et irrégulièrement échantillonnées. Ils constatent que l’approximation de Rytov permet d’imager des zones de faille que l’approximation de Born ne détecte pas, confirmant ainsi les résultats de Rajan & Frisk (1989). Weston (1985) montre que le domaine de convergence de l’approximation de Rytov est plus étendu que celui de l’approximation de Born. Pour Keller (1969), la zone de validité spatiale de l’approximation de Rytov est plus large que celle de Born, mais ceci s’avère faux quand il y a plusieurs ondes car chaque onde doit être considérée séparément, au contraire de l’approximation de Born. Ceci est également repris par Woodwards (1992); Pratt et al. (1996). Pour Taylor (1967), les deux approximations sont valables dans le même domaine pour la résolution du problème direct : l’approximation simple diffractant de petite taille par rapport à la longueur d’onde dominante. Brownlee (1973) partage cet avis, vivement critiqué par Wolf (1973), pour qui le domaine de validité spatiale de l’approximation de Rytov est plus étendu. Pour Heidbreder (1967), l’approximation de Rytov prend mieux en compte les diffractions multiples.
Selon Lin & Fiddy (1992), l’approximation de Rytov donne de meilleurs résultats pour calculer le champ diffracté dans un demi-espace homogène. Cependant, lorsque l’anomalie traversée par les ondes s’épaissit, aucune des deux approximations ne permet de calculer correctement le champ diffracté. Ainsi, l’approximation de Rytov n’est pas plus performante lorsque la taille du diffractant est de l’ordre de la longueur d’onde.